Bildmaß

Ein Bildmaß ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Maßtheorie und dient dazu, das Maß in einem Maßraum $(\Omega ,\Sigma ,\mu )$ auf einen anderen Raum $(\Omega', \Sigma')$ zu übertragen. Hierbei werden mithilfe einer messbaren Funktion $g\colon \Omega \to \Omega '$ den Mengen in $\Sigma'$ Werte zugeordnet. Das so auf $\Omega '$ definierte Maß ist das Bildmaß.

Eine wichtige Rolle spielt das Bildmaß insbesondere bei der Definition der Verteilung einer Zufallsvariablen.

Definition

Es sei $(\Omega ,\Sigma ,\mu )$ ein Maßraum und $g\colon \Omega \to \Omega '$ eine $\Sigma {\text{-}}\Sigma '$ -messbare Funktion in einem Messraum $(\Omega',\Sigma')$ . Dann ist

$\mu':=\mu \circ g^{-1} \colon \Sigma' \to [0,\infty], \quad \Sigma'\ni A' \mapsto \mu(g^{-1}(A'))\in[0,\infty]$

ein Maß auf $(\Omega',\Sigma')$ , das Bildmaß $\mu'$ von $\mu$ bezüglich . Dabei bezeichnet $g^{-1}(A')$ das Urbild von $A'\in\Sigma'$ .

Anwendungsbeispiel

Für eine messbare Funktion $f\colon \Omega '\to \overline {\mathbb{R} }$ (wobei $\overline {\mathbb{R} }:=\mathbb{R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ die (affin) erweiterten reellen Zahlen bezeichnet) gilt der folgende Transformationssatz für messbare Mengen $A\subseteq \Omega '\;$ :

$\int _{g^{-1}(A)}f\circ g\;\mathrm {d} \mu =\int _{A}f\;\mathrm {d} (\mu \circ g^{-1})$ ,

wenn mindestens eines der beiden obigen Integrale definiert ist.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de