Regelmäßiges Polygon


Regelmäßige Polygone

Ein regelmäßiges Polygon, reguläres Polygon, regelmäßiges Vieleck, reguläres Vieleck oder Isogon (von griechisch ἴσος, gleich und γωνία, Winkel) ist in der Geometrie ein ebenes Polygon, das sowohl gleichseitig, als auch gleichwinklig ist. Bei einem regelmäßigen Polygon sind demnach alle Seiten gleich lang und alle Innenwinkel gleich groß. Die Ecken eines regelmäßigen Polygons liegen alle auf einem gemeinsamen Kreis, wobei benachbarte Ecken unter dem gleichen Mittelpunktswinkel erscheinen.

Regelmäßige Polygone können einfach oder überschlagen sein. Einfache regelmäßige Polygone sind stets konvex. Überschlagene regelmäßige Polygone werden als reguläre Sternpolygone bezeichnet. Die Symmetriegruppe eines regelmäßigen -Ecks ist die Diedergruppe $D_{n}$ bestehend aus genau Drehungen und Spiegelungen.

Alle Kenngrößen regelmäßiger Polygone, wie die Länge der Diagonalen, der Umfang oder der Flächeninhalt, können mit Hilfe trigonometrischer Funktionen angegeben werden. Nicht alle regelmäßigen Polygone sind jedoch mit Zirkel und Lineal konstruierbar. Regelmäßige Polygone werden unter anderem bei der Näherung der Kreiszahl $\pi$ , für Parkettierungen, in der Architektur und als Münzform verwendet.

Definition

Ein Polygon mit den Seiten $a,b,c,\ldots$ und den Innenwinkeln $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ heißt regelmäßig, wenn

$a=b=c=\dotsb$ und $\alpha =\beta =\gamma =\dotsb$

gilt. In einem regelmäßigen Polygon sind demnach alle Seiten zueinander kongruent und alle Winkel gleich groß.

Klassifikation

Bezeichnungen regelmäßiger Polygone und weiterer Sternformen

Man unterscheidet einfache und überschlagene regelmäßige Polygone. Alle einfachen regelmäßigen Polygone mit Ecken sind zueinander ähnlich und werden in der kombinatorischen Geometrie mit dem Schläfli-Symbol $\{n\}$ bezeichnet. Um degenerierte Fälle auszuschließen, wird in der Regel $n\geq 3$ angenommen. Die ersten einfachen regelmäßigen Polygone sind:

das gleichseitige Dreieck $\{3\}$ ,
das Quadrat $\{4\}$ ,
das regelmäßige Fünfeck $\{5\}$ und
das regelmäßige Sechseck $\{6\}$ .

Überschlagene regelmäßige Polygone werden reguläre Sternpolygone genannt und weisen eine größere Vielfalt an Formen auf. Sie werden mit dem Schläfli-Symbol $\{n/m\}$ bezeichnet, wobei $2\leq m<n/2$ die Windungszahl des Polygons um seinen Mittelpunkt angibt. Die Windungszahl muss dabei teilerfremd zu sein, ansonsten entartet das Polygon. Die ersten regelmäßigen Sternpolygone sind

der Fünfstern $\{5/2\}$ ,
die Siebensterne $\{7/2\}$ und $\{7/3\}$ sowie
der Achtstern $\{8/3\}$ .

Die Anzahl der verschiedenen Typen regelmäßiger Polygone mit Ecken ist demnach ${\tfrac {1}{2}}\varphi (n)$ , wobei $\varphi$ die eulersche Phi-Funktion ist. Sind und nicht teilerfremd, werden mit dem Schläfli-Symbol $\{n/m\}$ Sterne bezeichnet, die aus mehreren regelmäßigen Polygonen zusammengesetzt sind. Beispiele sind das Hexagramm $\{6/2\}$ und das Oktagramm $\{8/2\}$ .

Kenngrößen

Winkel

Größen beim regelmäßigen Sechseck

Die Ecken eines regelmäßigen Polygons liegen konzyklisch auf einem gemeinsamen Kreis. Ein regelmäßiges Polygon ist damit ein Sehnenvieleck und besitzt so einen Umkreis mit Umkreisradius $r_{u}$ . Zudem liegen die Ecken gleichabständig auf dem Kreis, das heißt nebeneinander liegende Ecken erscheinen unter dem gleichen Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel)

$\mu ={\frac {1}{n}}\cdot 360^{\circ }={\frac {2\pi }{n}}$ .

Damit ist ein regelmäßiges Polygon auch ein Tangentenvieleck mit einem Inkreis mit Inkreisradius $r_{i}$ . Der Inkreis berührt die Polygonseiten dabei in den Seitenmittelpunkten. Der Inkreismittelpunkt stimmt mit dem Umkreismittelpunkt überein und wird der Mittelpunkt des Polygons genannt. Nachdem die Winkelsumme in einem einfachen -Eck stets $(n-2)\cdot 180^{\circ }$ ergibt, messen in einem einfachen regelmäßigen Polygon alle Innenwinkel

$\alpha ={\frac {n-2}{n}}\cdot 180^{\circ }=\pi -{\frac {2\pi }{n}}$ .

