Sekantensatz

Der Sekantensatz besagt: Schneiden sich zwei Sekanten außerhalb des Kreises in einem Punkt , so ist das Produkt der Abschnittslängen vom Sekantenschnittpunkt bis zu den beiden Schnittpunkten von Kreis und Sekante auf beiden Sekanten gleich groß. Kürzer: Das Produkt der Sekantenabschnitte ist konstant.

Sekantensatz

Formulierung des Satzes

Gegeben sei ein Kreis mit zwei Sekanten, die sich in einem Punkt außerhalb des Kreises schneiden. Bezeichnet man die Schnittpunkte des Kreises mit der einen Sekante als und und die Schnittpunkte mit der anderen Sekante als und , so gilt:

$\overline {AP}\cdot \overline {DP}=\overline {BP}\cdot \overline {CP}$

Diese Aussage kann man auch als Verhältnisgleichung formulieren:

$\overline {AP}:\overline {BP}=\overline {CP}:\overline {DP}$

Beweisidee

Der Sekantensatz lässt sich – ähnlich wie der Sehnensatz und der Sekanten-Tangenten-Satz – mit Hilfe ähnlicher Dreiecke beweisen.

Die Dreiecke APC und BPD sind ähnliche Dreiecke, denn:

Der Winkel $\varphi$ in Punkt ist beiden Dreiecken gemeinsam.
Umfangswinkel über einer Sehne sind gleich groß. Anwendung dieses Satzes auf die Sehne ergibt $\angle ADB=\angle ACB$ .

$\triangle APC\sim \triangle BPD$ (Ähnlichkeitssatz WW)

Daraus ergibt sich die Verhältnisgleichung

$\overline {AP}:\overline {BP}=\overline {CP}:\overline {DP}$ .

Durch Multiplikation mit $\overline {BP}\cdot \overline {DP}$ erhält man:

$\overline {AP}\cdot \overline {DP}=\overline {BP}\cdot \overline {CP}$

Ein rechnerischer Nachweis mit Hilfe des Satzes von Vieta ist in dem Artikel Potenz (Geometrie) enthalten.

Siehe auch

Sehnensatz
Sekanten-Tangenten-Satz
Potenz (Geometrie), vereinigt die Aussage von Sehen-, Sekenten- und Sekanten-Tangentensatz in einem einheitlichen Konzept

Literatur

Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 2. Auflage. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, 2000, ISBN 3-540-67643-0.
H. Schupp: Elementargeometrie, UTB Schöningh (1977), ISBN 3-506-99189-2.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de