Konstruierbares Polygon

Konstruktion eines regelmäßigen Fünfecks

In der Mathematik ist ein konstruierbares Polygon ein regelmäßiges Polygon, das mit Zirkel und (unmarkiertem) Lineal – den Euklidischen Werkzeugen – konstruiert werden kann. Zum Beispiel ist das regelmäßige Fünfeck konstruierbar, das regelmäßige Siebeneck hingegen nicht.

Konstruierbarkeit

Anwendungsbeispiel Höhensatz
Durch die Ergänzung der konstruierten Zahl

mit $|BC|$ = 1 ist mittels Thaleskreis ${\sqrt {a}}$ konstruierbar.
Zahlenbeispiel: $a=9;$ $\;1={\frac {a}{9}};$ $\;{\sqrt {a}}={\sqrt {9}}$

Um den Begriff „mit Zirkel und Lineal konstruierbar“ mathematisch präzise zu erfassen, muss definiert werden, was mit diesen Werkzeugen möglich ist. Wir gehen davon aus, dass am Anfang einer jeden Konstruktion zwei Punkte gegeben sind. Mit dem Lineal kann man dann eine Gerade durch zwei Punkte konstruieren, mit dem Zirkel einen Kreis durch einen Punkt um einen anderen Punkt als Mittelpunkt. Außerdem seien die Schnittpunkte von Geraden und Kreisen konstruierbar.

Aus diesen Grundkonstruktionen lassen sich eine Reihe weiterer Konstruktionen ableiten, wie die Konstruktion einer Mittelsenkrechte oder das Fällen eines Lotes. Man nennt dann eine positive reelle Zahl konstruierbar, wenn man zwei Punkte konstruieren kann, sodass der euklidische Abstand zwischen ihnen gleich dem Betrag dieser Zahl ist (wobei der Abstand zweier vorgegebener Punkte als 1 definiert wird). Ist beispielsweise die Zahl a>0 konstruierbar, so kann man mit Hilfe des Höhensatzes zwei Punkte mit Abstand ${\sqrt {a}}$ konstruieren. Sind zwei Zahlen und konstruierbar, so mit Hilfe des Strahlensatzes auch deren Produkt und der Kehrwert $\frac{1}{a}$ , sowie durch Abgreifen eines Abstandes deren Summe a+b und Differenz a-b . → Siehe zu den algebraische Operationen auch den Artikel Konstruktion mit Zirkel und Lineal. Ein Winkel $\alpha$ heiße konstruierbar, wenn die Zahl $\cos(\alpha)$ konstruierbar ist; der Sinn dieser Definition erschließt sich schnell durch Betrachten des Einheitskreises.

Um nun ein regelmäßiges -Eck zu konstruieren, genügt es, den Zentriwinkel $\frac{2\pi}{n}$ zu konstruieren, denn wenn man den Mittelpunkt des -Ecks und eine Ecke gegeben hat, lässt sich ausgehend von der Verbindungsgeraden durch Mittelpunkt und Eckpunkt der nächste Eckpunkt konstruieren. Ist umgekehrt ein regelmäßiges -Eck gegeben, so kann man den Zentriwinkel abgreifen. Zur Beantwortung der Frage, ob das -Eck konstruierbar ist, ist man also auf den Fall zurückgeführt, zu entscheiden, ob der Zentriwinkel konstruierbar ist.

Konstruierbarkeit von Zahlen

Eine Zahl heißt genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn sie z. B. eine ganze Zahl, eine Dezimalzahl mit endlicher Anzahl Nachkommastellen oder die positive Wurzel aus einer dieser Zahlen (siehe Anwendungsbeispiel Höhensatz) ist, genauer gesagt die Länge einer Strecke ist, die wie hier beschrieben konstruiert werden kann.

In der synthetischen Geometrie werden auch Punkte und Zahlen untersucht, die etwas allgemeiner aus einer (fast) beliebigen Vorgabemenge von Streckenlängen konstruiert werden können. Dazu werden Körpererweiterungen der rationalen Zahlen betrachtet, die euklidische Körper und damit Koordinatenkörper einer euklidischen Ebene (im Sinne der synthetischen Geometrie) sind. Die Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal einer Zahl bedeutet dann, dass sie eine Koordinate eines aus den Vorgaben konstruierbaren Punktes in der Ebene ist. → Siehe zu diesen Begriffsbildungen auch den Artikel euklidischer Körper!