Da sich an den Ecken eines Polygons Innen- und Außenwinkel zu $180^{\circ }$ ergänzen, sind in einem einfachen regelmäßigen Polygon auch alle Außenwinkel gleich groß und messen jeweils

$\alpha '={\frac {1}{n}}\cdot 360^{\circ }={\frac {2\pi }{n}}$ .

Für die Winkel in regelmäßigen Polygonen ergeben sich beispielsweise folgende Werte:

Polygon	Mittelpunktswinkel $\mu$		Innenwinkel $\alpha$		Außenwinkel $\alpha '$
Polygon	Gradmaß	Bogenmaß	Gradmaß	Bogenmaß	Gradmaß	Bogenmaß
Dreieck	$120^{\circ }$	${\tfrac {2}{3}}\pi$	$60^{\circ }$	${\tfrac {1}{3}}\pi$	$120^{\circ }$	${\tfrac {2}{3}}\pi$
Viereck	$90^{\circ }$	${\tfrac {1}{2}}\pi$	$90^{\circ }$	${\tfrac {1}{2}}\pi$	$90^{\circ }$	${\tfrac {1}{2}}\pi$
Fünfeck	$72^{\circ }$	${\tfrac {2}{5}}\pi$	$108^{\circ }$	${\tfrac {3}{5}}\pi$	$72^{\circ }$	${\tfrac {2}{5}}\pi$
Sechseck	$60^{\circ }$	${\tfrac {1}{3}}\pi$	$120^{\circ }$	${\tfrac {2}{3}}\pi$	$60^{\circ }$	${\tfrac {1}{3}}\pi$
Achteck	$45^{\circ }$	${\tfrac {1}{4}}\pi$	$135^{\circ }$	${\tfrac {3}{4}}\pi$	$45^{\circ }$	${\tfrac {1}{4}}\pi$
Zehneck	$36^{\circ }$	${\tfrac {1}{5}}\pi$	$144^{\circ }$	${\tfrac {4}{5}}\pi$	$36^{\circ }$	${\tfrac {1}{5}}\pi$
Zwölfeck	$30^{\circ }$	${\tfrac {1}{6}}\pi$	$150^{\circ }$	${\tfrac {5}{6}}\pi$	$30^{\circ }$	${\tfrac {1}{6}}\pi$

Längen

Bestimmungsdreieck

Die wichtigsten Kenngrößen einfacher regelmäßiger Polygone können mit Hilfe des Bestimmungsdreiecks, das von dem Mittelpunkt und zwei benachbarten Ecken des Polygons gebildet wird, ermittelt werden. Das Bestimmungsdreieck ist gleichschenklig mit dem Spitzenwinkel $\mu$ , den Basiswinkeln ${\tfrac {\alpha }{2}}$ , den Schenkeln $r_{u}$ , der Basis und der Höhe $r_{i}$ . Wird das Bestimmungsdreieck entlang der Höhe (dem Apothema) in zwei rechtwinklige Dreiecke unterteilt, ergeben sich mit dem oben angegebenen Mittelpunktswinkel und den trigonometrischen Funktionen (Sinus und Kosinus, Tangens und Kotangens sowie Sekans und Kosekans) die folgenden Beziehungen zwischen der Seitenlänge , dem Umkreisradius $r_{u}$ und dem Inkreisradius $r_{i}$ :

$a=2\,r_{u}\cdot \sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)=2\,r_{i}\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)$

$r_{u}={\frac {a}{2}}\cdot \csc \left({\frac {\pi }{n}}\right)=r_{i}\cdot \sec \left({\frac {\pi }{n}}\right)$

$r_{i}={\frac {a}{2}}\cdot \cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)=r_{u}\cdot \cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)$

Für manche Werte von lassen sich explizite Formeln für die Funktionswerte der trigonometrischen Funktionen (siehe Formelsammlung Trigonometrie) und damit für die Längen in einfachen regelmäßigen Polygonen angeben, zum Beispiel:

