Fermat-Zahl

Eine Fermat-Zahl, benannt nach dem französischen Mathematiker Pierre de Fermat, ist eine Zahl der Form

mit einer ganzen Zahl .

Im August 1640 vermutete Fermat, dass alle Zahlen dieser Form (die später nach ihm benannt wurden) Primzahlen seien. Dies wurde jedoch 1732 von Leonhard Euler widerlegt, der zeigte, dass die sechste Fermatzahl F₅ durch 641 teilbar ist. Man kennt außer den ersten fünf (3, 5, 17, 257, 65537) derzeit keine weitere Fermat-Zahl, die eine Primzahl ist, und vermutet, dass es außer diesen Zahlen auch keine weitere gibt.

Fermat-Zahlen

Die ersten Fermat-Zahlen lauten und .

Eine etwas längere Liste bis findet man in der folgenden aufklappbaren Box.

Wegen hat die Fermatzahl doppelt so viele oder um eine weniger als doppelt so viele Stellen wie ihre Vorgängerin .

Fermatsche Primzahlen

Die Idee hinter Fermatschen Primzahlen ist der Satz, dass nur für mit prim sein kann:

Die Umkehrung dieses Satzes, dass also jede Fermat-Zahl prim sei, ist falsch. bis sind sogar die einzigen bisher bekannten Fermatschen Primzahlen:

Schon Fermat zeigte, dass diese ersten fünf Fermat-Zahlen Primzahlen sind, und vermutete 1640, dass dies auf alle Fermat-Zahlen zutreffe. Diese Vermutung wurde aber schon 1732 von Leonhard Euler einfach widerlegt, indem er mit 641 einen echten Teiler von F₅ = 4.294.967.297 fand.

Man vermutet inzwischen, dass außer den ersten fünf keine weiteren Fermatschen Primzahlen existieren. Diese Vermutung beruht auf statistischen Abschätzungen: Der Primzahlsatz besagt, dass die Anzahl der Primzahlen, die nicht größer als x sind, näherungsweise gleich x / ln x ist. Die Primzahldichte oder Wahrscheinlichkeit dafür, dass F_n als ungerade Zahl eine Primzahl ist, beträgt daher näherungsweise 2 / ln F_n ≈ 3/2ⁿ. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Fermatzahl F_n oder eine der folgenden Fermatzahlen eine Primzahl ist, ergibt sich durch Summation der geometrische Reihe ungefähr zu 6/2ⁿ.

Für verbliebene weder teilweise noch vollständig faktorisierte Fermat-Zahlen ist diese Wahrscheinlichkeit mit etwa 6 · 10⁻¹⁰ mittlerweile aber sehr klein geworden.

Faktorisierungsergebnisse von Fermat-Zahlen

Die Zahlen F₀ bis F₄ sind, wie schon Fermat erkannt hat, Primzahlen:

Die Zahlen F₅ bis F₁₁ sind entgegen der Vermutung Fermats zusammengesetzt. Sie sind bereits vollständig faktorisiert:

Ab F₁₂ ist keine Fermat-Zahl mehr vollständig faktorisiert. Die ersten drei lauten:

Von F₁₂ bis F₃₂ und von einigen größeren Fermat-Zahlen ist bekannt, dass sie zusammengesetzt sind – hauptsächlich, weil ein oder mehrere Faktoren gefunden wurden. Von zwei Fermat-Zahlen (F₂₀ und F₂₄) kennt man zwar keinen Faktor, hat aber auf andere Art gezeigt, dass sie zusammengesetzt sind.

Für F₁₄ wurde am 3. Februar 2010 ein Faktor veröffentlicht, für F₂₂ am 25. März 2010.

Die kleinste Fermat-Zahl, von der bislang nicht bekannt ist, ob sie prim oder zusammengesetzt ist, ist F₃₃. Diese Zahl hat 2.585.827.973 Stellen.

F_18.233.954 ist die größte Fermat-Zahl, von der ein Faktor bekannt ist, nämlich die Primzahl 7 · 2^18.233.956 + 1. Dieser Faktor wurde am 5. Oktober 2020 von Ryan Propper mit Computer-Programmen von Geoffrey Reynolds, Jean Penné und Jim Fougeron entdeckt und hat 5.488.969 Stellen. Die Fermat-Zahl F_18.233.954 selbst hat allerdings mehr als 10^5.488.966 Stellen.

Insgesamt weiß man von 311 Fermat-Zahlen, dass sie zusammengesetzt sind. 355 Primfaktoren sind bisher bekannt (Stand: 1. Januar 2021).

Der folgenden Tabelle kann man entnehmen, in welchem Intervall wie viele zusammengesetzte Fermat-Zahlen bekannt sind (Stand: 1. Januar 2021):

Die kleinsten 25 Fermat-Primfaktoren sind die folgenden:

3, 5, 17, 257, 641, 65537, 114689, 274177, 319489, 974849, 2424833, 6700417, 13631489, 26017793, 45592577, 63766529, 167772161, 825753601, 1214251009, 6487031809, 70525124609, 190274191361, 646730219521, 2710954639361, 2748779069441, … (Folge A023394 in OEIS)

Um von einer Fermat-Zahl nachzuweisen, dass sie zusammengesetzt ist, benutzt man in der Regel den Pépin-Test und den Suyama-Test, die beide besonders auf diese Zahlen zugeschnitten und sehr schnell sind.