Kriterium für Konstruierbarkeit

Carl Friedrich Gauß zeigte 1796, dass das regelmäßige Siebzehneck konstruierbar ist. Dazu wies er nach, dass die Zahl $\cos\frac{2\pi}{17}$ als Ausdruck dargestellt werden kann, der nur ganze Zahlen, arithmetische Grundoperationen und verschachtelte Quadratwurzeln enthält. Durch die in seinen Disquisitiones Arithmeticae entwickelte Theorie gelang es Gauß fünf Jahre später, eine hinreichende Bedingung für die Konstruktion regelmäßiger Polygone anzugeben:

Wenn das Produkt einer Potenz von 2 mit paarweise voneinander verschiedenen Fermatschen Primzahlen ist, dann ist das regelmäßige -Eck konstruierbar.

Gauß wusste zwar, dass die Bedingung auch notwendig ist, hat allerdings seinen Beweis hierfür nicht veröffentlicht. Pierre-Laurent Wantzel holte dies 1837 nach.

Man kann zeigen, dass eine Zahl $n\geq 2$ genau dann das Produkt einer Potenz von 2 mit verschiedenen Fermatschen Primzahlen ist, wenn $\varphi(n)$ eine Potenz von 2 ist. Hierbei bezeichnet $\varphi$ die Eulersche φ-Funktion.

Zusammenfassend: Für eine Zahl $n\geq 3$ sind die folgenden Aussagen äquivalent:

Das regelmäßige -Eck ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar.
$n = 2^kp_1\cdots p_m$ mit $k\in\N_0$ und $m\in\N_0$ paarweise verschiedenen Fermatschen Primzahlen $p_1,\dots,p_m$ .

Dabei steht das für m=0 sich ergebende leere Produkt definitionsgemäß für die Zahl 1.

$\varphi(n) = 2^r$ für ein $r\in\N$ .

Sind insbesondere und teilerfremd und sowohl das -Eck als auch das -Eck konstruierbar, so ist wegen $\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)$ auch das -Eck konstruierbar. Für diese Tatsache lässt sich auch direkt die geometrische Konstruktion angeben, denn wenn und teilerfremd sind, so gibt es nach dem Lemma von Bézout zwei ganze Zahlen und mit 1=am+bn. Indem man nun -mal den Zentriwinkel des -Ecks und -mal den Zentriwinkel des -Ecks anlegt, hat man den Winkel $a\frac{2\pi}{n}+b\frac{2\pi}{m} = \frac{2\pi}{mn}$ – und damit auch das -Eck – konstruiert.

Konkrete Konsequenzen des Kriteriums

Trotz intensiver Suche wurden über die fünf bereits Gauß bekannten Fermatschen Primzahlen 3, 5, 17, 257 und 65537 hinaus bis heute keine weiteren gefunden. Es besteht sogar die plausible Vermutung, dass es keine weiteren Fermatschen Primzahlen gibt.

→ Hauptartikel: Fermat-Zahl

Sollte es tatsächlich nur fünf Fermatsche Primzahlen geben, dann sind unter den Polygonen mit ungerader (!) Eckenzahl genau die folgenden 31 theoretisch konstruierbar:

Eckenzahl	Produkt Fermatscher Primzahlen

3
5
15	$3\cdot 5$
17
51	$3\cdot 17$
85	$5\cdot 17$
255	$3 \cdot 5 \cdot 17$

Eckenzahl	Produkt Fermatscher Primzahlen
257	$257$
771	$3\cdot 257$
1.285	$5\cdot 257$
3.855	$3\cdot 5\cdot 257$
4.369	$17\cdot 257$
13.107	$3\cdot 17\cdot 257$
21.845	$5\cdot 17\cdot 257$
65.535	$3\cdot 5\cdot 17\cdot 257$

Eckenzahl	Produkt Fermatscher Primzahlen
65.537	$65537$
196.701	$3\cdot 65537$
327.835	$5\cdot 65537$
983.055	$3\cdot 5\cdot 65537$
1.114.639	$17\cdot 65537$
3.342.387	$3\cdot 17\cdot 65537$
5.570.645	$5\cdot 17\cdot 65537$
16.711.935	$3\cdot 5\cdot 17\cdot 65537$