Polygon	Seitenlänge gegeben		Umkreisradius $r_{u}$ gegeben		Inkreisradius $r_{i}$ gegeben
Polygon	Umkreisradius	Inkreisradius	Seitenlänge	Inkreisradius	Seitenlänge	Umkreisradius
Dreieck	$a\cdot {\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}$	$a\cdot {\tfrac {1}{6}}{\sqrt {3}}$	$r_{u}\cdot {\sqrt {3}}$	$r_{u}\cdot {\tfrac {1}{2}}$	$r_{i}\cdot 2{\sqrt {3}}$	$r_{i}\cdot 2$
Viereck	$a\cdot {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}$	$a\cdot {\tfrac {1}{2}}$	$r_{u}\cdot {\sqrt {2}}$	$r_{u}\cdot {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}$	$r_{i}\cdot 2$	$r_{i}\cdot {\sqrt {2}}$
Fünfeck	$a\cdot {\sqrt {{\tfrac {1}{10}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}$	$a\cdot {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {{\tfrac {1}{5}}\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}$	$r_{u}\cdot {\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}$	$r_{u}\cdot {\tfrac {1}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)$	$r_{i}\cdot 2{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$	$r_{i}\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)$
Sechseck	$a\cdot 1$	$a\cdot {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}$	$r_{u}\cdot 1$	$r_{u}\cdot {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}$	$r_{i}\cdot {\tfrac {2}{3}}{\sqrt {3}}$	$r_{i}\cdot {\tfrac {2}{3}}{\sqrt {3}}$
Achteck	$a\cdot {\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\left(2+{\sqrt {2}}\right)}}$	$a\cdot {\tfrac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {2}}\right)$	$r_{u}\cdot {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$	$r_{u}\cdot {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}$	$r_{i}\cdot 2\left({\sqrt {2}}-1\right)$	$r_{i}\cdot {\sqrt {2\left(2-{\sqrt {2}}\right)}}$
Zehneck	$a\cdot {\tfrac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)$	$a\cdot {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$	$r_{u}\cdot {\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right)$	$r_{u}\cdot {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}$	$r_{i}\cdot 2{\sqrt {{\tfrac {1}{5}}\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}$	$r_{i}\cdot {\sqrt {{\tfrac {2}{5}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}$
Zwölfeck	$a\cdot {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}$	$a\cdot {\tfrac {1}{2}}\left(2+{\sqrt {3}}\right)$	$r_{u}\cdot {\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}$	$r_{u}\cdot {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}$	$r_{i}\cdot 2\left(2-{\sqrt {3}}\right)$	$r_{i}\cdot 2{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}$

Umfang und Flächeninhalt

Der Umfang eines einfachen regelmäßigen Polygons ist das -fache der Seitenlänge und damit

$U=n\,a=2\,n\,r_{u}\cdot \sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)=2\,n\,r_{i}\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)$ .

Der Flächeninhalt eines einfachen regelmäßigen Polygons ist entsprechend das -fache der Fläche des Bestimmungsdreiecks:

$A={\frac {n\,a\,r_{i}}{2}}={\frac {n\,a^{2}}{4}}\cdot \cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)=n\,r_{i}^{2}\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)={\frac {n\,r_{u}^{2}}{2}}\cdot \sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)$ .

Die letzte Gleichung folgt dabei aus der Doppelwinkelformel. Damit ergeben sich beispielsweise die folgenden expliziten Formeln für den Umfang und den Flächeninhalt einfacher regelmäßiger Polygone:

Polygon	Seitenlänge gegeben		Umkreisradius $r_{u}$ gegeben		Inkreisradius $r_{i}$ gegeben
Polygon	Umfang	Flächeninhalt	Umfang	Flächeninhalt	Umfang	Flächeninhalt
Dreieck	$a\cdot 3$	$a^{2}\cdot {\tfrac {1}{4}}{\sqrt {3}}$	$r_{u}\cdot 3{\sqrt {3}}$	$r_{u}^{2}\cdot {\tfrac {3}{4}}{\sqrt {3}}$	$r_{i}\cdot 6{\sqrt {3}}$	$r_{i}^{2}\cdot 3{\sqrt {3}}$
Viereck	$a\cdot 4$	$a^{2}\cdot 1$	$r_{u}\cdot 4{\sqrt {2}}$	$r_{u}^{2}\cdot 2$	$r_{i}\cdot 8$	$r_{i}^{2}\cdot 4$
Fünfeck	$a\cdot 5$	$a^{2}\cdot {\tfrac {1}{4}}{\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}$	$r_{u}\cdot 5{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}$	$r_{u}^{2}\cdot {\tfrac {5}{4}}{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}$	$r_{i}\cdot 10{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$	$r_{i}^{2}\cdot 5{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$
Sechseck	$a\cdot 6$	$a^{2}\cdot {\tfrac {3}{2}}{\sqrt {3}}$	$r_{u}\cdot 6$	$r_{u}^{2}\cdot {\tfrac {3}{2}}{\sqrt {3}}$	$r_{i}\cdot 4{\sqrt {3}}$	$r_{i}^{2}\cdot 2{\sqrt {3}}$
Achteck	$a\cdot 8$	$a^{2}\cdot 2\left(1+{\sqrt {2}}\right)$	$r_{u}\cdot 8{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$	$r_{u}^{2}\cdot 2{\sqrt {2}}$	$r_{i}\cdot 16\left({\sqrt {2}}-1\right)$	$r_{i}^{2}\cdot 8\left({\sqrt {2}}-1\right)$
Zehneck	$a\cdot 10$	$a^{2}\cdot {\tfrac {5}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$	$r_{u}\cdot 5\left({\sqrt {5}}-1\right)$	$r_{u}^{2}\cdot {\tfrac {5}{2}}{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}$	$r_{i}\cdot 4{\sqrt {5\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}$	$r_{i}^{2}\cdot 2{\sqrt {5\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}$
Zwölfeck	$a\cdot 12$	$a^{2}\cdot 3\left(2+{\sqrt {3}}\right)$	$r_{u}\cdot 12{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}$	$r_{u}^{2}\cdot 3$	$r_{i}\cdot 24\left(2-{\sqrt {3}}\right)$	$r_{i}^{2}\cdot 12\left(2-{\sqrt {3}}\right)$

