Erwartungswert

Der Erwartungswert (selten und doppeldeutig Mittelwert) ist ein Grundbegriff der Stochastik. Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen beschreibt die Zahl, die die Zufallsvariable im Mittel annimmt. Er ergibt sich zum Beispiel bei unbegrenzter Wiederholung des zugrunde liegenden Experiments als Durchschnitt der Ergebnisse. Das Gesetz der großen Zahlen beschreibt, in welcher Form genau die Durchschnitte der Ergebnisse bei wachsender Anzahl der Experimente gegen den Erwartungswert streben, oder anders gesagt, wie die Stichprobenmittelwerte bei wachsender Stichprobengröße gegen den Erwartungswert konvergieren.

Er bestimmt die Lokalisation (Lage) der Verteilung der Zufallsvariablen und ist vergleichbar mit dem empirischen arithmetischen Mittel einer Häufigkeitsverteilung in der deskriptiven Statistik. Er berechnet sich als nach Wahrscheinlichkeit gewichtetes Mittel der Werte, die die Zufallsvariable annimmt. Er muss selbst jedoch nicht einer dieser Werte sein. Insbesondere kann der Erwartungswert die Werte $\pm \infty$ annehmen.

Weil der Erwartungswert nur von der Wahrscheinlichkeitsverteilung abhängt, wird vom Erwartungswert einer Verteilung gesprochen, ohne Bezug auf eine Zufallsvariable. Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen kann als Schwerpunkt der Wahrscheinlichkeitsmasse betrachtet werden und wird daher als ihr erstes Moment bezeichnet.

Motivation

Die Augenzahlen beim Würfelwurf können als unterschiedliche Ausprägungen einer Zufallsvariablen betrachtet werden. Weil die (tatsächlich beobachteten) relativen Häufigkeiten sich gemäß dem Gesetz der großen Zahlen mit wachsendem Stichprobenumfang n den theoretischen Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Augenzahlen annähern, muss der Mittelwert gegen den Erwartungswert von streben. Zu dessen Berechnung werden die möglichen Ausprägungen mit ihrer theoretischen Wahrscheinlichkeit gewichtet.

${\begin{array}{lcl}\operatorname {E} (X)&=&1\cdot P(X=1)+2\cdot P(X=2)+3\cdot P(X=3)+4\cdot P(X=4)+5\cdot P(X=5)+6\cdot P(X=6)\\&=&(1+2+3+4+5+6)\cdot {\tfrac {1}{6}}=3{,}5.\end{array}}$

Wie die Ergebnisse der Würfelwürfe ist der Mittelwert vom Zufall abhängig. Im Unterschied dazu ist der Erwartungswert eine feste Kennzahl der Verteilung der Zufallsvariablen .

Die Definition des Erwartungswerts steht in Analogie zum gewichteten Mittelwert von empirisch beobachteten Zahlen. Hat zum Beispiel eine Serie von zehn Würfelversuchen die Ergebnisse 4, 2, 1, 3, 6, 3, 3, 1, 4, 5 geliefert, kann der zugehörige Mittelwert

${\bar {x}}=(4+2+1+3+6+3+3+1+4+5)\cdot {\tfrac {1}{10}}=3{,}2$

alternativ berechnet werden, indem zunächst gleiche Werte zusammengefasst und nach ihrer relativen Häufigkeit gewichtet werden:

${\bar {x}}={\tfrac {2}{10}}\cdot 1+{\tfrac {1}{10}}\cdot 2+{\tfrac {3}{10}}\cdot 3+{\tfrac {2}{10}}\cdot 4+{\tfrac {1}{10}}\cdot 5+{\tfrac {1}{10}}\cdot 6=3{,}2$ .

Allgemein lässt der Mittelwert der Augenzahlen in n Würfen sich wie

$1\cdot h_{n}(1)+2\cdot h_{n}(2)+3\cdot h_{n}(3)+4\cdot h_{n}(4)+5\cdot h_{n}(5)+6\cdot h_{n}(6),$

schreiben, worin $h_{n}(k)$ die relative Häufigkeit der Augenzahl bezeichnet.

Definitionen

Ist eine Zufallsvariable diskret oder besitzt sie eine Dichte, so existieren die folgenden Formeln für den Erwartungswert.

