Tetraeder

Regelmäßiges Tetraeder

Art der Seitenflächen	gleichseitige Dreiecke
Anzahl der Flächen	4
Anzahl der Ecken	4
Anzahl der Kanten	6
Schläfli-Symbol	{3,3}
dual zu	Tetraeder
Netz
Anzahl verschiedener Netze	2
Anzahl Kanten in einer Ecke	3
Anzahl Ecken einer Fläche	3

Das (auch, v.a. österr.: der) Tetraeder [tetraˈeːdər] (v. griech. tetráedron „Vierflächner“), auch Vierflächner oder Vierflach, ist ein Körper mit vier dreieckigen Seitenflächen. Es ist das einzige konvexe (dreidimensionale) Polyeder (Vielflächner) mit vier Flächen.

Das Wort wird jedoch nur selten in dieser allgemeinen Bedeutung gebraucht. Meist ist mit Tetraeder das regelmäßige (oder gleichseitige) Tetraeder gemeint, während das allgemeine Tetraeder je nach Symmetrie als dreiseitige Pyramide, Dreieckpyramide, Disphenoid oder dreidimensionales Simplex bezeichnet wird.

Regelmäßiges Tetraeder

Das regelmäßige Tetraeder (reguläre Tetraeder) ist einer der fünf platonischen Körper, genauer ein Polyeder mit

vier (kongruenten) gleichseitigen Dreiecken als Flächen
sechs (gleich langen) Kanten und
vier Ecken, in denen jeweils drei Flächen zusammentreffen

Das regelmäßige Tetraeder ist auch eine gleichseitige dreiseitige Pyramide (mit einem gleichseitigen Dreieck als Grundfläche).

Symmetrie

Symmetrieachsen und -ebenen eines regelmäßigen Tetraeders

Wegen seiner hohen Symmetrie – alle Ecken, Kanten und Flächen sind untereinander gleichartig – ist das regelmäßige Tetraeder ein reguläres Polyeder. Es hat

vier dreizählige Drehachsen (durch die Ecken und die Mitten der gegenüberliegenden Seitenflächen),
drei vierzählige Drehinversionsachsen und damit auch drei zweizählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten) sowie
sechs Symmetrieebenen (jeweils durch eine Kante und senkrecht (normal) zur gegenüberliegenden Kante).

Insgesamt hat die Symmetriegruppe des Tetraeders – die Tetraedergruppe – 24 Elemente. Sie ist die symmetrische Gruppe S₄ (die Punktgruppe T_d nach Schoenflies bzw. 43m nach Hermann-Mauguin) und bewirkt alle 4! = 24 Permutationen der Ecken bzw. der Seitenflächen. Sie ist Untergruppe der Oktaedergruppe (Würfelgruppe).

Im Einzelnen gehören zur Tetraedergruppe

12 Drehungen (gerade Permutationen), nämlich
- die identische Abbildung,
- 8 Drehungen um 120° (vier mögliche Drehachsen durch jeweils eine Ecke und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Dreiecksfläche, 2 Möglichkeiten für den Drehsinn) und
- 3 Drehungen um 180° (Drehachsen jeweils durch die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Kanten)

sowie

12 ungerade Permutationen. Diese erhält man, indem man nach jeder der 12 geraden Permutationen noch die Spiegelung an einer festen Symmetrieebene durchführt. 6 davon lassen sich auch als eine reine Ebenenspiegelung beschreiben, die anderen sechs als Drehspiegelungen von Drehung um 90° um eine Achse, die durch die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Kanten verläuft, und Spiegelung an der zu dieser Achse senkrechten Ebene, die den Mittelpunkt zwischen den beiden gegenüberliegenden Kanten beinhaltet.

Die geraden Permutationen bilden eine Untergruppe der Tetraedergruppe, die so genannte alternierende Gruppe $A_{4}$ (die Punktgruppe T bzw. 23). Manchmal wird der Begriff Tetraedergruppe auch nur für diese unter Ausschluss der Spiegelungen verwendet.

Weitere Eigenschaften

Verhältnis zu Oktaeder, Würfel, archimedischen Körpern

Tetraeder in Tetraeder

Durch Verbinden der Flächenmittelpunkte erhält man wieder ein Tetraeder. Man sagt deshalb: Das Tetraeder ist zu sich selbst dual, kurz: selbst-dual. Die Seitenlänge des neuen Tetraeders beträgt ein Drittel der ursprünglichen Seitenlänge.