Diagonalen

Diagonalen im regelmäßigen Achteck

Von jeder Ecke eines regelmäßigen -Ecks gehen n-3 Diagonalen $d_{1}$ bis $d_{{n-3}}$ aus. Die Länge der Diagonalen kann wiederum mit Hilfe des Bestimmungsdreiecks, das von dem Mittelpunkt des Polygons und den beiden Endpunkten der Diagonale gebildet wird, ermittelt werden. Das Bestimmungsdreieck der -ten Diagonale, $k=1,\dotsc ,n-3$ , ist wieder gleichschenklig und hat die Schenkel $r_{u}$ , die Basis $d_{k}$ und den Spitzenwinkel $(k+1)\mu$ . Damit ergibt sich für die Länge der -ten Diagonale

$d_{k}=2\,r_{u}\cdot \sin \left({\frac {(k+1)\pi }{n}}\right)=a\cdot \sin \left({\frac {(k+1)\pi }{n}}\right)\cdot \csc \left({\frac {\pi }{n}}\right)$ .

Für die Längen der Diagonalen in einem einfachen regelmäßigen Polygon gilt die Identität

$d_{k}=d_{n-k-2}$ .

Ist die Eckenzahl des Polygons gerade, sind daher ${\tfrac {n-2}{2}}$ Diagonalen unterschiedlich lang; ist die Eckenzahl ungerade, gibt es ${\tfrac {n-3}{2}}$ verschieden lange Diagonalen. Bei gegebener Seitenlänge ergeben sich beispielsweise die folgenden expliziten Formeln für die Längen der Diagonalen einfacher regelmäßiger Polygone:

Polygon	Diagonalen
Polygon	Diagonale $d_{1}$	Diagonale $d_{2}$	Diagonale $d_{3}$	Diagonale $d_{4}$	Diagonale $d_{5}$
Viereck	$a\cdot {\sqrt {2}}$
Fünfeck	$a\cdot {\tfrac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)$
Sechseck	$a\cdot {\sqrt {3}}$	$a\cdot 2$
Achteck	$a\cdot {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}$	$a\cdot \left(1+{\sqrt {2}}\right)$	$a\cdot {\sqrt {2\left(2+{\sqrt {2}}\right)}}$
Zehneck	$a\cdot {\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}$	$a\cdot {\tfrac {1}{2}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)$	$a\cdot {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$	$a\cdot \left(1+{\sqrt {5}}\right)$
Zwölfeck	$a\cdot {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}$	$a\cdot \left(1+{\sqrt {3}}\right)$	$a\cdot {\sqrt {3\left(2+{\sqrt {3}}\right)}}$	$a\cdot \left(2+{\sqrt {3}}\right)$	$a\cdot 2{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}$

Eigenschaften

Symmetrien

Symmetrieachsen beim regelmäßigen Fünfeck und Sechseck

Die Symmetriegruppe eines regelmäßigen -Ecks ist die Diedergruppe $D_{n}$ . Die Diedergruppe weist die Ordnung auf und besteht aus

Rotationen der zyklischen Gruppe $C_{n}$ und
Spiegelungen an den Symmetrieachsen durch den Mittelpunkt des Polygons.

Ist gerade, dann verläuft die eine Hälfte der Symmetrieachsen durch zwei gegenüberliegende Ecken und die andere Hälfte durch zwei Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten. Ist ungerade, dann verlaufen alle Symmetrieachsen durch eine Ecke und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite.

Jedes regelmäßige Polygon mit gerader Eckenzahl ist auch punktsymmetrisch bezüglich seines Mittelpunkts.

Zerlegungen

Zerlegungen eines regelmäßigen Siebenecks und eines regelmäßigen Achtecks entlang aller Diagonalen

Die Gesamtzahl aller Diagonalen in einem regelmäßigen -Eck ergibt sich zu ${\tfrac {1}{2}}n(n-3)$ (Folge A000096 in OEIS), da von jeder der Ecken n-3 Diagonalen ausgehen und bei dieser Zählung alle Diagonalen doppelt gezählt werden. Bei einem einfachen regelmäßigen Polygon mit gerader Eckenzahl verlaufen alle Diagonalen durch den Mittelpunkt des Polygons. Bei ungerader Eckenzahl wird durch die Diagonalen im Inneren ein verkleinerte Kopie des Polygons gebildet. Die Anzahl der Schnittpunkte der Diagonalen im Inneren eines einfachen regelmäßigen -Ecks ergibt die Folge

$0,1,5,13,35,49,\ldots$ (Folge A006561 in OEIS).