Erwartungswert einer diskreten reellen Zufallsvariablen

Im reellen diskreten Fall errechnet sich der Erwartungswert als die Summe der Produkte aus den Wahrscheinlichkeiten jedes möglichen Ergebnisses des Experiments und den „Werten“ dieser Ergebnisse.

Ist eine reelle diskrete Zufallsvariable, die die Werte $(x_{i})_{i\in I}$ mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten $(p_{i})_{{i\in I}}$ annimmt (mit als abzählbarer Indexmenge), so errechnet sich der Erwartungswert $\operatorname {E} (X)$ im Falle der Existenz mit:

$\operatorname {E}(X)=\sum _{{i\in I}}x_{i}p_{i}=\sum _{{i\in I}}x_{i}P(X=x_{i})$

Es ist zu beachten, dass dabei nichts über die Reihenfolge der Summation ausgesagt wird (summierbare Familie).

Ist $I={\mathbb {N}}$ , so besitzt genau dann einen endlichen Erwartungswert $\operatorname {E} (X)$ , wenn die Konvergenzbedingung

$\lim _{{a\rightarrow \infty }}\sum _{{i=1}}^{a}|x_{i}|p_{i}=\sum _{{i=1}}^{\infty }|x_{i}|p_{i}<\infty$ erfüllt ist, d. h. die Reihe für den Erwartungswert absolut konvergent ist.

Zur Berechnung ist für nichtnegative Zufallsvariable oft die folgende Eigenschaft hilfreich

$\operatorname{E}(X)=\sum\limits_{i=1}^\infty P(X\geq i).$

Erwartungswert einer reellen Zufallsvariablen mit Dichtefunktion

Der Erwartungswert balanciert die Wahrscheinlichkeitsmasse – hier die Masse unter der Dichte einer Beta(α,β)-Verteilung mit Erwartungswert α/(α+β).

Hat eine reelle Zufallsvariable eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion , das heißt hat das Bildmaß $P^{X}$ diese Dichte bezüglich dem Lebesgue-Maß $\lambda$ , so berechnet sich der Erwartungswert im Falle der Existenz als

(1) $\displaystyle \quad \operatorname E(X)=\int _{{{\mathbb {R}}}}xf(x)\,{\mathrm {d}}\lambda (x).$

In vielen Anwendungsfällen liegt (im Allgemeinen uneigentliche) Riemann-Integrierbarkeit vor und es gilt:

(2) $\displaystyle \quad \operatorname E(X)=\int _{{-\infty }}^{\infty }xf(x)\,{\mathrm {d}}x.$

Gleichwertig zu dieser Gleichung ist, wenn Verteilungsfunktion von ist:

(3) $\displaystyle \quad \operatorname E(X)=\int _{0}^{\infty }(1-F(x))\,{\mathrm {d}}x-\int _{{-\infty }}^{0}F(x)\,{\mathrm {d}}x.$

(2) und (3) sind unter der gemeinsamen Voraussetzung ( ist Dichtefunktion und ist Verteilungsfunktion von ) äquivalent, was mit schulgemäßen Mitteln bewiesen werden kann.

Für nichtnegative Zufallsvariablen folgt daraus die wichtige Beziehung zur Zuverlässigkeitsfunktion R(t)=1-F(t)

$\operatorname{E}(X) = \int_0^\infty ( 1-F(t) ) \, \mathrm{d}t = \int_0^\infty R(t) \, \mathrm{d}t.$

Allgemeine Definition

Der Erwartungswert wird entsprechend als das Integral bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes definiert: Ist eine P-integrierbare oder P-quasiintegrierbare Zufallsvariable von einem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega,\Sigma,P)$ nach $(\overline {\mathbb{R} },{\mathcal {B}})$ , wobei ${\mathcal {B}}$ die Borelsche σ-Algebra über $\overline {\mathbb{R} }:=\mathbb{R} \cup \{-\infty ,\infty \}$ ist, so wird definiert

$\operatorname {E}(X)=\int _{\Omega }X\,{\mathrm {d}}P=\int _{\Omega }X(\omega ){\mathrm {d}}P(\omega )\,$ .

