Satz von der monotonen Konvergenz

Der Satz von der monotonen Konvergenz, auch Satz von Beppo Levi genannt (nach Beppo Levi), ist ein wichtiger Satz aus der Maß- und Integrationstheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Er trifft eine Aussage darüber, unter welchen Voraussetzungen sich Integration und Grenzwertbildung vertauschen lassen.

Mathematische Formulierung

Sei $(\Omega ,{\mathcal {S}},\mu )$ ein Maßraum. Ist $(f_{n})_{{n\in \mathbb{N} }}$ eine Folge nichtnegativer, messbarer Funktionen $f_{n}:\Omega \to [0,\infty ]$ , die μ-fast überall monoton wachsend gegen eine messbare Funktion $f:\Omega \to [0,\infty ]$ konvergiert, so gilt

$\int _{\Omega }f\ {\mathrm d}\mu =\lim _{{n\to \infty }}\int _{\Omega }f_{n}\ {\mathrm d}\mu .$

Variante für fallende Folgen

Ist $(f_{n})_{{n\in \mathbb{N} }}$ eine Funktionenfolge nichtnegativer, messbarer Funktionen $f_{n}:\Omega \to [0,\infty ]$ mit $\int _{\Omega }f_{1}\ {\mathrm d}\mu <\infty$ , die μ-fast überall monoton fallend gegen eine messbare Funktion $f:\Omega \to [0,\infty ]$ konvergiert, so gilt ebenso

$\int _{\Omega }f\ {\mathrm d}\mu =\lim _{{n\to \infty }}\int _{\Omega }f_{n}\ {\mathrm d}\mu .$

Beweisidee

Dass die rechte Seite kleinergleich der linken ist, folgt aus der Monotonie des Integrals. Für den Beweis maßgeblich ist also die andere Richtung: Diese lässt sich etwa zuerst für einfache Funktionen zeigen und von da aus auf allgemeine messbare Funktionen übertragen.

Wahrscheinlichkeitstheoretische Formulierung

Sei $(\Omega,\mathcal{A},P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $(X_n)_{n\in\N}$ eine nichtnegative, fast sicher monoton wachsende Folge von Zufallsvariablen, dann gilt für ihre Erwartungswerte

$\lim _{n\to \infty }\operatorname {E} (X_{n})=\operatorname {E} (\lim _{n\to \infty }X_{n})$ .

Eine analoge Aussage gilt auch für bedingte Erwartungswerte: Ist ${\mathcal {G}}\subset {\mathcal {A}}$ eine Teil- $\sigma$ -Algebra und $\lim _{{n\to \infty }}X_{n}$ integrierbar, so gilt fast sicher

$\lim _{n\to \infty }\operatorname {E} (X_{n}\mid {\mathcal {G}})=\operatorname {E} (\lim _{n\to \infty }X_{n}\mid {\mathcal {G}}).$

Anwendung des Satzes auf Funktionenreihen

Sei $(\Omega ,{\mathcal {S}},\mu )$ wieder ein Maßraum. Für jede Folge $(f_{n})_{{n\in \mathbb{N} }}$ nichtnegativer, messbarer Funktionen $f_{n}\colon \Omega \to [0,\infty ]$ gilt

$\int _{\Omega }\sum _{{n=1}}^{\infty }f_{n}\ {\mathrm d}\mu =\sum _{{n=1}}^{\infty }\int _{\Omega }f_{n}\ {\mathrm d}\mu .$

Dies folgt durch Anwendung des Satzes auf die Folge $\textstyle s_{N}=\sum _{{n=1}}^{N}f_{n}$ der Partialsummen. Da die $f_{n}$ nichtnegativ sind, ist $(s_{N})_{{N\in \mathbb{N} }}$ monoton wachsend.

Siehe auch

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de