Die Anzahl der Teilpolygone, die durch eine vollständige Zerlegung eines einfachen regelmäßigen -Ecks entlang der Diagonalen entsteht, ergibt die Folge

$1,4,11,24,50,80,\ldots$ (Folge A007678 in OEIS).

Die Anzahl der Möglichkeiten, ein einfaches regelmäßiges -Eck überschneidungsfrei entlang der Diagonalen in Teilpolygone zu zerteilen, wird durch die kleinen Schröder-Zahlen $s_{n-2}$ angegeben. Sollen diese Teilpolygone ausschließlich Dreiecke sein, wird die Anzahl der Möglichkeiten durch die Catalan-Zahlen $C_{n-2}$ angegeben. Allgemeiner werden auch Zerlegungen regelmäßiger Polygone untersucht, bei denen nicht nur die Diagonalen verwendet werden dürfen, zum Beispiel die Zerlegung in flächengleiche Dreiecke.

Abstände

Die Summe der Abstände von einem beliebigen Punkt im Inneren eines regelmäßigen Polygons zu den Seiten ist gleich der Summe der Abstände vom Mittelpunkt zu den Seiten

Nach dem Satz von Viviani ist die Summe der senkrechten Abstände von einem beliebigen Punkt im Inneren eines einfachen regelmäßigen Polygons zu den Polygonseiten gleich der Summe der Abstände vom Mittelpunkt zu den Seiten und damit gleich $n\cdot r_{i}$ . Betrachtet man nämlich die Dreiecke, die von dem Punkt und jeweils zwei benachbarten Eckpunkten gebildet werden, dann ist die Summe der Flächeninhalte dieser Dreiecke gleich dem gesamten Flächeninhalt des Polygons, also

${\frac {a}{2}}\,d(P,a)+{\frac {a}{2}}\,d(P,b)+{\frac {a}{2}}\,d(P,c)+\dotsb ={\frac {n\,a\,r_{i}}{2}}$ .

Die Aussage ergibt sich dann durch Dividieren beider Seiten der Gleichung durch ${\tfrac {a}{2}}$ . Weitere Identitäten in regelmäßigen Polygonen sind:

Die Summe der Abstände von den Eckpunkten zu einer beliebigen Umkreistangente ist $n\cdot r_{u}$ .
Die Summe der Abstandsquadrate von den Eckpunkten zu einem beliebigen Punkt auf dem Umkreis ist $2n\cdot (r_{u})^{2}$ .
Die Summe der Abstandsquadrate von den Seitenmitten zu einem beliebigen Punkt auf dem Umkreis ist $2n\cdot (r_{u})^{2}-{\tfrac {1}{4}}n\cdot a^{2}$ .

Das Produkt der Abstände von einem Eckpunkt zu allen anderen Eckpunkten ergibt sich in einem regelmäßigen Polygon zu

$\prod _{k=1}^{n-1}2r_{u}\cdot \sin \left({\frac {k\pi }{n}}\right)=n\cdot (r_{u})^{n-1}$ .

Maximalität

Von allen in einen Kreis einbeschriebenen Sechsecken hat das regelmäßige Sechseck die größte Fläche

Regelmäßige Polygone maximieren nach dem Satz von Zenodoros den Flächeninhalt im Vergleich zu anderen Polygonen in folgender Weise:

Von allen -Ecken mit gleichem Umfang hat das regelmäßige -Eck den größten Flächeninhalt.
Von allen in einen gegebenen Kreis einbeschriebenen -Ecken hat das regelmäßige -Eck den größten Flächeninhalt.
In jeder endlichen Menge regelmäßiger Polygone mit gleichem Umfang hat dasjenige mit den meisten Ecken den größten Flächeninhalt.

Andererseits gilt aber auch die isoperimetrische Ungleichung:

Ein Kreis hat einen größeren Flächeninhalt als jedes regelmäßige Polygon mit gleichem Umfang.

Konstruktion

Zirkel und Lineal

Konstruktion eines regelmäßigen Siebzehnecks mit Zirkel und Lineal nach Herbert W. Richmond

→ Hauptartikel: Konstruierbares Polygon

Die Frage, welche regelmäßigen -Ecke unter ausschließlicher Verwendung von Zirkel und Lineal konstruiert werden können, wurde bereits in der Antike untersucht, aber erst im 19. Jahrhundert von Carl Friedrich Gauß und Pierre Wantzel abschließend beantwortet. Demnach ist ein regelmäßiges Polygon genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn die Zahl seiner Seiten von der Form

$n=2^{r}p_{1}\cdots p_{k}$

ist, wobei $r,k\in \mathbb {N} _{0}$ und $p_{1},\ldots ,p_{k}$ paarweise voneinander verschiedene fermatsche Primzahlen sind. Das kleinste nicht konstruierbare regelmäßige Polygon ist damit das regelmäßige Siebeneck. Lässt man zur Konstruktion zusätzlich ein Hilfsmittel zur Dreiteilung eines Winkels zu, so sind alle regelmäßigen Polygone mit Seitenzahlen der Form

$n=2^{r}3^{s}p_{1}\cdots p_{k}$

konstruierbar, wobei $r,s,k\in \mathbb {N} _{0}$ und $p_{1},\ldots ,p_{k}$ verschiedene Pierpont-Primzahlen größer als drei sind. Auf diese Weise sind beispielsweise auch das regelmäßige Siebeneck, das regelmäßige Neuneck> und das regelmäßige Dreizehneck konstruierbar, nicht jedoch das regelmäßige Elfeck. Konkrete Konstruktionsvorschriften für regelmäßige Polygone zu finden gestaltet sich jedoch mit wachsender Eckenzahl schnell als sehr aufwändig. Es gibt solche Konstruktionsvorschriften aber unter anderem für das 17-Eck, das 257-Eck und das 65537-Eck.