Mit Hilfe dieser beiden Tetraeder können Körper konstruiert werden, die ebenfalls die Tetraedergruppe als Symmetriegruppe haben. So erhält man zum Beispiel

das abgestumpfte Tetraeder mit 4 Sechsecken und 4 Dreiecken (siehe Archimedischer Körper),
das Oktaeder mit 4 + 4 = 8 Dreiecken und 6 Ecken (mit höherer Symmetrie) als Durchschnitt zweier Tetraeder,
das Sterntetraeder (ein Oktaeder mit 8 aufgesetzten Tetraedern) als Vereinigung zweier Tetraeder
den Würfel mit 4 + 4 = 8 Ecken (und mit höherer Symmetrie) als konvexe Hülle dieses Sternkörpers.

Siehe dazu auch das Beispiel weiter unten.

Umgebender Würfel

Animation eines Tetraeders

Tetraederwinkel-Berechnung

Das Tetraeder kann in einen Würfel so einbeschrieben werden, dass seine Ecken zugleich Würfelecken und seine sechs Kanten Diagonalen der Würfelflächen sind. (Die acht Ecken des Würfels bilden zwei disjunkte Mengen von je vier Ecken, die den beiden möglichen Lagen des Tetraeders entsprechen.) Das Volumen dieses Würfels ist das Dreifache des Tetraedervolumens.

Dual dazu kann das Tetraeder einem Oktaeder so umbeschrieben werden, dass vier der Oktaederflächen in den Begrenzungsflächen des Tetraeders liegen und die sechs Ecken des Oktaeders die Mittelpunkte der sechs Tetraederkanten sind. (Die acht Flächen des Oktaeders bilden zwei disjunkte Mengen, die den beiden Lagen für das dem Oktaeder umbeschriebene Tetraeder entsprechen.)

Winkel

Aufriss eines Tetraeders

Der Winkel zwischen zwei Begrenzungsflächen des regelmäßigen Tetraeders (in der Zeichnung mit $\alpha$ bezeichnet) beträgt 70,53° (Rundungsgenauigkeit wie bei den nachfolgenden Angaben zwei Nachkommastellen). Jede Kante bildet mit der gegenüberliegenden Fläche einen Winkel ( $\beta$ ) von 54,74°. Die Verbindungsstrecken zwischen dem Tetraedermittelpunkt und zwei Ecken schließen jeweils einen Winkel von $\textstyle \, \arccos {(-\frac{1}{3})}$ ein, dies entspricht 109,47°. Der zuletzt genannte Winkel ( $\tau$ ) wird als Tetraederwinkel bezeichnet und spielt eine wichtige Rolle in der Chemie, beispielsweise bei der Geometrie des Methan-Moleküls. Die Größen der angegebenen Winkel lassen sich durch Anwendung trigonometrischer Funktionen ermitteln. Man betrachtet dazu die Schnittfigur des Tetraeders mit einer seiner sechs Symmetrieebenen. Daraus ergibt sich exakt: $\textstyle \cos\alpha = \frac{1}{3}; \quad \tan\beta= \sqrt{2}; \quad \cos\tau = -\frac{1}{3}.$

Zur Berechnung des Tetraederwinkels siehe Artikel Stumpfer Winkel.

Querschnitt

Quadratischer Querschnitt durch einen Tetraeder

Das regelmäßige Tetraeder kann so in zwei Teile geschnitten werden, dass die Schnittfläche ein Quadrat ist. Die Teile sind kongruent zueinander.

Liegt die Schnittebene durch ein regelmäßiges Tetraeder parallel zu einer der vier Seitenflächen, dann ergibt der Querschnitt ein gleichseitiges Dreieck.

Liegt die Schnittebene durch ein regelmäßiges Tetraeder parallel zu zwei gegenüberliegenden Kanten, dann ergibt der Querschnitt ein Rechteck. Hat die Schnittebene zusätzlich noch von diesen beiden Kanten den gleichen Abstand, also teilt sie die übrigen vier Kanten genau zur Hälfte, dann ist das Schnittbild ein Quadrat. Das Quadrat hat eine Kantenlänge, die genau halb so lang ist wie die Länge einer Kante des Tetraeders.

