Satzgruppe von Vieta

Der Satz von Vieta oder auch Wurzelsatz von Vieta ist ein mathematischer Lehrsatz aus der elementaren Algebra. Benannt ist er nach dem Mathematiker François Viète, der ihn in seinem postum erschienenen Werk „De aequationum recognitione et emendatione Tractatus duo“ („Zwei Abhandlungen über die Untersuchung und Verbesserung von Gleichungen“) bewies. Der Satz macht eine Aussage über den Zusammenhang zwischen den Koeffizienten und den Lösungen einer algebraischen Gleichung.

Aussage

Seien und die Koeffizienten der quadratischen Gleichung

und x_1 und x_2 deren Lösungen (Wurzeln). Dann gilt

${\begin{array}{r c l}p&=&-(x_{1}+x_{2})\\q&=&x_{1}\cdot x_{2}\end{array}}$

Beispiele

Für den Satz gibt es drei wichtige Anwendungen:

Es lassen sich damit quadratische Gleichungen zu vorgegebenen Lösungen konstruieren. Beispielsweise lautet eine quadratische Gleichung zu den Lösungen 2 und 3 .
Es lassen sich Gleichungssysteme der Form

$\begin{array}{r c l } x_1+x_2 &= & -p\\ x_1\cdot x_2 &= &q \end{array}$

lösen. Beispielsweise sind die Lösungen und des Systems $x+y =-(-5), x\cdot y =6$ die Lösungen der zugehörigen quadratischen Gleichung z^2-5z+6=0

. Nach der Lösungsformel ergibt sich x=2

oder

Der Satz kann helfen, die Lösungen durch Probieren zu bestimmen: Ist die quadratische Gleichung

gegeben, dann muss für die Nullstellen x_1 , x_2 gelten:

$\begin{align} x_1 + x_2 &= -(-7)=7\\ x_1 \cdot x_2 &= 10 \,. \end{align}$

Wenn wir zunächst nach ganzzahligen Nullstellen suchen, müssen die Nullstellen Teiler der 10 sein, deren Summe 7 ist. Als Teiler von 10 kommen 2 und 5 infrage, oder 1 und 10, oder −2 und −5, oder −1 und −10. 2 und 5 sind tatsächlich Nullstellen, da 2+5=7

und $2\cdot5=10$ ist.

Beweis

Der Satz ergibt sich direkt durch Ausmultiplizieren der Nullstellenform nach Koeffizientenvergleich:

$\begin{align} x^2 + px + q & = (x-x_1) \cdot (x-x_2)\\ & = x^2 - (x_1+x_2)\cdot x + x_1\cdot x_2 \end{align}$

und somit p = -(x_1 +x_2) und $q = x_1 \cdot x_2$ .

Der Beweis ist aber auch elementarer ohne Koeffizientenvergleich möglich. Wenn x_1 und x_2 Lösungen der Gleichung x^2+px+q=0 sind, muss x_1^2+px_1+q=0= x_2^2+px_2+q gelten. Daraus folgt dann der Rest:

$\begin{align} x_1^2+px_1+q & = x_2^2+px_2+q\\ x_1^2-x_2^2 & = px_2-px_1\\ -(x_2-x_1)\cdot (x_1+x_2) & = p\cdot (x_2-x_1)\\ -(x_1 +x_2) & = p. \end{align}$

Bei der Rechnung ist die Annahme $x_1 \neq x_2$ für das Teilen durch (x_2-x_1) wichtig.

Die Gleichung für erhält man, indem man $p=-(x_{1}+x_{2})$ in x_1^2+px_1+q=0 einsetzt.

Verallgemeinerung

Der Satz von Vieta über quadratische Gleichungen lässt sich auf Polynomgleichungen bzw. Polynome beliebigen Grades verallgemeinern. Diese Verallgemeinerung des Satzes von Vieta ist die Grundlage für das Lösen von Gleichungen höheren Grades durch Polynomdivision. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra gilt:

Jedes (normierte) Polynom -ten Grades mit Koeffizienten in den komplexen Zahlen lässt sich als Produkt von Linearfaktoren darstellen:

$P(x) = x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb+a_2x^2+a_1x^1+a_0 = (x-x_1)(x-x_2)\dotsm(x-x_n).$

$x_1, x_2, \dotsc, x_n$ sind die Nullstellen des Polynoms; auch wenn alle Koeffizienten $a_0, a_1,\dotsc,a_{n-1}$ reell sind, können die Nullstellen imaginär sein. Nicht alle $x_{i}$ müssen verschieden sein.

Nun ergibt sich der Satz von Vieta durch Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich:

$a_{n-j}=(-1)^{j}\sigma _{j},\quad j=1,\dotsc ,n$ ,

wobei

$\sigma _{k}=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\dotsb <i_{k}\leq n}x_{i_{1}}\cdots x_{i_{k}}$

die sogenannten Elementarsymmetrischen Polynome in $x_{1}$ bis $x_{n}$ sind. Für ein Polynom vierten Grades

$P(x) = x^4 + a_3\cdot x^3 + a_2\cdot x^2 + a_1\cdot x + a_0 = (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)$

ergibt sich:

$\begin{array}{r c l c l} -a_3 &=& \sigma_1 &=& x_1+x_2+x_3+x_4\\ a_2 &=& \sigma_2 &=& x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4\\ -a_1 &=& \sigma_3 &=& x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4\\ a_0 &=& \sigma_4 &=& x_1x_2x_3x_4\\ \end{array}$

Eine wichtige Anwendung des Satzes für n=2 und n=3 ist die Rückführung der kubischen Gleichung auf eine quadratische Gleichung und der Gleichung 4. Grades auf eine kubische Gleichung, die sog. kubische Resolvente.

Allgemein gilt der Wurzelsatz von Vieta auch für Polynome mit Koeffizienten in anderen Körpern, solange diese nur algebraisch abgeschlossen sind.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de