Koordinaten

Die fünften Einheitswurzeln in der komplexen Ebene

Zur Berechnung der Eckpunkte eines regelmäßigen -Ecks können die komplexen Lösungen der Kreisteilungsgleichung $z^{n}=1$ verwendet werden. Die Polarkoordinaten $(r_{k},\varphi _{k})$ des -ten Eckpunkts eines regelmäßigen -Ecks mit der Windungszahl (bei einfachen Polygonen ist m=1 ), dem Koordinatenursprung als Mittelpunkt, dem Umkreisradius $r_{u}$ und dem Drehwinkel $\theta$ haben so die einfache Form

$(r_{k},\varphi _{k})=\left(r_{u},{\frac {2\pi km}{n}}+\theta \right)$ .

Für $r_{u}=1$ , m=1 und $\theta =0$ entsprechen diese Eckpunkte gerade den -ten Einheitswurzeln in der komplexen Zahlenebene. In einem kartesischen Koordinatensystem lauten die Koordinaten $(x_{k},y_{k})$ des -ten Eckpunkts entsprechend

$(x_{k},y_{k})=\left(r_{u}\cdot \cos \left({\frac {2\pi km}{n}}+\theta \right),r_{u}\cdot \sin \left({\frac {2\pi km}{n}}+\theta \right)\right)$ .

Algorithmus

In Pseudocode kann ein regelmäßiges Polygon mit Ecken, der Windungszahl , dem Umkreisradius und dem Drehwinkel somit wie folgt dargestellt werden:

function regpoly(n,m,r,t)
  for k = 1 to n              // Schleife über die Seiten bzw. Ecken
    w = 2 * pi * m/n;         // Mittelpunktswinkel
    x1 = r * cos(k*w+t);      // Koordinaten (x1,y1) des ersten Eckpunkts
    y1 = r * sin(k*w+t);
    x2 = r * cos((k+1)*w+t);  // Koordinaten (x2,y2) des zweiten Eckpunkts
    y2 = r * sin((k+1)*w+t);
    line(x1,y1,x2,y2)         // Linie von (x1,y1) nach (x2,y2)
  end

Asymptotik

Kreis als Grenzform

Schrittweise Annäherung an einen Kreis durch ein- beziehungsweise umbeschriebene regelmäßige Polygone

Für wachsende Seitenzahl nähert sich die Form eines einfachen regelmäßigen -Ecks bei konstantem Inkreis- oder Umkreisradius immer mehr einem Kreis an. Das Verhältnis von Umfang und Inkreis- oder Umkreisradius strebt dabei gegen den Grenzwert

$\lim _{n\to \infty }2n\cdot \sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)=\lim _{n\to \infty }2n\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)=2\pi$ .

Das Verhältnis von Flächeninhalt und dem Quadrat des Inkreis- oder des Umkreisradius strebt für wachsendes entsprechend gegen den Grenzwert

$\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{2}}\cdot \sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)=\lim _{n\to \infty }n\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)=\pi$ .

Seitenzahl	Umkreisradius $r_{u}=1$				Inkreisradius $r_{i}=1$
Seitenzahl	Seitenlänge	Inkreisradius	Umfang	Flächeninhalt	Seitenlänge	Umkreisradius	Umfang	Flächeninhalt
3	1,732050808	0,500000000	5,196152423	1,299038106	3,464101615	2,000000000	10,39230485	5,196152423
4	1,414213562	0,707106781	5,656854249	2,000000000	2,000000000	1,414213562	8,000000000	4,000000000
5	1,175570505	0,809016994	5,877852523	2,377641291	1,453085056	1,236067978	7,265425280	3,632712640
6	1,000000000	0,866025404	6,000000000	2,598076211	1,154700538	1,154700538	6,928203230	3,464101615
7	0,867767478	0,900968868	6,074372348	2,736410189	0,963149238	1,109916264	6,742044663	3,371022332
8	0,765366865	0,923879533	6,122934918	2,828427125	0,828427125	1,082392200	6,627416998	3,313708499
9	0,684040287	0,939692621	6,156362580	2,892544244	0,727940469	1,064177772	6,551464217	3,275732108
10	0,618033989	0,951056516	6,180339888	2,938926261	0,649839392	1,051462224	6,498393925	3,249196962
100	0,062821518	0,999506560	6,282151816	3,139525976	0,062852532	1,000493683	6,285253209	3,142626604
1000	0,006283175	0,999995065	6,283174972	3,141571983	0,006283206	1,000004935	6,283205978	3,141602989
10000	0,000628319	0,999999951	6,283185204	3,141592447	0,000628319	1,000000049	6,283185514	3,141592757
100000	0,000062832	0,999999999	6,283185306	3,141592652	0,000062832	1,000000000	6,283185309	3,141592655
	$2\cdot \sin \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)$	$\cos \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)$	$2n\cdot \sin \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)$	${\tfrac {n}{2}}\cdot \sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}\right)$	$2\cdot \tan \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)$	$\sec \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)$	$2n\cdot \tan \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)$	$n\cdot \tan \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)$