Eckenzahl	Produkt Fermatscher Primzahlen
16.850.719	$257\cdot 65537$
50.529.027	$3\cdot 257\cdot 65537$
84.215.045	$5\cdot 257\cdot 65537$
252.645.135	$3\cdot 5\cdot 257\cdot 65537$
286.331.153	$17\cdot 257\cdot 65537$
858.993.459	$3\cdot 17\cdot 257\cdot 65537$
1.431.655.765	$5\cdot 17\cdot 257\cdot 65537$
4.294.967.295	$3\cdot 5\cdot 17\cdot 257\cdot 65537$

Alle anderen konstruierbaren Polygone (dann mit gerader Eckenzahl) sind das Quadrat oder sie ergeben sich durch (fortgesetztes) Verdoppeln der Eckenzahl.

Für das Dreieck, Fünfeck, Siebzehneck und 257-Eck sind Konstruktionsanweisungen bekannt, eine angeblich existierende Konstruktionsanweisung für das 65537-Eck ist – sofern sie existiert – nicht zugänglich oder verifiziert. Damit liegen nur für die ungeraden Polygone bis zum 65535-Eck Konstruktionsanweisungen vor.

Lässt man zur Konstruktion zusätzlich ein Hilfsmittel zur Dreiteilung eines Winkels (Trisektion) zu, so sind alle regelmäßigen Polygone mit Eckenzahlen der Form $n=2^{r}3^{s}p_{1}\cdots p_{k}$ konstruierbar, wobei $p_{1},\ldots ,p_{k}$ mit $k \in \N_0$ verschiedene Pierpont-Primzahlen größer als drei der Form 2^t3^u+1 sind. Auf diese Weise sind beispielsweise auch das Siebeneck^[2], das Neuneck und das Dreizehneck konstruierbar.

Werden als zusätzliche Hilfsmittel z.B. die Quadratrix des Hippias oder die archimedische Spirale akzeptiert, die neben der Dreiteilung auch Teilungen mit gleich große Winkel ermöglichen, wie das Beispiel Neunzehneck zeigt, sind theoretisch sämtliche regelmäßige Polygone konstruierbar.

Daraus folgt, lässt man als zusätzliches Hilfsmittel nur die Dreiteilung eines Winkels (Trisektion) zu, ergibt sich für regelmäßige Polygone bis zum 100-Eck folgende Tabelle für die Konstruktion mit Zirkel und Lineal (ja), bzw. zusätzlich Trisektion (Tr):

Eckenzahl	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Konstruierbar	Ja	Ja	Ja	Ja	Tr.	Ja	Tr.	Ja	Nein	Ja	Tr.	Tr.	Ja	Ja

Eckenzahl	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
Konstruierbar	Ja	Tr.	Tr.	Ja	Tr.	Nein	Nein	Ja	Nein	Tr.	Tr.	Tr.	Nein	Ja

Eckenzahl	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40	41	42	43	44
Konstruierbar	Nein	Ja	Nein	Ja	Tr.	Tr.	Tr.	Tr.	Tr.	Ja	Nein	Tr.	Nein	Nein

Eckenzahl	45	46	47	48	49	50	51	52	53	54	55	56	57	58
Konstruierbar	Tr.	Nein	Nein	Ja	Nein	Nein	Ja	Tr.	Nein	Tr.	Nein	Tr.	Tr.	Nein

Eckenzahl	59	60	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	72
Konstruierbar	Nein	Ja	Nein	Nein	Tr.	Ja	Tr.	Nein	Nein	Ja	Nein	Tr.	Nein	Tr.

Eckenzahl	73	74	75	76	77	78	79	80	81	82	83	84	85	86
Konstruierbar	Tr.	Tr.	Nein	Tr.	Nein	Tr.	Nein	Ja	Tr.	Nein	Nein	Tr.	Ja	Nein

Eckenzahl	87	88	89	90	91	92	93	94	95	96	97	98	99	100
Konstruierbar	Nein	Nein	Nein	Tr.	Tr.	Nein	Nein	Nein	Tr.	Ja	Tr.	Nein	Nein	Nein

Klassisch konstruierbar sind folgende Polygone (bis 1000):

3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257, 272, 320, 340, 384, 408, 480, 510, 512, 514, 544, 640, 680, 768, 771, 816, 960

