Multiplikation

Beispiel einer Multiplikation: $3\cdot 4=12$

Die Multiplikation (lateinisch multiplicatio, von multiplicare ‚vervielfachen‘, auch Malnehmen genannt) ist eine der vier Grundrechenarten in der Arithmetik. Ihre Umkehroperation ist die Division (das Teilen). Das Rechenzeichen für die Multiplikation ist das Malzeichen „·“ bzw. „×“.

Namensgebung

Die Multiplikation natürlicher Zahlen entsteht durch das wiederholte Addieren (Zusammenzählen) des gleichen Summanden:

$a\cdot b=\underbrace {b+b+\cdots +b} _{a{\text{-mal}}}$

und nennt man Faktoren, wobei auch als Multiplikator und auch als Multiplikand bezeichnet werden.

Die Rechnung, gesprochen „ mal “, heißt Multiplikation. Das Ergebnis Produkt.

Zum Beispiel schreibt man $3\cdot 4$ für $4+4+4$ und spricht diesen Term als „drei mal vier“. Anstelle von $3 \cdot 4$ wird manchmal auch $3\times 4$ oder $3*4$ geschrieben.

Bei der Multiplikation mit Variablen wird der Punkt oft weggelassen $(5x,xy)$ . Zur richtigen Schreibweise siehe Malzeichen.

Bei der Multiplikation mehrerer oder vieler Zahlen kann man das Produktzeichen $\prod$ (abgeleitet vom großen griechischen Pi) verwenden:

$\prod _{i=m}^{n}a_{i}:=a_{m}\cdot a_{m+1}\cdot \ldots \cdot a_{n-1}\cdot a_{n}$

n,m sind ganze Zahlen, wird Laufvariable genannt. Im Fall n<m hat man das leere Produkt, welches als definiert ist.

Beispiele:

$3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11=\prod _{i=1}^{5}(2i+1)=10\,395$

oder auch

${\frac {3}{1}}\cdot {\frac {4}{2}}\cdot {\frac {5}{3}}\cdot \;\ldots \;\cdot {\frac {n+2}{n}}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {i+2}{i}}={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}$

Die unter anderem in der Kombinatorik häufig verwendete Fakultät ist eine besondere Multiplikation natürlicher Zahlen:

$1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot n=\prod _{i=1}^{n}i=:n!$

Wiederholtes Multiplizieren mit dem gleichen Faktor führt zum Potenzieren, z.B. ist

$2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^{6}=64$

Dem Produkt a·b entspricht der Fläche eines Rechtecks mit den Seitenlängen a und b

Die anschauliche Verallgemeinerung der Multiplikation und ihrer Rechenregeln auf die rationalen und reellen Zahlen erreicht man durch Betrachten eines Rechtecks mit den Seitenlängen und (in einer vorgegebenen Längeneinheit). Der Flächeninhalt dieses Rechtecks (in der entsprechenden Flächeneinheit) ist definiert als das Produkt $a\cdot b$ .

Die Multiplikation rationaler Zahlen lässt sich auch formal mit Hilfe von Brüchen definieren. Ebenso kann man die Multiplikation während des Konstruktionsvorganges der reellen aus den rationalen Zahlen definieren.

Die Umkehroperation zur Multiplikation ist die Division, die auch als Multiplikation mit dem Kehrwert aufgefasst werden kann.

Rechengesetze

In einem Körper $K\,$ (also insbesondere $K=\Q$ , $K=\mathbb {R}$ oder $K=\mathbb {C}$ ) gelten für alle $a,b,c\in K$

Assoziativgesetz	$a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c=a\cdot b\cdot c$
Kommutativgesetz	$a\cdot b=b\cdot a$
Distributivgesetz	$a\cdot (b\pm c)=a\cdot b\pm a\cdot c$
neutrales Element	$\exists \ 1\in K\quad a\cdot 1=a$
inverses Element	$\forall \ a\neq 0\quad \exists \ (a^{-1})\in K\quad a\cdot a^{-1}=1$
absorbierendes Element	$\exists \ 0\in K\quad a\cdot 0=0$

Kommutativität

In Anbetracht der so unterschiedlichen Rollen von als Multiplikator (Vervielfacher) einerseits und als Multiplikand (Vervielfachtem) andererseits ist es nicht völlig selbstverständlich, dass die Multiplikation kommutativ ist, d.h. bei Rollentausch dasselbe herauskommt. Durch vollständige Induktion und unter Zuhilfenahme des linken und des rechten Distributivgesetzes (die selbst wieder durch vollständige Induktion bewiesen werden können) ergibt sich:

$(a+1)b-b(a+1)=(ab+b)-(ba+b)=(ab-ba)+(b-b)=ab-ba$

mit kleinerem und der Induktionsvoraussetzung

$ab-ba=0$ .