Die folgenden 16 Primfaktoren von Fermat-Zahlen wurden vor 1950 entdeckt.

Seit 1950 wurden alle weiteren Faktoren durch Einsatz von Computern gefunden.

Eigenschaften

• Für hat jeder Teiler von die Form (bewiesen von Euler und Lucas).

Beispiele:

Der Teiler 641 von F₅: 641 = 5 · 2⁷ + 1 = 5 · 128 + 1

Der Teiler 6700417 von F₅: 6700417 = 52347 · 2⁷ + 1 = 52347 · 128 + 1

• Fermat-Zahlen lassen sich auf folgende Arten rekursiv berechnen:

• für
• für
• für
• für

• Es gelten folgende Darstellungen von :

• Jede Fermat-Zahl mit ist von der Form , wobei positiv ganzzahlig ist. (mit anderen Worten: )
• Jede Fermat-Zahl mit ist von der Form , wobei positiv ganzzahlig ist. (mit anderen Worten: )
• Jede Fermat-Zahl mit ist von der Form , wobei positiv ganzzahlig ist. (mit anderen Worten: )
• Jede Fermat-Zahl mit ist von der Form , wobei positiv ganzzahlig ist. (mit anderen Worten: )

Anders formuliert: Mit Ausnahme von und endet jede Fermat-Zahl im Dezimalsystem mit der Ziffer 7. Die letzten beiden Ziffern sind 17, 37, 57 oder 97.

• Sei die -te Fermat-Zahl. Dann gilt:

• hat unendlich viele Darstellungen der Form mit positiv ganzzahlig, für alle
• hat mindestens eine Darstellung der Form mit positiv ganzzahlig. Ist zusammengesetzt, gibt es mehrere Möglichkeiten dieser Darstellung.
• kann niemals als Summe von zwei Primzahlen dargestellt werden, für alle

für alle

• kann niemals als Differenz von zwei p-ten Potenzen geschrieben werden, wenn und p ungerade Primzahlen sind:

für alle

• Sei die -te Fermat-Zahl und sei die Anzahl der Stellen von . Dann gilt:

wobei mit die Floor-Funktion gemeint ist (also die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich ist)

• Sei die -te Fermat-Zahl mit . Dann gilt:

ist eine Primzahl genau dann, wenn gilt:

Mit anderen Worten: Für gilt:

Dieser Satz nennt sich Pépin-Test.

• Für gilt:

• Sei , und prim. Dann gilt:

• Sei eine Primzahl und eine ganze Zahl. Dann gilt für jede prime Fermat-Zahl mit :

teilt

• Sei . Dann gilt:

für alle

• Sei eine Primzahl. Dann gilt:

• mit einer positiven ganzen Zahl
• 

Beispiele:

Für erhält man

Für erhält man

Für erhält man (eine 20-stellige Zahl)

Für erhält man (eine 617-stellige Zahl)

Für erhält man (eine 315653-stellige Zahl)

Auch für (eine 41373247568-stellige Zahl) und (die Anzahl der Stellen dieser Zahl hat 620 Stellen) erhält man keine Primzahlen. Für alle anderen ist noch nicht bekannt, ob es sich um Primzahlen handelt oder nicht.

Könnte man zeigen, dass es keine weiteren Primzahlen der Form gibt, so wäre gleichzeitig auch bewiesen, dass es unendlich viele zusammengesetzte Fermat-Zahlen gibt.

• Sei eine Primzahl. Dann gilt:

• mit einer positiven ganzen Zahl
• 

• Die Menge aller quadratischen Nichtreste einer primen Fermat-Zahl ist gleich der Menge aller ihrer Primitivwurzeln.

• Zwei Fermat-Zahlen sind gleich oder teilerfremd, wie aus der letzten Aussage folgt (Goldbachs Theorem, nach Christian Goldbach, 1730). Daraus lässt sich folgern, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

• Die Summe der Kehrwerte aller Fermat-Zahlen ist eine irrationale Zahl (bewiesen von Solomon W. Golomb im Jahr 1963). Es gilt:

(Folge A051158 in OEIS)

• Keine Fermat-Zahl ist eine perfekte Zahl. Keine Fermat-Zahl ist Teil eines Paares befreundeter Zahlen (bewiesen von Florian Luca im Jahr 2000).

• Die Summe der Kehrwerte aller Primteiler von Fermat-Zahlen ist konvergent (bewiesen von Michal Křížek, Florian Luca und Lawrence Somer im Jahr 2002). Mit anderen Worten:

Sei die Menge aller Primzahlen, die irgendeine Fermat-Zahl teilen. Dann gilt:

ist konvergent.

• Sei der größte Primteiler der Fermat-Zahl . Dann gilt:

für alle (bewiesen von Aleksander Grytczuk, Florian Luca und Marek Wójtowicz im Jahr 2001).

