Legendre-Symbol

Das Legendre-Symbol ist eine Kurzschreibweise, die in der Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, verwendet wird. Es ist nach dem französischen Mathematiker Adrien-Marie Legendre benannt.

Definition und Notation

Das Legendre-Symbol gibt an, ob die Zahl quadratischer Rest modulo oder quadratischer Nichtrest modulo ist. Dabei muss eine ganze Zahl und eine Primzahl sein.

Es gilt:

$\left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}1&{\mbox{wenn }}a{\mbox{ quadratischer Rest modulo }}p{\mbox{ ist}}\\-1&{\mbox{wenn }}a{\mbox{ quadratischer Nichtrest modulo }}p{\mbox{ ist}}\\0&{\mbox{wenn }}a{\mbox{ ein Vielfaches von }}p{\mbox{ ist}}\end{cases}}$

Das Legendre-Symbol ist ein Spezialfall des Jacobi-Symbols, das die gleiche Schreibweise hat. Weitere Notationsvarianten für das Legendre-Symbol sind (a/p) und L(a,p) .

Berechnung

Das eulersche Kriterium gibt an, wie sich das Legendre-Symbol für eine ungerade Primzahl berechnen lässt:

$\left({\frac {a}{p}}\right)\equiv a^{{{\frac {p-1}{2}}}}{\pmod p}$ .

Für die einzige gerade Primzahl gilt:

$-1 \equiv 1 \pmod 2$ .

Jede ungerade Zahl ist quadratischer Rest und jede gerade Zahl ist ein Vielfaches von 2, modulo 2 gibt es also keine Nichtreste:

$\left({\frac {a}{2}}\right)=a{\bmod {2}}$ .

Eine weitere Berechnungsmöglichkeit liefert das Lemma von Zolotareff, nach dem für ungerade Primzahlen

$\left(\frac{a}{p}\right) = \operatorname{sgn}(\pi_{a,p})$

gilt, wobei $\pi_{a,p}$ , die durch

$\pi _{{a,p}}(k)\equiv a\cdot k{\pmod p}$

definierte Permutation der Zahlen von $k=0,\dotsc p-1$ ist, und $\operatorname{sgn}$ das Vorzeichen einer Permutation bezeichnet.

Beispiele

2 ist quadratischer Rest modulo 7 – in der Tat ist ja $2\equiv 3^{2}{\pmod 7}$ :

$\left(\frac{2}{7}\right) \equiv 2^{\frac{7-1}{2}}= 2^3 \equiv 1\mod 7$

5 ist quadratischer Nichtrest modulo 7:

$\left(\frac{5}{7}\right) \equiv 5^{\frac{7-1}{2}} = 5^3 \equiv 6 \equiv -1 \mod 7$

14 ist durch 7 teilbar (also weder Rest noch Nichtrest von 7):

$\left({\frac {14}{7}}\right)\equiv 14^{{{\frac {7-1}{2}}}}=14^{3}\equiv 0\mod 7$

Rechenregeln

Das quadratische Reziprozitätsgesetz macht wichtige Aussagen über das Rechnen mit dem Legendre-Symbol.

Außerdem gelten für alle ganze Zahlen , und alle Primzahlen folgende Rechenregeln:

$a\equiv b{\pmod p}\Rightarrow \left({\frac {a}{p}}\right)=\left({\frac {b}{p}}\right)$
$\left({\frac {a}{p}}\right)\cdot \left({\frac {b}{p}}\right)=\left({\frac {a\cdot b}{p}}\right)$
$\sum _{{k=1}}^{{p-1}}\left({\frac {k}{p}}\right)=0$ für $p\neq 2$ .

Spezielle Werte

Für alle ungeraden Primzahlen gilt

$\left({\frac {1}{p}}\right)=1$

$\left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}={\begin{cases}1&{\mbox{ für }}p\equiv 1{\mbox{ oder }}7{\pmod {8}}\\-1&{\mbox{ für }}p\equiv 3{\mbox{ oder }}5{\pmod {8}}.\end{cases}}$

$\left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p-1}{2}}={\begin{cases}1&{\mbox{ für }}p\equiv 1{\pmod {4}}\\-1&{\mbox{ für }}p\equiv 3{\pmod {4}}.\end{cases}}$

Diese speziellen Werte reichen aus, um jedes nicht-verschwindene Legendre-Symbol durch wiederholtes Aufteilen des „Zählers“ in Primfaktoren, Anwenden des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und modulo-Reduktion zu berechnen. So ist zum Beispiel

$\left({\frac {10}{31}}\right)=\left({\frac {2}{31}}\right)\left({\frac {5}{31}}\right)=1\cdot (-1)^{{\frac {5-1}{2}}{\frac {31-1}{2}}}\left({\frac {31}{5}}\right)=\left({\frac {1}{5}}\right)=1$

Die besondere Stellung der Zahl 3

Die Zahl 3 liefert bei der Ganzzahldivision als Modulo die Werte 0, 1 und −1 zurück. Dies entspricht genau den Werten des Legendre-Symbols. Es gilt also:

$\left(\frac{a}{3}\right) \equiv a^{\frac{3-1}{2}}\ \operatorname{mod}\ 3 = a \ \operatorname{mod}\ 3$

Andererseits gilt auch:

$\left({\frac {3}{p}}\right)=\prod _{{l=1}}^{{{\frac {p-1}{2}}}}\left[3-4\,\sin ^{2}{\left({\frac {2\pi l}{p}}\right)}\right]$

Besonderheiten bei Primzahlen

Siehe dazu unter Pythagoreische Primzahl.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de