Algorithmus

Die Multiplikation zweier natürlicher Zahlen $A\cdot B$ kann nach folgendem Algorithmus berechnet werden, wobei die Radix (Basis) und n,m die Stellenzahl darstellen:

$A=a_{n-1}a_{n-2}\ldots a_{0}=\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}\cdot r^{i}$

$B=b_{m-1}b_{m-2}\ldots b_{0}=\sum _{j=0}^{m-1}b_{j}\cdot r^{j}$

$A\cdot B=\sum _{i=0}^{n-1}(a_{i}\cdot r^{i})\cdot B=\sum _{i=0}^{n-1}r^{i}\cdot (a_{i}\cdot B)$

$A\cdot B=A\cdot \sum _{j=0}^{m-1}(b_{j}\cdot r^{j})=\sum _{j=0}^{m-1}r^{j}\cdot (b_{j}\cdot A)$

Der Algorithmus beruht darauf, dass die einzelnen Stellen einer Zahl mit der anderen Zahl multipliziert und geschoben werden. Am Schluss werden die ausmultiplizierten und geschobenen Zahlen addiert.

Gaußsche Summenfaktor-Regel

Bei der Multiplikation einer Anzahl beliebiger Faktoren wird dann das größtmögliche Produkt erreicht, wenn bei gleichbleibender Summe der Faktoren die Gesamtdifferenz zwischen den Faktoren möglichst gering ist. Die Gesamtdifferenz errechnet sich, indem man alle Differenzen zwischen den Faktoren addiert.

Beispiel

Produkt dreier Faktoren. Die Summe der Faktoren ist jeweils 30.
Mit steigender Gesamtdifferenz zwischen den Faktoren wird das Produkt (in der Regel) kleiner.

                        Gesamtdifferenz
10 ∙ 10 ∙ 10 = 1000     0 ( 0 + 0 + 0 )
 9 ∙ 10 ∙ 11 =  990     4 ( 1 + 2 + 1 )
 8 ∙ 11 ∙ 11 =  968     6 ( 3 + 3 + 0 )
 8 ∙ 10 ∙ 12 =  960     8 ( 2 + 4 + 2 )
 7 ∙ 11 ∙ 12 =  924    10 ( 4 + 5 + 1 )
 7 ∙ 10 ∙ 13 =  910    12 ( 3 + 6 + 3 )
 …
 0 ∙  1 ∙ 29 =    0    58 ( 1 + 29 + 28)
 0 ∙  0 ∙ 30 =    0    60 ( 0 + 30 + 30)

Die Gaußsche Summenfaktor-Regel ist äquivalent mit der Aussage, dass der Inhalt einer geometrischen Figur maximal ist, wenn dessen Seiten gleiche Länge haben. So ist das Quadrat bei gleichem Umfang das Rechteck mit dem größten Flächeninhalt.

Mehr oder weniger als zwei Faktoren

Das Produkt von mehr als zwei Faktoren wird so definiert, dass man von links beginnend je zwei Faktoren multipliziert und so fortfährt, bis nur eine Zahl übrigbleibt. Das Assoziativgesetz besagt nun, dass man an beliebiger Stelle beginnen kann; also auch von rechts. Aufgrund des Kommutativgesetzes ist auch die Reihenfolge irrelevant, so dass mit zwei beliebigen Faktoren (welche also nicht direkt beieinanderstehen müssen) angefangen werden kann.

Auch das Produkt von einem einzigen oder von gar keinen Faktoren ist definiert, obwohl man dazu nicht mehr multiplizieren muss: Das Produkt einer Zahl ist diese Zahl selbst, und das Produkt von keinem Faktor ist 1 (allgemein das neutrale Element der Multiplikation).

Es ist auch möglich, ein unendliches Produkt zu bilden. Dabei spielt die Reihenfolge der Faktoren allerdings eine Rolle, man kann die Faktoren also nicht mehr beliebig vertauschen, und auch beliebige Zusammenfassungen zu Teilprodukten sind nicht immer möglich. (Ähnlich wie bei unendlichen Summen.)

Schriftliche Multiplikation

Die Grundidee bei der schriftlichen Multiplikation ist:

Die Basis des gewählten Stellenwertsystems bestimmt die Ziffern der Zerlegungen der beiden Faktoren.
Jede Ziffer des einen Faktors wird mit jeder Ziffer des anderen Faktors malgenommen. Dabei entstehende Überträge werden stellengerecht aufbewahrt.
All diese Teilergebnisse werden zusammen mit eventuellen Überträgen stellengerecht addiert.