• Jede zusammengesetzte Fermat-Zahl ist eine starke Pseudoprimzahl zur Basis 2, weil für alle Fermat-Zahlen gilt:

für mindestens ein (im Speziellen für ).

• Jede zusammengesetzte Fermat-Zahl ist eine eulersche Pseudoprimzahl zur Basis 2, weil für alle Fermat-Zahlen gilt:

• Jede zusammengesetzte Fermat-Zahl ist eine fermatsche Pseudoprimzahl zur Basis 2. Das heißt, für alle Fermat-Zahlen gilt:

• Eine prime Fermat-Zahl ist niemals eine Wieferich-Primzahl. Das heißt, für alle primen Fermat-Zahlen gilt:

• Ein Produkt

von Fermat-Zahlen mit ist eine fermatsche Pseudoprimzahl zur Basis 2 genau dann, wenn (bewiesen von Michele Cipolla im Jahr 1904).

• Jede Fermat-Zahl hat im Binärsystem die Form

mit Nullen zwischen den beiden Einsern.

Ungelöste Probleme

• Ist F_n eine zusammengesetzte Zahl für alle n ≥ 5?
• Gibt es unendlich viele zusammengesetzte Fermatsche Zahlen? (Diese Behauptung ist etwas schwächer als die vorherige.)
• Gibt es unendlich viele Fermatsche Primzahlen? (Diese Behauptung steht nicht im Widerspruch zur vorherigen; es könnten beide Behauptungen gelten.)
• Gibt es Fermatsche Zahlen, die nicht quadratfrei sind?

Geometrische Anwendung der Fermatschen Primzahlen

Anzahl der Seiten bekannter konstruierbarer Polygone.
Rot: Seitenzahlen der 31 bekannten regulären Polygone mit ungerader Seitenzahl (Lesart von oben nach unten: Gleichseitiges Dreieck – regelmäßiges Fünfeck – regelmäßiges Fünfzehneck - … – 4294967295-Eck)
Schwarz: Seitenzahlen der (unendlich vielen) bekannten Polygone mit gerader Seitenzahl

Carl Friedrich Gauß zeigte (in seinem Lehrbuch Disquisitiones Arithmeticae), dass es einen Zusammenhang zwischen der Konstruktion von regelmäßigen Polygonen und den Fermatschen Primzahlen gibt:

Ein regelmäßiges Polygon mit n Seiten kann dann und nur dann mit Zirkel und Lineal konstruiert werden, wenn n eine Potenz von 2 oder das Produkt einer Potenz von 2 mit paarweise verschiedenen Fermatschen Primzahlen ist.

Mit anderen Worten:

Das -seitige regelmäßige Polygon kann mit Zirkel und Lineal konstruiert werden

mit und paarweise verschiedenen Fermatschen Primzahlen

Konkret zeigte Gauß die Konstruierbarkeit des regelmäßigen Siebzehnecks.

Die nach der obigen Formel konstruierbaren regelmäßigen Polygone lassen sich in zwei Gruppen unterteilen: solche mit ungerader Seitenzahl und solche mit gerader Seitenzahl. Alle Polygone, in denen ist, sind offensichtlich solche mit gerader Seitenzahl (durch 2 teilbar). Alle Polygone mit sind solche mit ungerader Seitenzahl (ein Produkt von Primzahlen größer als 2 ist immer eine ungerade Zahl). Da nur endlich viele Fermatsche Primzahlen bekannt sind, ist auch die Anzahl der bekannten, mit Zirkel und Lineal konstruierbaren, regulären Polygone mit ungerader Seitenzahl begrenzt. Unter diesen ist das 4294967295-Eck dasjenige mit der größten Eckenzahl.

Verallgemeinerte Fermatsche Zahlen

Eine Zahl der Form mit zwei teilerfremden natürlichen Zahlen a > 0 und b > 0 heißt verallgemeinerte Fermatsche Zahl. Ist eine solche Zahl prim, dann heißt sie verallgemeinerte Fermatsche Primzahl.

Insgesamt sind schon über 11719 Faktoren von verallgemeinerten zusammengesetzten Fermat-Zahlen bekannt (Stand: 13. August 2018). Davon wurden alleine über 5100 von Anders Björn und Hans Riesel vor 1998 entdeckt.

Ist a = 1, so werden die so erhaltenen verallgemeinerten Fermatschen Zahlen üblicherweise mit

bezeichnet. Die Zahl b nennt man Basis.

Ist a = 1 und b = 2, so handelt es sich um die schon weiter oben erwähnten Fermat-Zahlen

.

Es folgt eine Auflistung der ersten verallgemeinerten Fermatschen Primzahlen der Form . Die beiden Basen und müssen, damit prim sein kann, teilerfremd sein. Außerdem ist es auch notwendig, dass man durch den größten gemeinsamen Teiler dividiert, da die Zahl bei ungeradem und immer eine gerade Zahl wäre und somit niemals eine Primzahl sein könnte. Weiters kann man ohne Einschränkung annehmen, dass sein muss, da man bei das bedenkenlos mit vertauschen kann und somit zum Beispiel ist. Der Fall führt niemals zu Primzahlen, da dann wäre und sicher nicht prim ist (es wären in diesem Fall auch die beiden Basen und nicht wie vorausgesetzt teilerfremd).

