Raumwinkel

Raumwinkel in einer Kugel mit Radius R

Der Raumwinkel ist das dreidimensionale Gegenstück zum zweidimensionalen für die Ebene definierten Winkel. Er beschreibt den Anteil am gesamten dreidimensionalen Raum, der z.B. im Inneren eines gegebenen Kegel- oder Pyramidenmantels liegt.

Definition

Der Raumwinkel $\Omega$ ist definiert als der Flächeninhalt einer Teilfläche einer Kugeloberfläche, dividiert durch das Quadrat des Radius der Kugel:

$\Omega ={\frac {A}{r^{2}}}$ .

Bei Betrachtung der Einheitskugel ( also betragsgleich dem zugehörigen Raumwinkel. So ist der volle Raumwinkel gleich der Oberfläche der Einheitskugel, nämlich $4\cdot \pi$ .

Die Teilfläche kann von beliebiger Umrissform sein. Vektoriell geschrieben als Flächenintegral ist

$\Omega =\iint _{F}{\frac {{\hat {\vec {n}}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}}{r^{2}}}$ .

Dabei ist $\hat{\vec{n}}$ der Einheitsvektor vom Koordinatenursprung, ${\mathrm {d}}{\vec {A}}$ das differentielle Flächenelement und dessen Abstand vom Koordinatenursprung.

Anders als das Bild vielleicht vermuten lässt, spielt die Umrissform des Flächenstücks keine Rolle. Jede Umrissform auf der Kugeloberfläche mit dem gleichen Flächeninhalt definiert einen Raumwinkel der gleichen Größe. Legt man durch jeden Punkt der Umrissform einen Strahl mit dem Mittelpunkt der Kugel als Startpunkt, dann erhält man eine geometrische Figur, die den Raumwinkel veranschaulicht. Dies ist vergleichbar mit der Darstellung für einen Winkel in der Ebene: Zwei Halbgeraden mit einem gemeinsamen Startpunkt.

Maßeinheiten

Obwohl der Raumwinkel eine Größe der Dimension Zahl ist, wird er zur Verdeutlichung meist in der Einheit Steradiant (sr) angegeben; dies entspricht dem Bogenmaß mit der Einheit Radiant (rad) beim ebenen Winkel. Ein Raumwinkel von 1 sr umschließt auf einer Kugel mit dem Radius 1 m eine Fläche von 1 m². Da eine ganze Kugeloberfläche den Flächeninhalt $4\cdot \pi \cdot r^{2}$ hat, ist der zugehörige volle Raumwinkel

$\Omega =4\cdot \pi \ \mathrm {sr} \approx 12{,}56637\ \mathrm {sr}$ .

Gelegentlich werden Raumwinkel auch in Quadratgrad, (°)², angegeben. 1 (°)² ist gleich $\left({\tfrac {2\pi }{360}}\right)^{2}\approx 0{,}00030462\ \mathrm {sr}$ .

Die Verwendung einer Hilfsmaßeinheit für eine Größe der Dimension Zahl hat, wie auf vielen Gebieten, insbesondere auch beim Raumwinkel, den Vorteil, dass schon an der verwendeten Einheit erkennbar ist, welche physikalische Größe gemeint ist. Die Lichtstärke (cd = lm/sr) zeigt im Gegensatz zum Lichtstrom (lm) ihre Abhängigkeit vom Raumwinkel durch das Auftreten des Steradiant in der Einheit. Die Lichtstärke bezeichnet somit einen vom Raumwinkel abhängigen Lichtstrom.

Darstellung mit Vektoren

Drei von einem Punkt P ausgehende Vektoren $\vec{r}_1$ , $\vec{r}_2$ und $\vec{r}_3$ bestimmen ein allgemeines Dreieck. Für den aufgespannten Raumwinkel $\Omega$ mit dem Scheitel P gilt:

$\tan \left({\frac {\Omega }{2}}\right)={\frac {({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},{\vec {r}}_{3})}{|{\vec {r}}_{1}|\cdot |{\vec {r}}_{2}|\cdot |{\vec {r}}_{3}|+({\vec {r}}_{1}\cdot {\vec {r}}_{2})\cdot |{\vec {r}}_{3}|+({\vec {r}}_{1}\cdot {\vec {r}}_{3})\cdot |{\vec {r}}_{2}|+({\vec {r}}_{2}\cdot {\vec {r}}_{3})\cdot |{\vec {r}}_{1}|}}$ .

Dabei ist $({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},{\vec {r}}_{3})$ das Spatprodukt der Vektoren $\vec{r}_1$ , $\vec{r}_2$ und $\vec{r}_3$ , $({\vec {r}}_{1}\cdot {\vec {r}}_{2})$ ist das Skalarprodukt und $|{\vec {r}}_{1}|$ ist die Länge des Vektors.

Diese Darstellung wurde im Jahr 1983 von Oosterom und Strackee angegeben und bewiesen.

