Fast sicher

Fast sicher ist ein Begriff der Wahrscheinlichkeitstheorie und Spezialfall des Begriffs fast überall aus der Maßtheorie. Ein zufälliges Ereignis, das mit Wahrscheinlichkeit eins eintritt, wird fast sicher genannt. Entsprechend heißt ein Ereignis fast unmöglich, wenn die Wahrscheinlichkeit seines Eintretens null ist. Diese Begriffe spielen beispielsweise bei der fast sicheren Konvergenz von Zufallsvariablen eine wichtige Rolle, wie sie in der Situation des Gesetzes der großen Zahlen auftritt.

Definition

In einem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,\Sigma ,P)$ heißt ein Ereignis $E\in \Sigma$ fast sicher, wenn

$P(E)\;=\;1$

gilt. Es heißt fast unmöglich, wenn

$P(E)\;=\;0$

gilt.

Ein fast sicheres Ereignis tritt also nicht notwendig ein, sondern auf einer Menge vom Maß eins. Insbesondere ist das sichere Ereignis $E=\Omega$ auch fast sicher.

Ein fast unmögliches Ereignis kann also eintreten, aber nur auf einer Menge vom Maß null. Das unmögliche Ereignis $E=\emptyset$ ist auch fast unmöglich.

Beispiele

Bei einer Gleichverteilung auf dem Intervall $[0,1] \subset \mathbb R$ gilt:

Die Wahrscheinlichkeit, genau eine bestimmte Zahl zufällig zu treffen, ist 0, obwohl dieses Ereignis nicht unmöglich ist. Entsprechend ist die Wahrscheinlichkeit, irgendeine Zahl aus dem Intervall außer einer bestimmten Zahl zu treffen, gleich 1, aber dieses Ereignis wird nicht mit Sicherheit eintreten.
Auch die Wahrscheinlichkeit, irgendeine rationale Zahl zu treffen, ist 0, da es in diesem Bereich nur abzählbar unendlich viele rationale Zahlen gibt, deren Menge also nur das Lebesgue-Maß 0 hat. Dagegen ist die Wahrscheinlichkeit, irgendeine irrationale Zahl zu treffen, gleich 1, obwohl dieses Ereignis nicht eintreten muss.

Basierend auf einem Artikel in:

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