Liste der verallgemeinerten Fermatschen Primzahlen der Form mit konstantem und

b a , für die prim ist 2 1 0, 1, 2, 3, 4, … 3 1 0, 1, 2, 4, 5, 6, … 3 2 0, 1, 2, … 4 1 0, 1, 2, 3, … 4 3 0, 2, 4, … 5 1 0, 1, 2 … 5 2 0, 1, 2, … 5 3 1, 2, 3, … 5 4 1, 2, … 6 1 0, 1, 2, … 6 5 0, 1, 3, 4, … 7 1 2, … 7 2 1, 2, … 7 3 0, 1, 8, … 7 4 0, 2, … 7 5 1, 4, … 7 6 0, 2, 4, … 8 1 es gibt keine Primzahlen dieser Form 8 3 0, 1, 2, … 8 5 0, 1, 2, …

b a , für die prim ist 8 7 1, 4, … 9 1 0, 1, 3, 4, 5, … 9 2 0, 2, … 9 4 0, 1, … 9 5 0, 1, 2, … 9 7 2, … 9 8 0, 2, 5, … 10 1 0, 1, … 10 3 0, 1, 3, … 10 7 0, 1, 2, … 10 9 0, 1, 2, … 11 1 1, 2, … 11 2 0, 2, … 11 3 0, 3, … 11 4 1, 2, … 11 5 1, … 11 6 0, 1, 2, … 11 7 2, 4, 5, … 11 8 0, 6, … 11 9 1, 2, …

b a , für die prim ist 11 10 5, … 12 1 0, … 12 5 0, 4, … 12 7 0, 1, 3, … 12 11 0, … 13 1 0, 2, 3, … 13 2 1, 3, 9, … 13 3 1, 2, … 13 4 0, 2, … 13 5 1, 2, 4, … 13 6 0, 6, … 13 7 1, … 13 8 1, 3, 4, … 13 9 0, 3, … 13 10 0, 1, 2, 4, … 13 11 2, … 13 12 1, 2, 5, … 14 1 1, … 14 3 0, 3, … 14 5 0, 2, 4, 8, …

b a , für die prim ist 14 9 0, 1, 8, … 14 11 1, … 14 13 2, … 15 1 1, … 15 2 0, 1, … 15 4 0, 1, … 15 7 0, 1, 2, … 15 8 0, 2, 3, … 15 11 0, 1, 2, … 15 13 1, 4, … 15 14 0, 1, 2, 4, … 16 1 0, 1, 2, … 16 3 0, 2, 8, … 16 5 1, 2, … 16 7 0, 6, … 16 9 1, 3, … 16 11 2, 4, … 16 13 0, 3, … 16 15 0, …

Fast alle verallgemeinerten Fermatschen Zahlen sind wahrscheinlich zusammengesetzt. Bewiesen ist diese Aussage aber nicht, denn schon für und (das sind die ursprünglichen Fermat-Zahlen) wurde weiter oben im Kapitel Ungelöste Probleme erwähnt, dass man noch nicht weiß, ob ab alle weiteren zusammengesetzt sind oder nicht. Ähnlich verhält es sich mit anderen Basen und Hochzahlen. Und obwohl schon über 11000 Faktoren von verallgemeinerten Fermatschen Zahlen bekannt sind (siehe weiter oben), ist es schwierig, solche Faktoren zu finden, zumal sehr schnell sehr groß wird. Zum Teil weiß man zwar, dass diese Zahlen zusammengesetzt sein müssen, aber Primteiler kennt man von den wenigsten. Bekannt ist, dass solche Primteiler die Form haben müssen. Es folgt eine Auflistung von Primfaktoren kleinerer verallgemeinerter Fermatschen Zahlen inklusive zweier etwas höherer Zahlenbeispiele, anhand derer man erkennen kann, wie schnell die Zahlen sehr hoch werden.

Liste von ausgewählten Primfaktoren von verallgemeinerten Fermatschen Zahlen der Form