Beispiel

Die Einbettung des Tetraeders in einen Würfel bietet eine einfache Möglichkeit, ein regelmäßiges Tetraeder zu konstruieren. Bezeichnen wir die Eckpunkte des Würfels an der Basis mit A,B,C und sowie die darüberliegenden Eckpunkte mit $E,F,G$ und , so bilden $A,C,F$ und sowie $B,D,E$ und jeweils die Ecken eines Tetraeders. Betrachtet man z.B. in einem räumlichen kartesischen Koordinatensystem den Würfel, dessen Ecken die Koordinaten und haben, so erhält man für das erste Tetraeder die Ecken

$A(1,1,-1),C(-1,-1,-1),F(-1,1,1)$ und $H(1,-1,1)$ .

Die Kanten sind: $AC,AF,AH,CF,CH$ und $FH$ . Die Seitenflächen sind die Dreiecke $ACF,ACH,AFH$ und $CFH$ .

Das zweite Tetraeder hat die Ecken

$B(-1,1,-1),D(1,-1,-1),E(1,1,1)$ und $G(-1,-1,1)$ .

Der Durchschnitt dieser beiden Tetraeder ist das von den Punkten $(1,0,0),(-1,0,0),(0,1,0)(0,-1,0),(0,0,1)$ und (0,0,-1) bestimmte Oktaeder. Ihre Vereinigung ist ein Sternkörper mit 8 Spitzen (in jeder Ecke des Würfels eine). Seine konvexe Hülle ist daher der Würfel.

Formeln

Größen eines regulären Tetraeders mit Kantenlänge a
Volumen ≈ 0,12 a³	$V = \frac{a^3}{12} \sqrt{2}$
Oberflächeninhalt ≈ 1,73 a²	$A_O = a^2 \sqrt{3}\, = V\,'(\rho)$
Umkugelradius ≈ 0,61 a	$R = \frac{a}{4} \sqrt{6} = 3 \,\rho$
Kantenkugelradius ≈ 0,35 a	$r = \frac{a}{4} \sqrt{2}$
Inkugelradius ≈ 0,2 a	$\rho = \frac{a}{12}\sqrt{6}$
Pyramidenhöhe ≈ 0,82 a	$k = \, \frac{a}{3} \sqrt{6} = \rho + R$
Verhältnis von Volumen zu Umkugelvolumen	$\frac{V}{V_{UK}} = \, \frac{2}{9\pi} \sqrt{3}$
Flächenwinkel ≈ 70° 31′ 44″	$\cos \, \alpha = \frac{1}{3}$
Flächen-Kanten-Winkel ≈ 54° 44′ 8″	$\tan \, \beta = \sqrt{2}$
Eckenraumwinkel ≈ 0,1755 π	$\cos \, \Omega = \frac{23}{27}$
Tetraederwinkel ≈ 109° 28′ 16″	$\cos \, \tau = -\frac{1}{3}$

Anwendungen

Obwohl das Tetraeder nicht Stein einer Parkettierung des Raumes ist, tritt es im kubischen Kristallsystem auf (siehe oben).

Molekül mit Tetraederwinkel

In der Chemie spielt das Tetraeder bei der räumlichen Anordnung von Atomen in Verbindungen eine große Rolle. Einfache Molekülgestalten lassen sich mit dem VSEPR-Modell vorhersagen. So sind die vier Wasserstoffatome im Methanmolekül tetraedrisch um das Kohlenstoffatom angeordnet, da so der Bindungswinkel am größten wird. Auch die Kohlenstoffatome im Diamantgitter sind tetraedrisch angeordnet, jedes Atom ist von vier weiteren Atomen umgeben. Das Kohlenstoff-Atom befindet sich dann nach dem Orbital-Modell in sp³-Hybridisierung.

Das Tetraeder war auch für den Tetra Pak wegen dessen ursprünglicher Form namensgebend.