Die Gesamtsumme ergibt das Produkt der beiden Faktoren.

Multiplikation mit den Fingern

Nicht nur das Addieren, sondern auch das Multiplizieren lässt sich in begrenztem Umfang mit den Fingern bewerkstelligen. Hierzu müssen beide Faktoren in ein und derselben Dekadenhälfte liegen, also entweder beide auf Ziffern von 1 bis 5 oder auf Ziffern von 6 bis 0 enden.

Im ersten Fall nummeriert man die Finger beginnend beim kleinen Finger mit 10 · (d-1) + 1 bis 10 · (d-1) + 5 für den Daumen durch, wobei d für die Dekade der entsprechenden Zahl steht (also beispielsweise 11 bis 15 für die zweite Dekade). Danach hält man die zwei Finger, deren Produkt man ausrechnen will, aneinander. Das entsprechende Produkt erhält man, indem man die unteren Finger zählt (die beiden aneinandergehaltenen Finger zählen dazu) und mit d · 10 multipliziert, dazu das Produkt der unteren Finger der linken Hand mit den unteren Fingern der rechten Hand (jeweils mit den zusammengehaltenen Fingern) und schließlich eine additive Konstante (d-1)² · 100 addiert.

Im zweiten Fall nummeriert man die Finger von 10 · (d-1) + 6 bis 10 · d durch (also beispielsweise 16 bis 20). Danach hält man analog zum ersten Fall die beiden Finger der gewünschten Faktoren aneinander, zählt die unteren Finger, aber multipliziert diese jetzt mit d · 10 und zählt zu diesem das Produkt der oberen Finger (wieder ohne die zusammengehaltenen Finger) hinzu und die additive Konstante ergibt sich als (d-1) · d · 100.

Multiplikation von 7 und 8 mittels Fingern

Um beispielsweise 7 mal 8 zu rechnen, zählt man die unteren Finger – hier sind es 5 – und multipliziert sie mit 10 (d = 1). Man erhält 50. Nun multipliziert man die oberen Finger der einen Hand – hier 3 – mit der der anderen – hier 2 – und kommt auf 3 · 2 = 6. Jetzt die beiden Zwischenergebnisse addieren, also 50 + 6 = 56, und man erhält das Endergebnis. Die additive Konstante (d-1) · d · 100 ist hier 0 · 1 · 100 = 0.

Multiplikation von 24 und 22 mittels Fingern

Beim Multiplizieren von 24 und 22 zählt man die unteren Finger auf 6, multipliziert dies mit 20 ( (d-1) · 10 = 2 · 10) zu 120, addiert dazu das Produkt der unteren Finger 4 · 2 = 8 und die additive Konstante (d-1)² · 100 = 400 und erhält dadurch 528.

Besonders geeignet ist dieses Verfahren für das schnelle Errechnen von Quadratzahlen ohne Taschenrechner. Für Faktoren verschiedener Dekaden und Dekadenhälften kann man dieses Verfahren immer noch anwenden, indem man die Faktoren in Summen aufspaltet.

Hintergrund für dieses Verfahren ist die Tatsache, dass man solche Produkte schreiben kann als:

$(a+x)\cdot (a+y)=a^{2}+(x+y)\cdot a+x\cdot y$

und Produkte der zweiten Dekadenhälfte errechnen kann, indem man die Komplemente der letzten Ziffer bzgl. 10 bildet. Die letzte Ziffer ist dann das Produkt der Komplemente, die Zehner das Komplement der Summe der Komplemente.

Vedische Multiplikation

Diese Rechenart kommt aus Indien und ist ein Teil der sogenannten vedischen Mathematik. Bei diesem Rechensystem werden zuerst die Zahlen analysiert und danach ein passendes Verfahren zu deren Berechnung ausgewählt. So existiert z.B. ein Verfahren, welches sich immer dann zu einer „Blitz“-Multiplikation auch großer Faktoren eignet, wenn diese knapp unter oder über derselben Zehnerpotenz liegen.