verallgemeinerte zusammengesetzte Fermatsche Zahl					Primteiler
b	a	n		Dezimalschreibweise	k	m	Primteiler	Dezimalschreibweise
2	1	5		4.294.967.297 (=)	5	7		641
					52347	7		6.700.417
2	1	6		18.446.744.073.709.551.617 (=)	1071	8		274.177
					262814145745	8		67.280.421.310.721
3	1	3		3.281	1	4		17
					3	6		193
3	2	3		6.817	1	4		17
					25	4		401
3	2	4		43.112.257	95	5		3.041
					443	5		14.177
3	2	5		1.853.024.483.819.137	9	7		1.153
					3138931869	9		1.607.133.116.929
3	2	6		3.433.683.820.310.959.228.731.558.640.897	3	8		769
					952341149	7		121.899.667.073
					286168266760535	7		36.629.538.145.348.481
4	1	4		4.294.967.297	5	7		641
					52347	7		6.700.417
4	1	5		18.446.744.073.709.551.617	1071	8		274.177
					262814145745	8		67.280.421.310.721
4	1	6		340.282.366.920.938.463.463.374.607.431.768.211.457	116503103764643	9		59.649.589.127.497.217
					11141971095088142685	9		5.704.689.200.685.129.054.721
4	3	1		25	1	2		5
					1	2		5
4	3	3		72.097	1	4		17
					265	4		4.241
4	3	5		18.448.597.093.898.403.457	187	6		11.969
					24083827353343	6		1.541.364.950.613.953
4	3	6		340.282.370.354.622.283.755.887.092.089.617.300.737	1317	8		337.153
					492813355211781926870528348211	11		1.009.281.751.473.729.386.230.842.057.136.129
5	1	3		195.313	1	4		17
					359	5		11.489
5	1	4		76.293.945.313	81	5		2.593
					459735	6		29.423.041
5	1	5		11.641.532.182.693.481.445.313	5	7		641
					1172953	6		75.068.993
					945042975	8		241.931.001.601
5	1	6		271.050.543.121.376.108.501.863.200.217.485.427.856.445.313 (Zahl hat 45 (also abgerundet etwa ) Stellen)	3	8		769
					28644528117	7		3.666.499.598.977
					187759681216101058498487625	9		96.132.956.782.643.741.951.225.664.001
…	…	…	…	…	…	…	…	…
					…	…	…	…
12	11	37		Zahl hat 148.321.541.064 (also etwa ) Stellen	1776222707793	38		488.244.380.184.543.957.614.593
					und noch ein Faktor, von dem man nicht weiß, ob er zusammengesetzt ist oder nicht
…	…	…	…	…	…	…	…	…
					…	…	…	…
12	11	7033640		Zahl hat etwa Stellen	3	7033641		Primteiler hat 2117338 Stellen
					und noch ein Faktor, von dem man nicht weiß, ob er zusammengesetzt ist oder nicht

Verallgemeinerte Fermatsche Zahlen der Form F_n(b)

Ist b eine gerade Zahl, so kann F_n(b) sowohl zusammengesetzt als auch prim sein.

Beispiel 1:

b = 8, n = 3 ergibt die zusammengesetzte Zahl

.

Beispiel 2:

b = 6, n = 2 ergibt die Primzahl

.

Beispiel 3:

b = 30, n = 5 ergibt die 48-stellige Primzahl

und ist gleichzeitig die kleinste verallgemeinerte Fermatsche Primzahl mit .

Ist b eine ungerade Zahl, so ist F_n(b) als Summe einer Potenz einer ungeraden Zahl (die selbst wieder ungerade ist) und 1 immer eine gerade Zahl, somit durch 2 teilbar und deshalb für b > 1 keine Primzahl, sondern zusammengesetzt. In diesem Fall wird häufig die Zahl

auf ihre Primalität untersucht. Diese Zahlen werden auch halbe verallgemeinerte Fermatsche Zahlen genannt.

Beispiel 4:

b = 3, n = 2 ergibt die gerade und somit zusammengesetzte Zahl

.

Es ist aber

eine Primzahl.

Beispiel 5:

b = 5, n = 3 ergibt die gerade und somit zusammengesetzte Zahl

Es ist aber

eine zusammengesetzte Zahl.

Liste der Primzahlen der Form F_n(b)

Verallgemeinerte Fermatsche Zahlen der Form (für gerade ) bzw. der Form (für ungerade ) sind in den meisten Fällen zusammengesetzt. Weil diese Zahlen sehr schnell sehr groß werden, sind nicht besonders viele Primzahlen dieser Art bekannt. Es folgt eine Auflistung von Primzahlen der Form mit konstantem :

Liste der verallgemeinerten Fermatschen Primzahlen der Form bzw. der Form mit konstantem

b bzw. , für die bzw. prim ist 0 es gibt keine Primzahlen dieser Form 1 es gibt keine Primzahlen dieser Form 2 0, 1, 2, 3, 4, … 3 > 0, 1, 2, 4, 5, 6, … 4 0, 1, 2, 3, … 5 0, 1, 2, … 6 0, 1, 2, … 7 2, … 8 es gibt keine Primzahlen dieser Form 9 0, 1, 3, 4, 5, … 10 0, 1, … 11 1, 2, … 12 0, … 13 0, 2, 3, … 14 1, … 15 1, …

b bzw. , für die bzw. prim ist 16 0, 1, 2, … 17 2, … 18 0, … 19 1, … 20 1, 2, … 21 0, 2, 5, … 22 0, … 23 2, … 24 1, 2, … 25 0, 1, … 26 1, … 27 es gibt keine Primzahlen dieser Form 28 0, 2, … 29 1, 2, 4, … 30 0, 5, …

b bzw. , für die bzw. prim ist 31 noch keine bekannt 32 es gibt keine Primzahlen dieser Form 33 0, 3, … 34 2, … 35 1, 2, 6, … 36 0, 1, … 37 0, … 38 noch keine bekannt 39 1, 2, … 40 0, 1, … 41 4, … 42 0, … 43 3, … 44 4, … 45 0, 1, …

b bzw. , für die bzw. prim ist 46 0, 2, 9, … 47 3, … 48 2, … 49 1, … 50 noch keine bekannt 51 1, 3, 6, … 52 0, … 53 3, … 54 1, 2, 5, … 55 noch keine bekannt 56 1, 2, … 57 0, 2, … 58 0, … 59 1, … 60 0, …