Die Zufallsvariable besitzt genau dann einen Erwartungswert, wenn sie quasiintegrierbar ist, also die Integrale

$\int _{\Omega }X^{+}(\omega )\,{\mathrm {d}}P(\omega )$ und $\int _{\Omega }X^{-}(\omega )\,{\mathrm {d}}P(\omega )$

nicht beide unendlich sind, wobei $X^{+}$ und $X^{-}$ den Positiv- sowie den Negativteil von bezeichnen. In diesem Fall kann $\operatorname {E}(X)=\infty$ oder $\operatorname {E}(X)=-\infty$ gelten.

Der Erwartungswert ist genau dann endlich, wenn integrierbar ist, also die obigen Integrale über $X^{+}$ und $X^{-}$ beide endlich sind. Dies ist äquivalent mit

$\int _{\Omega }|X(\omega )|\,{\mathrm {d}}P(\omega )<\infty .$

In diesem Fall schreiben viele Autoren, der Erwartungswert existiere oder sei eine Zufallsvariable mit existierendem Erwartungswert, und schließen damit den Fall $\infty$ bzw. $-\infty$ aus.

Erwartungswert von zwei Zufallsvariablen mit gemeinsamer Dichtefunktion

Haben die integrierbaren Zufallsvariablen und eine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f(x,y) , so berechnet sich der Erwartungswert einer Funktion g(X,Y) von und nach dem Satz von Fubini zu

$\operatorname {E}(g(X,Y))=\int _{{-\infty }}^{\infty }\int _{{-\infty }}^{\infty }g(x,y)f(x,y)\,{\mathrm {d}}x\,{\mathrm {d}}y.$

Der Erwartungswert von g(X,Y) ist nur dann endlich, wenn das Integral

$\int _{{-\infty }}^{\infty }\int _{{-\infty }}^{\infty }\left|g(x,y)\right|f(x,y)\,{\mathrm {d}}x\,{\mathrm {d}}y$

endlich ist.

Insbesondere ist:

$\operatorname {E}(X)=\int _{{-\infty }}^{\infty }\int _{{-\infty }}^{\infty }xf(x,y)\,{\mathrm {d}}x\,{\mathrm {d}}y$

Aus der Randdichte errechnet sich der Erwartungswert wie bei univariaten Verteilungen:

$\operatorname {E}(X)=\int _{{-\infty }}^{\infty }xf_{X}(x)\,{\mathrm {d}}x.$

Dabei ist die Randdichte $f_{X}(x)$ gegeben durch

$f_{X}(x)=\int _{{-\infty }}^{\infty }f(x,y)\,{\mathrm {d}}y.$

Elementare Eigenschaften

Linearität

Der Erwartungswert ist linear, es gilt also für beliebige, nicht notwendigerweise unabhängige Zufallsvariablen $X_{1},X_{2}$ , dass

$\operatorname {E}(aX_{1}+bX_{2})=a\operatorname {E}(X_{1})+b\operatorname {E}(X_{2})$

ist. Als Spezialfälle ergeben sich

$\operatorname {E}(cX+d)=c\operatorname {E}(X)+d$ ,

$\operatorname {E}(cX)=c\operatorname {E}(X)$

und

$\operatorname {E}(d)=d$ .

Die Linearität lässt sich auch auf endliche Summen erweitern:

$\operatorname {E}\left(\sum _{{i=1}}^{n}X_{i}\right)=\sum _{{i=1}}^{n}\operatorname {E}(X_{i})$

Die Linearität des Erwartungswertes folgt aus der Linearität des Integrals.

Monotonie

Ist $X\leq Y$ fast sicher, und existieren $\operatorname {E}(X),\operatorname {E}(Y)$ , so gilt

$\operatorname {E}(X)\leq \operatorname {E}(Y)$ .

Wahrscheinlichkeiten als Erwartungswerte

Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen lassen sich auch über den Erwartungswert ausdrücken. Für jedes Ereignis gilt

$\operatorname {P}(A)=\operatorname {E}(\chi _{A})\,$ ,

wobei $\chi _{A}$ die Indikatorfunktion von ist.

Dieser Zusammenhang ist oft nützlich, etwa zum Beweis der Tschebyschow-Ungleichung.