Alexander Graham Bell hat mit vielzelligen Kastendrachen (Flugdrachen) experimentiert, deren Einzelzellen die Form eines Tetraeders haben. Diese meist imposanten Drachen werden als „Bell-Tetraeder“ bezeichnet. Meistens werden 4 oder 10 oder 20 Einzelzellen zu einem Verbund zusammengefügt, welcher dann auch wieder die Form eines Tetraeders hat. Es sind aber auch andere Verbundformen möglich.

In vielen Pen-&-Paper-Rollenspielen werden Tetraeder als vierseitige Spielwürfel (W4) verwendet.

Weitere technische Anwendungen lehnen sich an die Struktur an, die sich durch die vom Tetraederzentrum in die vier Raumecken weisenden Strecken ergibt:

Tetrapoden, die an Küsten als Wellenbrecher eingesetzt werden
sog. Krähenfüße, eine Defensivwaffe, die von Polizei und Militär gegen Autos eingesetzt wird, um deren Reifen platzen zu lassen.

Beton-Tetrapode auf Helgoland
Elementarzelle des Diamantgitters
Ein Krähenfuß des Office of Strategic Services
Raumfachwerk aus Tetraedern

Allgemeines Tetraeder (dreidimensionales Simplex)

Ein Tetraeder im allgemeinen Sinn, also ein Körper mit vier Seitenflächen, ist immer eine dreiseitige Pyramide, also mit einem Dreieck als Grundfläche und drei Dreiecken als Seitenflächen, und hat daher auch vier Ecken sowie sechs Kanten. Da er die für einen Körper im Raum kleinste mögliche Zahl von Ecken und Seiten hat, wird er in der Fachsprache (dreidimensionales) Simplex oder 3-Simplex genannt. Die zweidimensionalen Simplizes sind die Dreiecke.

Jedes 3-Simplex besitzt eine Umkugel und eine Inkugel.
Der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der Verbindungsstrecken zwischen den Ecken und den Schwerpunkten der gegenüberliegenden Dreiecke und teilt diese im Verhältnis 3:1.
Jedes 3-Simplex ist die konvexe Hülle seiner vier Ecken.
Es ist das einzige bekannte Polyeder neben dem Szilassi-Polyeder, bei dem alle Seiten zueinander benachbart sind.

Im $\mathbb {R} ^{3}$ kann ein Tetraeder auch durch einen Punkt und den drei Vektoren zu den angrenzenden Punkten beschrieben werden. Bezeichnet man diese Vektoren mit ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ , so berechnet sich das Volumen des Tetraeders mit $\textstyle V = \frac{1}{6} \left| \det \left[\begin{smallmatrix} \vec{a} \\ \vec{b} \\ \vec{c} \end{smallmatrix} \right] \right| = \frac{1}{6} \left| (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} \, \right|$

Berechnung eines beliebigen Tetraeders

Ein Tetraeder besitzt 6 Kanten. Ein Dreieck ist durch die Angabe dreier Seiten bestimmt. Jede weitere Kante kann (in gewissen Grenzen) frei gewählt werden. Liegen also 6 voneinander unabhängige Angaben zur Größe von Kanten und/oder Winkeln vor, kann man daraus die jeweils fehlenden übrigen Kanten und/oder Winkel berechnen.

Analogien in höheren Dimensionen

Die Analoga des Tetraeders in beliebiger Dimension werden als (-dimensionale) Simplizes bezeichnet. Das -dimensionale Simplex hat n+1 Ecken und wird von n+1 Simplizes der Dimension n-1 (als Facetten) begrenzt. Ein nulldimensionales Simplex ist ein Punkt, ein eindimensionales Simplex ist eine Strecke, ein zweidimensionales Simplex ist ein Dreieck. Das vierdimensionale Äquivalent zum Tetraeder, das Pentachoron, hat 5 Ecken, 10 Kanten, 10 Dreiecke als Seitenflächen und 5 dreidimensionale Tetraeder als Facetten.

Koordinatenbeschreibung eines regulären -Simplex:

$\{x\in\mathbb R^{n+1}\mid \sum_{i=0}^{n}x_i=x_0+x_1+\ldots+x_n=1\ \land \ \forall i:\ x_i\geq0\}$

Beispielsweise für n=2 ergibt sich hier ein gleichseitiges Dreieck, das von den Punkten $(1,0,0); \, (0,1,0); \, (0,0,1)$ im dreidimensionalen Raum aufgespannt wird.

Siehe auch

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de