Nur mit Hilfe mind. einer Dreiteilung (bis 1000) Folge A051913 in OEIS:

7, 9, 13, 14, 18, 19, 21, 26, 27, 28, 35, 36, 37, 38, 39, 42, 45, 52, 54, 56, 57, 63, 65, 70, 72, 73, 74, 76, 78, 81, 84, 90, 91, 95, 97, 104, 105, 108, 109, 111, 112, 114, 117, 119, 126, 130, 133, 135, 140, 144, 146, 148, 152, 153, 156, 162, 163, 168, 171, 180, 182, 185, 189, 190, 193, 194, 195, 208, 210, 216, 218, 219, 221, 222, 224, 228, 234, 238, 243, 247, 252, 259, 260, 266, 270, 273, 280, 285, 288, 291, 292, 296, 304, 306, 312, 315, 323, 324, 326, 327, 333, 336, 342, 351, 357, 360, 364, 365, 370, 378, 380, 386, 388, 390, 399, 405, 416, 420, 432, 433, 436, 438, 442, 444, 448, 456, 459, 468, 476, 481, 485, 486, 487, 489, 494, 504, 511, 513, 518, 520, 532, 540, 545, 546, 555, 560, 567, 570, 576, 577, 579, 582, 584, 585, 592, 608, 612, 624, 629, 630, 646, 648, 652, 654, 657, 663, 666, 672, 679, 684, 702, 703, 714, 720, 728, 729, 730, 740, 741, 756, 760, 763, 765, 769, 772, 776, 777, 780, 798, 810, 815, 819, 832, 840, 855, 864, 866, 872, 873, 876, 884, 888, 896, 912, 918, 936, 945, 949, 952, 962, 965, 969, 970, 972, 974, 978, 981, 988, 999

Eckenzahlen konstruierbarer Polygone findet man auch in der Folge A003401 in OEIS, Eckenzahlen nicht klassisch konstruierbarer Polygone in der Folge A004169 in OEIS.

Galoistheorie

Durch Entwicklung der Galoistheorie gelangte man zu einer tieferen Einsicht in das Problem. Die Menge der konstruierbaren Zahlen bildet nämlich einen Körper, in dem zusätzlich auch aus positiven Zahlen die Quadratwurzel gezogen werden kann. Insbesondere entspricht das Schneiden von Geraden dem Lösen einer linearen Gleichung und das Schneiden einer Geraden mit einem Kreis oder das Schneiden zweier Kreise dem Lösen einer quadratischen Gleichung. In der Sprache der Körpererweiterungen ist das folgende Tatsache:

Ist eine konstruierbare Zahl, so gibt es einen Körperturm $\mathbb{Q}\subsetneq M_0 \subsetneq M_1 \subsetneq \dots \subsetneq M_m$ , so dass $a\in M_m$ und $M_{i+1}=M_i[\sqrt{\gamma_i}]$ für ein $\gamma_i\in M_i$ .

Umgekehrt ist natürlich auch jede Zahl aus M_m konstruierbar. Ist also konstruierbar, so ist algebraisch und es ist $[\mathbb{Q}[a]:\mathbb{Q}]=2^m$ eine Potenz von 2.

Zur Klärung der Konstruktion von regelmäßigen -Ecken mit $n\geq 3$ betrachtet man Kreisteilungskörper $\mathbb{Q}[\zeta_n]$ als Körpererweiterung über $\mathbb {Q}$ , wobei $\zeta_n := \exp\frac{2\pi\mathrm{i}}{n}$ die -te Einheitswurzel bezeichnet. Die -ten Einheitswurzeln sind die auf dem Einheitskreis liegenden Ecken eines regelmäßigen -Ecks. Es genügt die reelle Zahl $\alpha_n := \zeta_n + \zeta_n^{-1}\in\R$ zu konstruieren.

Sind zum Beispiel und teilerfremd, so ist $\mathbb{Q}[\zeta_{mn}]=\mathbb{Q}[\zeta_m,\zeta_n]$ . Sind dann das - und das -Eck konstruierbar, so ist auch das -Eck konstruierbar.