Dreiecksungleichung

Es gilt

$\left|\operatorname E(X)\right|\leq \operatorname E(|X|)$

und

$\operatorname E(|X+Y|)\leq \operatorname E(|X|)+\operatorname E(|Y|)$

Beispiele

Würfeln

Das Experiment sei ein Würfelwurf. Als Zufallsvariable betrachten wir die gewürfelte Augenzahl, wobei jede der Zahlen 1 bis 6 mit einer Wahrscheinlichkeit von jeweils 1/6 gewürfelt wird.

$\operatorname {E}(X)=\sum _{{i=1}}^{6}i\cdot {\frac {1}{6}}=3{,}5$

Wenn beispielsweise 1000 Mal gewürfelt wird, man also das Zufallsexperiment 1000 mal wiederholt und die geworfenen Augenzahlen zusammenzählt und durch 1000 dividiert, ergibt sich mit hoher Wahrscheinlichkeit ein Wert in der Nähe von 3,5. Es ist jedoch unmöglich, diesen Wert mit einem einzigen Würfelwurf zu erzielen.

St. Petersburger Spiel

Das St. Petersburger Spiel ist ein Spiel, dessen zufälliger Gewinn einen unendlichen Erwartungswert hat. Es wird eine Münze geworfen. Zeigt sie Kopf, werden 2 Euro gegeben und das Spiel ist beendet, zeigt sie Zahl, darf nochmals geworfen werden. Fällt nun Kopf, gibt es 4 Euro und das Spiel ist beendet, folgt wieder Zahl, so darf ein drittes Mal geworfen werden. Der Erwartungswert des Gewinnes ist unendlich:

$\operatorname {E}(X)=2\cdot {\frac {1}{2}}+4\cdot {\frac {1}{4}}+8\cdot {\frac {1}{8}}+\cdots =1+1+\cdots =\infty .$

Zufallsvariable mit Dichte

Gegeben ist die reelle Zufallsvariable mit der Dichtefunktion

$f(x)={\begin{cases}{\frac 1x},&3\leq x\leq 3{\mathrm {e}},\\&\\0,&{\text{sonst}},\end{cases}}$

wobei $\mathrm {e}$ die Eulersche Konstante bezeichnet.

Der Erwartungswert von berechnet sich als

${\begin{aligned}\operatorname E(X)&=\int _{{-\infty }}^{\infty }xf(x)\,{\mathrm {d}}x=\int _{{-\infty }}^{3}x\cdot 0\,{\mathrm {d}}x+\int _{3}^{{3{\mathrm {e}}}}x\cdot {\frac 1x}\,{\mathrm {d}}x+\int _{{3{\mathrm {e}}}}^{\infty }x\cdot 0\,{\mathrm {d}}x\\&=0+\int _{3}^{{3{\mathrm {e}}}}1\,{\mathrm {d}}x+0=[x]_{3}^{{3{\mathrm {e}}}}=3{\mathrm {e}}-3=3({\mathrm {e}}-1).\end{aligned}}$

Allgemeine Definition

Gegeben sei der Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,\Sigma ,P)$ mit $\Omega =\{\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\}$ , $\Sigma$ die Potenzmenge von $\Omega$ und $P(\{\omega _{i}\})={\tfrac {1}{3}}$ für i=1,2,3 . Der Erwartungswert der Zufallsvariablen $X\colon \Omega \to \mathbb{R}$ mit $X(\omega _{1})=X(\omega _{2})=1$ und $X(\omega _{3})=2$ ist

$\operatorname {E}(X)=\int _{\Omega }X\,{\mathrm {d}}P=X(\omega _{1})P(\{\omega _{1}\})+X(\omega _{2})P(\{\omega _{2}\})+X(\omega _{3})P(\{\omega _{3}\})=1\cdot {\frac {1}{3}}+1\cdot {\frac {1}{3}}+2\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {4}{3}}.$

Da eine diskrete Zufallsvariable ist mit $P(X=1)=P(\{\omega _{1},\omega _{2}\})={\tfrac {2}{3}}$ und $P(X=2)=P(\{\omega _{3}\})={\tfrac {1}{3}}$ , kann der Erwartungswert alternativ auch berechnet werden als