Dem Rechenweg liegt folgende Beziehung zugrunde: und seien zwei Zahlen dicht unterhalb einer Zehnerpotenz $10^{n}$ und ${\bar {a}}=a-10^{n}$ bzw. ${\bar {b}}=b-10^{n}$ die Differenzen hierzu. Dann ist

$a\cdot b=(10^{n}+{\bar {a}})\cdot (10^{n}+{\bar {b}})=(10^{n}+{\bar {a}}+{\bar {b}})\cdot 10^{n}+{\bar {a}}{\bar {b}}=(a+{\bar {b}})\cdot 10^{n}+{\bar {a}}{\bar {b}}$

Falls nun ${\bar {a}}{\bar {b}}<10^{n}$ ist, kann man die beiden Ziffernfolgen von $(a+{\bar {b}})$ und ${\bar {a}}{\bar {b}}$ einfach nebeneinander schreiben, um so zur Lösung der Multiplikation zu gelangen. (Achtung: Führende Nullen des zweiten Terms müssen mitgeschrieben werden.)

Beispiele

95 ∙ 97 = 9215          992 ∙ 988 = 980096        12 ∙ 13 = 156        98 ∙ 102 = 9996

 Fakt.   Diff.            Fakt.   Diff.             Fakt.  Diff          Fakt.  Diff
  a,b   zu 100             a,b   zu 1000            a,b   zu 10           a,b   zu 100
–––––––––––––––         –––––––––––––––––         ––––––––––––––         ––––––––––––––
    95  -5                  992  - 8                 12   +2               98   - 2
       \ ∙                      \  ∙                    \  ∙                   \   ∙
    97  -3                  988  -12                 13   +3              102   + 2
–––––––––––––––         –––––––––––––––––         ––––––––––––––         ––––––––––––––
    92  15                  980  096                 15    6              99    96

(95-3)(-5∙-3)          (992-12) (-8∙-12)           (12+3) (3∙2)       ( 98+2-1) (100+(-2)∙2)
(97-5) (5∙3)           (988- 8)  (8∙12)            (13+2) (3∙2)       (102-2-1) (100-2∙2)

Im letzten Fall liegt eine Zahl über und eine unter 100. Da in diesem Fall das Produkt ${\bar {a}}{\bar {b}}<0$ ist, muss von der linken Zahl noch ein Übertrag besorgt werden, also links , rechts $+10^{2}=+100$ .

Natürlich ergibt eine Vertauschung der Faktoren dasselbe Ergebnis, da: $(a+{\bar {b}})=(10^{n}+{\bar {a}}+{\bar {b}})=(b+{\bar {a}})$ ist, siehe dazu die letzte Zeile des Beispiels. Da gleiche Vorzeichen beim Multiplizieren von zwei Zahlen immer zu + werden, kann man sie für diese Fälle auch weglassen wie in der letzten Zeile angegeben.

Als Basis können außerdem noch $20\cdot 10^{n-1}$ und $50\cdot 10^{n-2}$ verwendet werden. Berechnet wird hier wie bei $10^{n}$ , nur wird rechts 20-a bzw. 50-a als Differenz gebildet und links mit 2 multipliziert (Basis 20) bzw. durch 2 dividiert (Basis 50). Für die Basis 50 wird im Fall, dass die linke Summe ungerade ist, nur der ganzzahlige Anteil nach Division durch 2 verwendet und als Übertrag rechts $50\cdot 10^{(n/2)-2}$ addiert. Beweis entsprechend zu $10^{n}$ durch einsetzen und umformen.

Russische Bauernmultiplikation

A und B seien ganzzahlige Faktoren. Das Produkt P = A · B kann auch auf folgende – scheinbar kuriose – Art ermittelt werden:

Schritt: Dividiere A und die Ergebnisse so lange durch 2, bis sich 1 als Ergebnis einstellt. Dabei wird ein nicht ganzzahliges Ergebnis auf die nächste ganze Zahl abgerundet und danach die Division durch 2 fortgesetzt.
Schritt: Verdopple B fortlaufend.
Schritt: Streiche alle Zeilen, in welchen in der Spalte A eine gerade Zahl steht.
Schritt: Addiere alle nicht gestrichenen Zahlen der Spalte B. Die erhaltene Summe ist das gesuchte Produkt P.

Beispiel: 11 · 3 = ?

Spalte A    Spalte B
   11     ·     3
    5           6
    2          12         gestrichen wegen (2 = gerade) in Spalte A
    1          24
_______________________
       Summe   33

Erklärung

In der Spalte A werden Streichungen vorgenommen, wo bei der dezimalen Zahl 11 in der binären Darstellung Nullen stehen: 11(dezimal) = 1011(binär). Dabei ist die Spalte A von unten nach oben zu lesen. Diese Methode ist auch die einfachste Art, dezimale Zahlen in binäre zu transformieren. Die fortlaufenden Verdoppelungen in der Spalte B entsprechen den Zweierpotenzen des binären Zahlensystems, multipliziert mit dem zweiten Faktor. Wo in Spalte A eine Null steht, wird die entsprechende Zahl in B mit 0 multipliziert, daher gestrichen. Alle übrigen Zahlen der Spalte B gehören zum Produkt und werden summiert.