Um nun obige Argumente anwenden zu können, müssen einige Körpererweiterungsgrade bestimmt werden. Da die Kreisteilungspolynome irreduzibel sind, ist $[\mathbb{Q}[\zeta_n]:\mathbb{Q}] = \varphi(n)$ . Wegen $\zeta_n\not\in\R$ ist $[\mathbb{Q}[\zeta_n]:\mathbb{Q}[\alpha_n]]>1$ , also ist $\operatorname{MinPol}_{\mathbb{Q}[\alpha_n]}(\zeta_n) = X^2-\alpha_nX+1$ , und damit $[\mathbb{Q}[\zeta_n]:\mathbb{Q}[\alpha_n]]=2$ .

Im regelmäßigen -Eck beträgt der Zentriwinkel $\beta := \frac{2\pi}{n}$ . Ist somit das regelmäßige -Eck konstruierbar, so auch eine Strecke der Länge $|{\cos \beta }|=\cos {\frac {2\pi }{n}}$ . Wegen $\alpha_n = 2\cos\frac{2\pi}{n}$ ist dann auch diese Zahl konstruierbar, also muss $[\mathbb{Q}[\alpha_n] : \mathbb{Q}] = 2^m$ eine Potenz von 2 sein. Damit ist dann $\varphi(n) = [\mathbb{Q}[\zeta_n]:\mathbb{Q}] = [\mathbb{Q}[\zeta_n]:\mathbb{Q}[\alpha_n]]\cdot[\mathbb{Q}[\alpha_n]:\mathbb{Q}] = 2^{m+1}$ .

Ist umgekehrt $\varphi(n)=2^m$ , so ist $\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}[\zeta_n]:\mathbb{Q})\cong\left(\Z/n\Z\right)^\times$ eine endliche abelsche Gruppe der Ordnung 2^m . Nach dem Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen existiert dann eine Kette $\left(\Z/n\Z\right)^\times=H_0\triangleright H_1\triangleright\dots\triangleright H_m=\{1\}$ von sukzessiven Normalteilern $H_{i}$ mit $|H_i| = 2^{m-i}$ . Mit dem Hauptsatz der Galoistheorie erhält man daraus dann als Fixkörper von $\mathbb{Q}[\zeta_n]$ einen Körperturm $\mathbb{Q}=M_0\subseteq M_1\subseteq\dots\subseteq M_m=\mathbb{Q}[\zeta_n]$ mit $[M_{i+1}:M_i]=|H_i/H_{i+1}|=2$ , mithin ist $M_{i+1}=M_i[\sqrt{\gamma_i}]$ für $\gamma_i\in M_i$ , und somit ist $\zeta_n$ und damit auch das regelmäßige -Eck konstruierbar.

Sei beispielsweise n=5 . Dann ist $\varphi(n)=2^2$ eine Potenz von 2 und $\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}[\zeta_5]:\mathbb{Q})\cong\left(\Z/5\Z\right)^\times = \langle2\rangle$ , da 2 eine Primitivwurzel modulo 5 ist. Eine mögliche Kette von Normalteilern ist $H_0:=\langle2\rangle \triangleright H_1:=\langle4\rangle \triangleright H_2:=\langle1\rangle$ . Der dazugehörige Körperturm ist $M_0:=\mathbb{Q} \subseteq M_1:=\mathbb{Q}[\zeta_5+\zeta_5^{-1}] \subseteq M_2:=\mathbb{Q}[\zeta_5]$ . Es ist $\operatorname{MinPol}_{\mathbb{Q}}(\alpha_5) = X^2+X-1$ , da es normiert ist und $\alpha_5$ annulliert und mit Reduktion modulo 2 irreduzibel ist. Nach Lösen der Gleichung x^2+x-1=0 ergibt sich $\alpha_5=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{5}$ . Nun könnte man bereits die erste Ecke konstruieren, indem man den Punkt mit Abstand $\alpha_5$ vom Mittelpunkt auf einer Achse aus konstruiert und dann das Lot durch diesen Punkt fällt. Durch Lösen von $x^2-\alpha_5x+1=0$ ergibt sich $\zeta_5=-\frac{1}{4}\left(-1+\sqrt{5}+\mathrm{i}\sqrt{10+2\sqrt{5}}\right)$ . Durch diesen algebraischen Ausdruck lässt sich alternativ die erste Ecke konstruieren, indem man eine reelle und eine imaginäre Achse einzeichnet und mit deren Hilfe den Punkt $\zeta_5$ konstruiert.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de