$\operatorname {E}(X)=1\cdot P(X=1)+2\cdot P(X=2)=1\cdot {\frac {2}{3}}+2\cdot {\frac {1}{3}}={\frac {4}{3}}.$

Weitere Eigenschaften

Sigma-Additivität

Sind alle Zufallsvariablen $(X_{i})_{{i\in {\mathbb {N}}}}$ fast sicher nichtnegativ, so lässt sich die endliche Additivität sogar zur $\sigma$ -Additivität erweitern:

$\operatorname {E}\left(\sum _{{i=1}}^{\infty }X_{i}\right)=\sum _{{i=1}}^{\infty }\operatorname {E}(X_{i})$

Erwartungswert des Produkts von n stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen

Wenn die Zufallsvariablen $X_{i}$ stochastisch voneinander unabhängig und integrierbar sind, gilt:

$\operatorname {E}\!\left(\prod _{{i=1}}^{n}X_{{i}}\right)=\prod _{{i=1}}^{n}\operatorname {E}(X_{{i}})$

insbesondere auch

$\operatorname {E}\!\left(X_{i}X_{j}\right)=\operatorname {E}\!\left(X_{i}\right)\cdot \operatorname {E}\!\left(X_{j}\right)$ für $i\neq j$

Erwartungswert einer zusammengesetzten Zufallsvariable

Ist eine zusammengesetzte Zufallsvariable, sprich sind $N,X_{1},X_{2},\dots$ unabhängige Zufallsvariablen und sind die $X_{i}$ identisch verteilt und ist auf $\mathbb{N}_0$ definiert, so lässt sich darstellen als

$Y:=\sum _{{i=1}}^{N}X_{i}$ .

Existieren die ersten Momente von $N,X_{1},X_{2},\dots$ , so gilt

$\operatorname {E}(Y)=\operatorname {E}(N)\operatorname {E}(X_{1})$ .

Diese Aussage ist auch als Formel von Wald bekannt.

Monotone Konvergenz

Sind die nichtnegativen Zufallsvariablen $(X_{i})_{{i\in {\mathbb {N}}}}$ fast sicher punktweise monoton wachsend und konvergieren fast sicher gegen eine weitere Zufallsvariable , so gilt

$\lim _{{i\to \infty }}\operatorname {E}(X_{i})=\operatorname {E}(X)$ .

Dies ist der Satz von der monotonen Konvergenz in der wahrscheinlichkeitstheoretischen Formulierung.

Berechnung mittels der kumulantenerzeugenden Funktion

Die kumulantenerzeugende Funktion einer Zufallsvariable ist definiert als

$g_{X}(t)=\ln \operatorname {E}(e^{{tX}})$ .

Wird sie abgeleitet und an der Stelle 0 ausgewertet, so ist der Erwartungswert:

$\operatorname {E}(X)=g'_{X}(0)$ .

Die erste Kumulante ist also der Erwartungswert.

Berechnung mittels der charakteristischen Funktion

Die charakteristische Funktion einer Zufallsvariable $\varphi _{X}(t):=\operatorname {E}(e^{{itX}})$ . Mit ihrer Hilfe lässt sich durch Ableiten der Erwartungswert der Zufallsvariable bestimmen:

$\operatorname {E}(X)={\frac {\varphi _{X}'(0)}{{\mathrm i}}}$ .

Berechnung mittels der momenterzeugenden Funktion

Ähnlich wie die charakteristische Funktion ist die momenterzeugende Funktion definiert als

$M_X(t):=E\left(e^{tX}\right)$ .

Auch hier lässt sich der Erwartungswert einfach bestimmen als

$\operatorname {E}(X)=M_{X}'(0)$ .

Dies folgt daraus, dass der Erwartungswert das erste Moment ist und die k-ten Ableitungen der momenterzeugenden Funktion an der 0 genau die k-ten Momente sind.

Berechnung mittels der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion

Wenn nur natürliche Zahlen als Werte annimmt, lässt sich der Erwartungswert für auch mithilfe der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion

$m_{X}(t):=E\left(t^{X}\right)$ .

berechnen. Es gilt dann

$\operatorname{E}\left[X \right] = \lim_{t \uparrow 1} m_X'(t)$ ,

falls der linksseitige Grenzwert existiert.