Die kleinsten (ab ), für die bzw. erstmals eine Primzahl ergibt, kann man der obigen Tabelle entnehmen, was für alle die folgende Liste ergibt (der Wert −1 bedeutet „nicht existent“ bzw. „noch keine bekannt“):

0, 0, 0, 0, 0, 2, −1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 2, 0, 1, 1, 0, 0, 2, 1, 0, 1, −1, 0, 1, 0, −1, −1, 0, 2, 1, 0, 0, −1, 1, 0, 4, 0, 3, 4, 0, 0, 3, 2, 1, −1, 1, 0, 3, 1, −1, 1, 0, 0, 1, 0, … (Folge A253242 in OEIS)

Mehr Informationen für gerade bis zur Basis findet man im Internet.

Nun folgt eine Auflistung von Primzahlen der Form mit konstantem :

Liste der verallgemeinerten Fermatschen Primzahlen der Form mit konstantem

n	Fn(b)	b, für die Fn(b) prim ist	OEIS-Folge
0		1, 2, 4, 6, 10, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 78, 82, 88, 96, 100, 102, 106, 108, 112, 126, 130, 136, 138, 148, 150, 156, 162, 166, 172, 178, 180, 190, 192, 196, 198, 210, 222, 226, 228, 232, 238, 240, 250, 256, 262, 268, 270, … (alle Primzahlen minus 1)	(Folge A006093 in OEIS)
1		1, 2, 4, 6, 10, 14, 16, 20, 24, 26, 36, 40, 54, 56, 66, 74, 84, 90, 94, 110, 116, 120, 124, 126, 130, 134, 146, 150, 156, 160, 170, 176, 180, 184, 204, 206, 210, 224, 230, 236, 240, 250, 256, 260, 264, 270, 280, 284, 300, 306, 314, 326, 340, 350, 384, 386, 396, …	(Folge A005574 in OEIS)
2		1, 2, 4, 6, 16, 20, 24, 28, 34, 46, 48, 54, 56, 74, 80, 82, 88, 90, 106, 118, 132, 140, 142, 154, 160, 164, 174, 180, 194, 198, 204, 210, 220, 228, 238, 242, 248, 254, 266, 272, 276, 278, 288, 296, 312, 320, 328, 334, 340, 352, 364, 374, 414, 430, 436, 442, 466, …	(Folge A000068 in OEIS)
3		1, 2, 4, 118, 132, 140, 152, 208, 240, 242, 288, 290, 306, 378, 392, 426, 434, 442, 508, 510, 540, 542, 562, 596, 610, 664, 680, 682, 732, 782, 800, 808, 866, 876, 884, 892, 916, 918, 934, 956, 990, 1022, 1028, 1054, 1106, 1120, 1174, 1224, 1232, 1256, 1284, …	(Folge A006314 in OEIS)
4		1, 2, 44, 74, 76, 94, 156, 158, 176, 188, 198, 248, 288, 306, 318, 330, 348, 370, 382, 396, 452, 456, 470, 474, 476, 478, 560, 568, 598, 642, 686, 688, 690, 736, 774, 776, 778, 790, 830, 832, 834, 846, 900, 916, 946, 956, 972, 982, 984, 1018, 1044, 1078, …	(Folge A006313 in OEIS)
5		1, 30, 54, 96, 112, 114, 132, 156, 332, 342, 360, 376, 428, 430, 432, 448, 562, 588, 726, 738, 804, 850, 884, 1068, 1142, 1198, 1306, 1540, 1568, 1596, 1678, 1714, 1754, 1812, 1818, 1878, 1906, 1960, 1962, 2046, 2098, 2118, 2142, 2330, 2418, 2434, 2654, 2668, …	(Folge A006315 in OEIS)
6		1, 102, 162, 274, 300, 412, 562, 592, 728, 1084, 1094, 1108, 1120, 1200, 1558, 1566, 1630, 1804, 1876, 2094, 2162, 2164, 2238, 2336, 2388, 2420, 2494, 2524, 2614, 2784, 3024, 3104, 3140, 3164, 3254, 3278, 3628, 3694, 3738, 3750, 4000, 4030, 4058, 4166, …	(Folge A006316 in OEIS)
7		1, 120, 190, 234, 506, 532, 548, 960, 1738, 1786, 2884, 3000, 3420, 3476, 3658, 4258, 5788, 6080, 6562, 6750, 7692, 8296, 9108, 9356, 9582, 9706, 10238, 10994, 11338, 11432, 11466, 11554, 11778, 12704, 12766, 13082, 13478, 13700, …	(Folge A056994 in OEIS)
8		1, 278, 614, 892, 898, 1348, 1494, 1574, 1938, 2116, 2122, 2278, 2762, 3434, 4094, 4204, 4728, 5712, 5744, 6066, 6508, 6930, 7022, 7332, 8524, 8644, 8762, 8808, 9024, 9142, 9412, 10892, 12206, 13220, 13222, 13246, 13370, 13738, 14114, 14930, …	(Folge A056995 in OEIS)
9		1, 46, 1036, 1318, 1342, 2472, 2926, 3154, 3878, 4386, 4464, 4474, 4482, 4616, 4688, 5374, 5698, 5716, 5770, 6268, 6386, 6682, 7388, 7992, 8678, 8792, 9448, 9452, 9972, 10086, 10448, 10926, 11468, 12754, 13198, 13776, 14734, 16826, 16914, 18334, …	(Folge A057465 in OEIS)
10		1, 824, 1476, 1632, 2462, 2484, 2520, 3064, 3402, 3820, 4026, 6640, 7026, 7158, 9070, 12202, 12548, 12994, 13042, 15358, 17646, 17670, 18336, 19564, 20624, 22500, 24126, 26132, 26188, 26240, 29074, 29658, 30778, 31126, 32244, 33044, 34016, …	(Folge A057002 in OEIS)
11		1, 150, 2558, 4650, 4772, 11272, 13236, 15048, 23302, 26946, 29504, 31614, 33308, 35054, 36702, 37062, 39020, 39056, 43738, 44174, 45654, 46502, 47348, 49190, 49204, 49544, 54514, 57210, 59770, 61184, 66894, 68194, 70574, 72446, 82642, …	(Folge A088361 in OEIS)