Apeirogon als Grenzform


Regelmäßige Parkettierungen der hyperbolischen Ebene durch Apeirogone

Wird bei wachsender Seitenzahl stattdessen die Seitenlänge konstant gehalten, nähert sich die Form eines einfachen regelmäßigen -Ecks einer degenerierten geometrischen Figur an, die Apeirogon (von griechisch ἄπειρον, das Unbeschränkte) genannt wird und mit dem Schläfli-Symbol $\{\infty \}$ bezeichnet wird. Ein Apeirogon kann als eine Aneinanderreihung unendlich vieler gleich langer Linienstücke der Form

...

visualisiert werden oder auch als Kreis mit einem unendlich großen Radius angesehen werden. Die Innenwinkel eines Apeirogons sind gestreckte Winkel und messen daher

$\mu =180^{\circ }=\pi$ .

Im hyperbolischen Raum ist ein Apeirogon jedoch nicht mehr degeneriert und besitzt eine Reihe interessanter Eigenschaften. So lässt sich beispielsweise die hyperbolische Ebene durch Apeirogone auf verschiedene Weisen regelmäßig parkettieren.

Schachtelungen

Alternierend geschachtelte Kreise und regelmäßige Polygone mit wachsender Seitenzahl

Wird in einen Einheitskreis ein regelmäßiges Dreieck einbeschrieben, in dessen Inkreis dann ein regelmäßiges Viereck, in wiederum dessen Inkreis ein regelmäßiges Fünfeck, und so weiter, dann konvergiert die Folge der Inkreisradien gegen den Grenzwert

$\prod _{n=3}^{\infty }\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)=0{,}1149420\ldots$ (Folge A085365 in OEIS),

der Kepler-Bouwkamp-Konstante oder polygon inscribing constant genannt wird. Analog konvergiert Folge der Umkreisradien, wenn um einen Einheitskreis abwechselnd regelmäßige Polygone mit wachsender Seitenzahl und deren Umkreise umbeschrieben werden, gegen den Grenzwert

$\prod _{n=3}^{\infty }\sec \left({\frac {\pi }{n}}\right)=8{,}7000366\ldots$ (Folge A051762 in OEIS),

der als polygon circumscribing constant bekannt ist.

Das Produkt der beiden Konstanten ist 1.

Verwendung

Polygonalzahlen


Die vierte zentrierte Fünfeckszahl (31) und Sechseckszahl (37)

In der Zahlentheorie werden die Polygonalzahlen und die zentrierten Polygonalzahlen betrachtet, die dadurch entstehen, dass mit einer bestimmten Zahl von Steinen regelmäßige Polygone gelegt werden. Nach dem fermatschen Polygonalzahlensatz lässt sich jede Primzahl als Summe von höchstens solcher -Eckszahlen darstellen. Ein bekannter Spezialfall dieses Satzes ist der Vier-Quadrate-Satz von Joseph Louis Lagrange. Die dreidimensionalen Verallgemeinerungen der Polygonalzahlen heißen Pyramidalzahlen.

Näherung von π

Prinzip der Exhaustionsmethode zur schrittweisen Näherung der Kreiszahl π

Archimedes setzte im 3. Jahrhundert v. Chr. erstmals regelmäßige Polygone ein, um die Kreiszahl $\pi$ mit Hilfe der Exhaustionsmethode näherungsweise zu berechnen. Hierzu verwendete er eine Folge von Polygonen, die einem Einheitskreis mit Radius r=1 ein- beziehungsweise umbeschrieben sind. Er begann dabei mit dem regelmäßigen Sechseck und führte die Reihe mit dem Zwölfeck, dem 24-Eck, dem 48-Eck bis hin zum 96-Eck fort. Auf diese Weise gewann er die Abschätzung

$3+{\frac {10}{71}}<\pi <3+{\frac {1}{7}}$ .

Im Mittelalter setzten chinesische und persische Wissenschaftler diese Berechnungen mit dem 192-Eck und weiteren Polygonen fort. Ludolph van Ceulen führte im 16. Jahrhundert Berechnungen bis zum regelmäßigen $2^{62}$ -Eck durch und ermittelte so die Kreiszahl $\pi$ bis auf 35 Stellen genau. Allgemein ergeben sich durch die Approximation eines Kreises mit ein- und umschriebenen regelmäßigen -Ecken Abschätzungen von $\pi$ der Form

${\frac {n}{2}}\cdot \sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)<\pi <n\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)$ .