Man kann dies auch leicht anders formulieren.

$11\cdot 3=3+6+24\Leftrightarrow 11\cdot 3=3\cdot (1+2+8)\Leftrightarrow 11=1+2+8\Leftrightarrow 11=2^{0}+2^{1}+2^{3}=1\cdot 2^{3}+0\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}$

Die letzte Gleichung kommt der binären Darstellung 1011 von 11 gleich.

Multiplikation mit Zirkel und Lineal

Multiplikation mit Zirkel und Lineal unter Zuhilfenahme des Sehnensatzes

Für eine graphische Multiplikation mit Zirkel und Lineal kann man den Sehnensatz verwenden: Durch einen Punkt O zeichnet man eine Gerade und trägt von O aus die zu multiplizierenden Längen und in entgegengesetzten Richtungen ab. Dadurch entstehen zwei neue Punkte A und B. Durch O zeichnet man eine zweite Gerade. Auf dieser trägt man eine Strecke der Länge eins ab, wodurch ein weiterer Punkt E entsteht. Die zweite Gerade wird durch den Kreis durch die Punkte A, B und E in einem Punkt C geschnitten. Der Abstand von O und C hat nach dem Sehnensatz die gesuchte Länge

$a\cdot b={\overline {OA}}\cdot {\overline {OB}}=\underbrace {\overline {OE}} _{=1}\cdot \,{\overline {OC}}$

Den benötigten Kreis kann man als Umkreis um das von A, B und E aufgespannte Dreieck konstruieren. Neben dem Sehnensatz ist auch der Sekantensatz für die Konstruktion des Produkts zweier Zahlen dienlich. Bei Verwendung des Sekantensatzes liegt der Startpunkt O außerhalb des Kreises, und die Größen a und b werden von O aus gesehen in die gleiche Richtung abgetragen. Dementsprechend liegt dann auch C von O aus gesehen in der gleichen Richtung, in der die Eins abgetragen wurde.

Multiplikation mit Zirkel und Lineal unter Zuhilfenahme des Strahlensatzes

Eine weitere Möglichkeit zur graphischen Multiplikation mit Zirkel und Lineal ergibt sich aus dem Strahlensatz. Hier trägt man zunächst auf einem Strahl mit Ausgangspunkt A Strecken der Längen 1 und b, die beide in A beginnen. Dann trägt man vom Endpunkt E der Strecke der Länge 1 eine Strecke der Länge a ab und zeichnet einen zweiten Strahl durch deren Endpunkt C und A, so dass A wiederum der Ausgangspunkts des Strahls ist. Dann zeichnet man durch den Endpunkt B der Strecke b eine zu a parallele Gerade. Diese schneidet den zweiten Strahl in D. Die Länge der Strecke BD entspricht dem Produkt von a und b.

Verallgemeinerungen

Die bekannte Multiplikation reeller Zahlen kann zur Multiplikation komplexer Zahlen der Form $a+{\mathrm {i}}b$ verallgemeinert werden durch Nutzung des Distributivgesetzes:

$(a+b\mathrm {i} )\cdot (c+d\mathrm {i} )=ac+ad\mathrm {i} +bc\mathrm {i} +bd\mathrm {i} ^{2}=ac-bd+(ad+bc)\mathrm {i}$

Durch Forderung einiger der oben angegebenen Rechengesetze gelangt man zu algebraischen Strukturen mit zwei Verknüpfungen, einer Addition und einer Multiplikation. In einem Ring gibt es eine Addition, mit der die Menge eine Abelsche Gruppe bildet, und eine Multiplikation, die assoziativ und distributiv ist. Hat die Multiplikation ein neutrales Element, nennt man den Ring unitär. Ist zusätzlich die Division immer möglich, erhält man einen Schiefkörper. Ist zusätzlich die Multiplikation kommutativ, erhält man einen Körper.

Mit dieser Multiplikation nicht zu verwechseln sind andere Verknüpfungen, die gemeinhin auch als Produkte bezeichnet werden, z.B. das Skalarprodukt in euklidischen Vektorräumen, die Skalarmultiplikation in Vektorräumen, die Matrizenmultiplikation und das Kreuzprodukt im dreidimensionalen Raum $\mathbb {R} ^{3}$ . Von Multiplikation spricht man auch bei Größenwerten von physikalischen Größen.

Siehe auch

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de