12		1, 1534, 7316, 17582, 18224, 28234, 34954, 41336, 48824, 51558, 51914, 57394, 61686, 62060, 89762, 96632, 98242, 100540, 101578, 109696, 110540, 114690, 125440, 125442, 127596, 138068, 144362, 154908, 157310, 161822, 161900, 166224, …	(Folge A088362 in OEIS)
13		1, 30406, 71852, 85654, 111850, 126308, 134492, 144642, 147942, 150152, 165894, 176206, 180924, 201170, 212724, 222764, 225174, 241600, 241860, 248744, 268032, 270674, 302368, 316970, 326260, 347962, 350830, 397468, 410938, 416010, 441238, 443718, 458520, 462678, 463012, 475158, 481750, …	(Folge A226528 in OEIS)
14		1, 67234, 101830, 114024, 133858, 162192, 165306, 210714, 216968, 229310, 232798, 422666, 426690, 449732, 462470, 468144, 498904, 506664, 509622, 528614, 572934, 581424, 638980, 641762, 656210, 698480, 704930, 730352, 795810, 840796, 908086, 975248, 976914, 990908, 1007874, 1037748, 1039970, 1067896, 1082054, 1097352, 1102754, 1132526, 1162996, 1171010, 1177808, 1181388, …	(Folge A226529 in OEIS)
15		1, 70906, 167176, 204462, 249830, 321164, 330716, 332554, 429370, 499310, 524552, 553602, 743788, 825324, 831648, 855124, 999236, 1041870, 1074542, 1096382, 1113768, 1161054, 1167528, 1169486, 1171824, 1210354, 1217284, 1277444, 1519380, 1755378, 1909372, 1922592, 1986700, 2034902, 2147196, 2167350, …, 3292665455999520712131951642528, …	(Folge A226530 in OEIS)
16		1, 48594, 108368, 141146, 189590, 255694, 291726, 292550, 357868, 440846, 544118, 549868, 671600, 843832, 857678, 1024390, 1057476, 1087540, 1266062, 1361846, 1374038, 1478036, 1483076, 1540550, 1828502, 1874512, 1927034, 1966374, 2019300, 2041898, 2056292, 2162068, 2177038, 2187182, 2251082, 2313394, …, 1814570322984178, …	(Folge A251597 in OEIS)
17		1, 62722, 130816, 228188, 386892, 572186, 689186, 909548, 1063730, 1176694, 1361244, 1372930, 1560730, 1660830, 1717162, 1722230, 1766192, 1955556, 2194180, 2280466, 2639850, 3450080, 3615210, 3814944, 4085818, 4329134, 4893072, 4974408, 5326454, 5400728, 5471814, 5586416, 5734100, 5877582, 6391936, 6403134, 6705932, 7379442, 7832704, 7858180, 7926326, 8150484, 8704114, 8770526, 9240606, 9419976, 9785844, 9907326, 10037266, 10368632, 10453790, 10765720, 10921162, 10962066, 10994460, 11036888, 11195602, 11267296, 11292782, 11778792, 11876066, 12343130, 12357518, 12512992, 12661786, 12687374, 12851074, 12961862, 12978952, 13083418, 13433028, 13613070, 13800346, 14020004, 14217182, 14613898, 14790404, 15091270, 15147290, 15237960, 15342502, 15567144, 15667716, 15731520, 16329572, 16741226, 16985784, 17025822, 17052490, …, 42654182, 43163894, 43165206, 44049878, 44085096, 44330870, 44438760, 44919410, 45315256, 45570624, 46077492, 46371508, 46385310, 46413358, 46730280, 46736070, 46776558, 47090246, 47179704, 48273828, 48370248, 48643706, 49038514, 49090656, 49225986, 49243622, 49331672, 49397682, 49530004, 49817700, 50055102, 50110436, 50217306, 50495632, 50844724, 50963598, 51269192, 51567684, 51570250, 51580416, 51872628, 51954384, 52043532, 52412612, 52712138, 53078434, 53161266, 53659976, 54032538, 54161106, 54206254, 54212352, 54334044, 54361742, 54548788, 55015050, 55184170, 55268442, 55579418, 55645700, 56307420, 56383242, 56459558, 56584816, 56735576, 56917336, 57438404, 57594734, 57694224, 57704312, 58247118, 58447642, 58447816, 58523466, 58589880, 59161754, 59210784, 59305348, 59362002, 59405420, 59515830, 59692546, 59720358, 60133106, 60455792, 60540024, 60642326, 61030988, 61267078, 61837354, 62146946, 62276102, 63112418, 63165756, 63168480, 63823568, 64024604, 64476916, 64506894, 64568930, 64791668, 64911056, 65200798, 65305572, 65569854, 65791182, 271643232, 314187728, 399866798, …	(Folge A253854 in OEIS)
18		1, 24518, 40734, 145310, 361658, 525094, 676754, 773620, 1415198, 1488256, 1615588, 1828858, 2042774, 2514168, 2611294, 2676404, 3060772, 3547726, 3596074, 3673932, 3853792, 3933508, 4246258, 4489246, 5152128, 5205422, 5828034, 6287774, 6291332, 8521794, 8883864, 9125820, …	(Folge A244150 in OEIS)
19		1, 75898, 341112, 356926, 475856, 1880370, 2061748, 2312092, 2733014, 2788032, 2877652, 2985036, 3214654, 3638450, …	(Folge A243959 in OEIS)
20		1, 919444, 1059094, …	(Folge A321323 in OEIS)