Die trigonometrischen Terme lassen sich dabei mit Hilfe von Rekursionsformeln berechnen.

Parkettierungen


Parkettierungen aus Dreiecken, Vierecken und Sechsecken

Regelmäßige Polygone können auch als Kacheln einer Parkettierung der Ebene verwendet werden. Wird nur ein regelmäßiges Polygon als Kachel zugelassen, wobei die Kacheln Kante an Kante angeordnet werden müssen, ergeben sich die drei platonischen Parkettierungen aus regelmäßigen Dreiecken, Vierecken und Sechsecken. Werden verschiedene regelmäßige Polygone als Kacheln zugelassen, wobei an den Ecken stets die gleiche Anordnung von Polygonen zusammenstoßen muss, erhält man die acht archimedischen Parkettierungen. Eine weitaus größere Vielfalt an Parkettierungen ergibt sich, wenn an den Ecken unterschiedliche Kombinationen von Polygonen zugelassen werden.

Polyeder

Im dreidimensionalen Raum bilden regelmäßige Polygone die Seitenflächen von regulären Polyedern. Wird nur ein regelmäßiges Polygon verwendet, wobei an den Ecken immer gleich viele Polygone zusammenstoßen müssen, erhält man die fünf platonischen Körper Tetraeder, Hexaeder, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder. Werden verschiedene regelmäßige Polygone als Seitenflächen zugelassen, wobei an den Ecken stets die gleiche Anordnung von Polygonen zusammenstoßen muss, ergeben sich die 13 archimedischen Körper sowie bestimmte Prismen und Antiprismen. Werden auch nichtuniforme Ecken zugelassen, erhält man die 92 Johnson-Körper. Mit manchen dieser Polyeder lässt sich auch der dreidimensionale Raum parkettieren. Es gibt auch Sternkörper, deren Seitenflächen regelmäßige Polygone sind, wie zum Beispiel das Sterntetraeder.

Vorkommen

Architektur

Das Pentagon von oben

Regelmäßige Polygone werden in der Architektur häufig als Grundriss von Zentralbauten verwendet. Beispielsweise sind

quadratisch: die ägyptischen Pyramiden, Vierungstürme im Kirchenbau
fünfeckig: das Pentagon in Washington, die Festung Rosenberg in Kronach
sechseckig: die Festung Saarlouis, das Fort Jefferson in Florida
siebeneckig: das Kultur- und Kongresszentrum Liederhalle in Stuttgart, das Fürstliche Mausoleum in Stadthagen
achteckig: der Felsendom in Jerusalem, das Castel del Monte in Apulien
neuneckig: die Festungsstadt Palmanova, die Häuser der Andacht der Bahai
zwölfeckig: der Torre del Oro in Sevilla, die Kirche La Vera Cruz in Segovia
vierzehneckig: die Kirche Notre-Dame de l’Assomption in Rieux-Minervois
sechzehneckig: der Zentralbau des Aachener Doms, die Stierkampfarena La Malagueta in Málaga

Numismatik

Ägyptische 2,5-Millim-Münze von 1933

Münzen sind nicht immer kreisrund, sondern haben manchmal auch eine polygonale Form. Solche in der Numismatik als Klippen bezeichnete Münzen wurden früher als Notmünzen geprägt, sie finden sich gelegentlich aber auch als Kurs- oder Gedenkmünzen. Beispiele für im Umlauf befindliche Klippen in Form eines regelmäßigen Polygons sind:

quadratisch: die 50-Cent-Münze der niederländischen Antillen
sechseckig: die indische 20-Paise-Münze
siebeneckig: die britischen 20- und 50-Pence-Münzen
achteckig: die chilenischen Ein- und Fünf-Peso-Münzen
elfeckig: die indische Zwei-Rupien-Münze
zwölfeckig: die australische 50-Cent-Münze

Moderne Klippen haben dabei häufig die Form eines Reuleaux-Polygons mit nach außen gekrümmten Seiten, damit sie auch von Münzautomaten erkannt werden können.

Natur

Bienenwaben

Regelmäßige polygonale Strukturen kommen auch in der Natur vor. Manche Atome können cyclische Verbindungen eingehen, wie zum Beispiel der Benzolring C₆H₆ in Form eines regelmäßigen Sechsecks. Auch in der Struktur von Kristallen treten regelmäßige Polygone auf, beispielsweise in kubischen oder hexagonalen Kristallsystemen. In der Biologie finden sich regelmäßige Polygone unter anderem bei Okrafrüchten (fünfeckig) und Bienenwaben (sechseckig).

Symbolik

Einige regelmäßige Polygone haben neben der geometrischen auch eine symbolische Bedeutung, zum Beispiel das Dreiecksymbol oder das Pentagramm. Verkehrszeichen, insbesondere Vorfahrtsschilder, haben häufig die Form eines regelmäßigen Polygons mit abgerundeten Ecken.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de