Beste Approximation

Ist eine Zufallsgröße auf einem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega,\Sigma,P)$ , so beschreibt $\operatorname {E} \left(X\right)$ die beste Approximation an im Sinne der Minimierung von $\operatorname {E} \left(\left(X-a\right)^{2}\right)$ , wobei a eine reelle Konstante ist. Dies folgt aus dem Satz über die beste Approximation, da

$\langle X-E(X),b\rangle =0$

für alle konstanten ist, wobei $\langle .,.\rangle$ das $L^{2}$ -Standardnormalskalarprodukt bezeichne. Diese Auffassung des Erwartungswertes macht die Definition der Varianz als minimaler mittlerer quadratischer Abstand sinnvoll.

Erwartungswerte von Funktionen von Zufallsvariablen

Wenn Y=g(X) wieder eine Zufallsvariable ist, so kann der Erwartungswert von , statt mittels der Definition, auch mittels der Formel bestimmt werden:

$\operatorname {E}(Y)=\operatorname {E}(g(X))=\int _{{-\infty }}^{\infty }g(x)f_{X}(x)\,{\mathrm {d}}x$

Auch in diesem Fall existiert der Erwartungswert nur, wenn

$\int _{{-\infty }}^{\infty }\left|g(x)\right|f_{X}(x)\,{\mathrm {d}}x$

konvergiert.

Bei einer diskreten Zufallsvariablen wird eine Summe verwendet:

$\operatorname {E}(Y)=\operatorname {E}(g(X))=\sum _{i}g(x_{i})p_{X}(x_{i}).$

Ist die Summe nicht endlich, dann muss die Reihe absolut konvergieren, damit der Erwartungswert existiert.

Begriff und Notation

Das Konzept des Erwartungswertes geht auf Christiaan Huygens zurück. In einer Abhandlung über Glücksspiele von 1656, „Van rekeningh in spelen van geluck“ bezeichnet Huygens den erwarteten Gewinn eines Spiels als „het is my soo veel weerdt“. Frans van Schooten verwendete in seiner Übersetzung von Huygens' Text ins Lateinische den Begriff expectatio. Bernoulli übernahm in seiner Ars conjectandi den von van Schooten eingeführten Begriff in der Form valor expectationis.

Im westlichen Bereich wird für den Operator $\operatorname {E}\left(X\right)$ verwendet, speziell in anglophoner Literatur $\operatorname {E}\left[X\right]$ .

In der russischsprachigen Literatur findet sich die Bezeichnung M(X) .

Die Bezeichnung $\mu _{X}$ betont die Eigenschaft als nicht vom Zufall abhängiges erstes Moment. In der Physik findet die Bra-Ket-Notation Verwendung. Insbesondere wird $\langle X \rangle$ statt $\operatorname {E} (X)$ für den Erwartungswert einer Größe geschrieben.

Quantenmechanischer Erwartungswert

Ist $\psi (r,t)=\langle r|\psi (t)\rangle$ die Wellenfunktion eines Teilchens in einem bestimmten Zustand $|\psi (t)\rangle$ und ist ${\hat {O}}$ ein Operator, so ist

$\langle {\hat O}\rangle _{{|\psi (t)\rangle }}:=\langle \psi (t)|{\hat O}|\psi (t)\rangle =\int _{{M^{2}}}{\mathrm {d}}^{n}r\,{\mathrm {d}}^{n}r^{\prime }\,\psi ^{\star }(r,t)\langle r|{\hat O}|r^{\prime }\rangle \psi (r^{\prime },t)$

der quantenmechanische Erwartungswert von ${\hat {O}}$ im Zustand $|\psi (t)\rangle$ . ist hierbei der Ortsraum, in dem sich das Teilchen bewegt, ist die Dimension von , und ein hochgestellter Stern steht für komplexe Konjugation.