   Stand: 10. Juni 2020

Die kleinsten (mit ), für die erstmals eine Primzahl ergibt, kann man der obigen Tabelle entnehmen, was die folgende Liste ergibt:

2, 2, 2, 2, 2, 30, 102, 120, 278, 46, 824, 150, 1534, 30406, 67234, 70906, 48594, 62722, 24518, 75898, 919444, … (Folge A056993 in OEIS)

Die 10 größten bekannten verallgemeinerten Fermatschen Primzahlen

Der folgenden Liste kann man die 10 größten bekannten verallgemeinerten Fermatschen Primzahlen entnehmen. Sämtliche Entdecker dieser Primzahlen sind Teilnehmer des PrimeGrid-Projektes. In der zweiten Spalte steht, die wievieltgrößte bekannte Primzahl diese Fermatsche Primzahl im Moment ist.

Die 10 größten bekannten verallgemeinerten Fermatschen Primzahlen

Rang	wievieltgrößte bekannte Primzahl(a)	Primzahl	Fn(b)	Dezimalstellen von Fn(b)	Entdeckungsdatum	Entdecker
1	14.			6.317.602	31. Oktober 2018	Rob Gahan (IRL)
2	15.			6.253.210	29. August 2017	Sylvanus A. Zimmerman (USA)
3	36.			3.439.810	31. Mai 2020	Wolfgang Schwieger
4	37.			3.421.594	26. März 2020	Ryan Propper
5	38.			3.411.613	24. Dezember 2019	Alen Kecic (DEU)
6	39.			3.394.739	18. September 2019	Peter Harvey (USA)
7	40.			3.386.397	29. Juni 2019	Roman Vogt (DEU)
8	41.			3.379.193	17. April 2019	Ed Goforth (NA)
9	42.			3.374.655	18. März 2019	Yair Givoni (ISR)
10	44.			3.336.572	4. August 2018	Rob Gahan (IRL)

^a Stand: 19. Juli 2020

Die meisten der oben genannten Ergebnisse konnten natürlich nur mit Hilfe von Computern gefunden werden.

Literatur

• Solomon W. Golomb: On the sum of the reciprocals of the Fermat numbers and related irrationalities. In: Canad. J. Math. Vol. 15 (1963), S. 475–478.
• Florian Luca: The Anti-Social Fermat Number. In: American Mathematical Monthly. Vol. 107, Nr. 2 (Feb. 2000), S. 171–173.
• Aleksander Grytczuk, Florian Luca, Marek Wójtowicz: Another note on the greatest prime factors of Fermat numbers. In: Southeast Asian Bulletin of Mathematics. Vol. 25, Nr. 1 (Juli 2001), S. 111–115.
• Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer: 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry. In: Canad. J. Math. S. 132–138.
• Fredrick Kennard: Unsolved Problems in Mathematics. S. 56.

Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de

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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 08.11. 2024