Lässt sich ${\hat {O}}$ als formale Potenzreihe $O({\hat r},{\hat p})$ schreiben (und das ist oft so), so wird die Formel verwendet

$\langle {\hat O}\rangle _{\psi }=\int _{M}{\mathrm {d}}^{n}r\,\psi ^{\star }(r,t)O(r,{\frac {\hbar }{i}}\nabla _{r})\psi (r,t).$

Der Index an der Erwartungswertsklammer wird nicht nur wie hier abgekürzt, sondern manchmal auch ganz weggelassen.

Beispiel

Der Erwartungswert des Aufenthaltsorts in Ortsdarstellung ist

$\langle {\hat r}\rangle =\int _{M}{\mathrm {d}}^{n}r\,\psi ^{\star }(r,t)r\psi (r,t)=\int _{M}{\mathrm {d}}^{n}r\,r|\psi (r,t)|^{2}=\int _{M}{\mathrm {d}}^{n}r\,rf(r,t).$

Der Erwartungswert des Aufenthaltsorts in Impulsdarstellung ist

$\langle {\hat r}\rangle =\int _{M}{\mathrm {d}}^{n}p\,\Psi ^{\star }(p,t)i\hbar {\vec \nabla }_{p}\Psi (p,t),$

wobei wir die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Quantenmechanik im Ortsraum identifiziert haben. In der Physik wird $\rho$ (rho) statt geschrieben.

Erwartungswert von Matrizen und Vektoren

→ Hauptartikel: Kovarianzmatrix

Sei ${\mathbf {X}}$ eine stochastische $m\times n$ -Matrix, mit den stochastischen Variablen $(X_{i,j})$ als Elementen, dann ist der Erwartungswert von ${\mathbf {X}}$ definiert als:

$\operatorname {E} \left(\mathbf {X} \right)=\operatorname {E} {\begin{pmatrix}X_{1,1}&X_{1,2}&\cdots &X_{1,n}\\X_{2,1}&X_{2,2}&\cdots &X_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\X_{m,1}&X_{m,2}&\cdots &X_{m,n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\operatorname {E} (X_{1,1})&\operatorname {E} (X_{1,2})&\cdots &\operatorname {E} (X_{1,n})\\\operatorname {E} (X_{2,1})&\operatorname {E} (X_{2,2})&\cdots &\operatorname {E} (X_{2,n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\operatorname {E} (X_{m,1})&\operatorname {E} (X_{m,2})&\cdots &\operatorname {E} (X_{m,n})\end{pmatrix}}$ .

Falls ein $n \times 1$ -Zufallsvektor ${\mathbf {X}}$ vorliegt gilt:

$\operatorname {E} (\mathbf {X} )=\operatorname {E} {\begin{pmatrix}X_{1}\\X_{2}\\\vdots \\X_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\operatorname {E} (X_{1})\\\operatorname {E} (X_{2})\\\vdots \\\operatorname {E} (X_{n})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mu _{1}\\\mu _{2}\\\vdots \\\mu _{n}\end{pmatrix}}={\boldsymbol {\mu }}$ .

Siehe auch

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de

Erwartungswert

Motivation

Definitionen

Erwartungswert einer diskreten reellen Zufallsvariablen

Erwartungswert einer reellen Zufallsvariablen mit Dichtefunktion

Allgemeine Definition

Erwartungswert von zwei Zufallsvariablen mit gemeinsamer Dichtefunktion

Elementare Eigenschaften

Linearität

Monotonie

Wahrscheinlichkeiten als Erwartungswerte

Dreiecksungleichung

Beispiele

Würfeln

St. Petersburger Spiel

Zufallsvariable mit Dichte

Allgemeine Definition

Weitere Eigenschaften

Sigma-Additivität

Erwartungswert des Produkts von n stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen

Erwartungswert einer zusammengesetzten Zufallsvariable

Monotone Konvergenz

Berechnung mittels der kumulantenerzeugenden Funktion

Berechnung mittels der charakteristischen Funktion

Berechnung mittels der momenterzeugenden Funktion

Berechnung mittels der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion

Beste Approximation

Erwartungswerte von Funktionen von Zufallsvariablen

Verwandte Konzepte und Verallgemeinerungen

Lageparameter

Momente

Bedingter Erwartungswert

Begriff und Notation

Quantenmechanischer Erwartungswert

Erwartungswert von Matrizen und Vektoren

Siehe auch