Darstellung mit Kugelkoordinaten

Ein Raumwinkel aus einem kartesischen Polarkoordinatenabschnitt

Der Raumwinkel eines Kugeldreiecks beträgt in Abhängigkeit von seinen Innenwinkeln $(\alpha + \beta + \gamma - \pi)$ Steradiant (siehe Kugeldreieck - Eigenschaften).

In einem Kugelkoordinatensystem kann der Raumwinkel besonders übersichtlich definiert werden, da es keine radiale Variable gibt. Zwei Meridianwinkel $\varphi _{1}$ , $\varphi _{2}$ und zwei Breitenwinkel $\gamma _{1}$ , $\gamma _{2}$ bestimmen ein Flächenelement auf einer Kugeloberfläche. Der zugehörige Raumwinkel beträgt:

$\Omega =\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\int \limits _{\gamma _{1}}^{\gamma _{2}}\sin(\gamma )\ \mathrm {d} \gamma \ \mathrm {d} \varphi$

Raumwinkel eines Kegels

Kanonischer Raumwinkel

Wählt man als Umrissform auf der Kugeloberfläche einen Kreis, so erhält man den kanonischen Raumwinkel. Der Raumwinkel bildet dann den Mantel eines geraden Kreiskegels, in dessen Spitze der Mittelpunkt der Kugel liegt.

Ist $2\theta$ der Öffnungswinkel in der Spitze des Kegels, dann ergibt sich der Raumwinkel $\Omega$ aus dem Doppelintegral

${\begin{aligned}\Omega &=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\theta }\sin(\theta ')\ \mathrm {d} \theta '\ \mathrm {d} \phi =\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \phi \int _{0}^{\theta }\sin(\theta ')\ \mathrm {d} \theta '=2\cdot \pi \cdot \int _{0}^{\theta }\sin(\theta ')\ \mathrm {d} \theta '=2\cdot \pi \cdot (-\cos(\theta )-(-\cos(0)))\\&=2\cdot \pi \cdot (1-\cos(\theta ))=2\cdot \pi \cdot \left(1-\left(1-2\cdot \sin ^{2}\left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\right)\right)\\&=4\cdot \pi \cdot \sin ^{2}\left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\end{aligned}}$

Öffnungswinkel $2\theta$ in Grad	0	1	2	5	10	15	30	45	57,2958
Öffnungswinkel $2\theta$ in Radiant	0,0000	0,0175	0,0349	0,0873	0,1745	0,2618	0,5236	0,7854	1,0000
Raumwinkel $\Omega$ in Quadratgrad	0,00	0,79	3,14	19,63	78,49	176,46	702,83	1570,10	2525,04
Raumwinkel $\Omega$ in Steradiant	0,0000	0,0002	0,0010	0,0060	0,0239	0,0538	0,2141	0,4783	0,7692

Öffnungswinkel $2\theta$ in Grad	60	65,5411	75	90	120	150	180	270	360
Öffnungswinkel $2\theta$ in Radiant	1,0472	1,1439	1,3090	1,5708	2,0944	2,6180	3,1416	4,7124	6,2832
Raumwinkel $\Omega$ in Quadratgrad	2763,42	3282,81	4262,39	6041,36	10313,24	15287,95	20626,48	35211,60	41252,96
Raumwinkel $\Omega$ in Steradiant	0,8418	1,0000	1,2984	1,8403	3,1416	4,6570	6,2832	10,7261	12,5664

Raumwinkel einer Pyramide

Zum Raumwinkel einer Pyramide

Der Spezialfall des Raumwinkels mit einem rechteckigen und ebenen Umriss entspricht der geometrischen Form einer Pyramide, wobei der Ursprung genau senkrecht über dem Mittelpunkt des ebenen Rechtecks stehe, (siehe Abbildung). Dieser Raumwinkel tritt z.B. bei der Berechnung der Étendue von optischen Systemen mit rechteckigen Aperturen auf.

Er lässt sich sehr leicht mit der Oosterom-und-Strackee-Formel berechnen. Mit den Pyramidengrundseiten w_x und w_y sowie der Höhe h ergibt sich:

$\Omega =4\cdot \arctan \left({\frac {w_{x}\cdot w_{y}}{2\cdot h\cdot {\sqrt {4\cdot h^{2}+w_{x}^{2}+w_{y}^{2}}}}}\right)$

Verwendet man für die Berechnung die beiden Öffnungswinkel $2\cdot \varphi _{x}$ und $2\cdot \varphi _{y}$ , wobei $\tan(\varphi _{x})={\frac {w_{x}}{2\cdot h}}$ und $\tan(\varphi _{y})={\frac {w_{y}}{2\cdot h}}$ ist, so folgt nach einigen trigonometrischen Umformungen:

$\Omega =4\cdot \arcsin \left(\sin(\varphi _{x})\cdot \sin(\varphi _{y})\right)$

Beispiele

Eine Rechteckblende vor einer Punktlichtquelle grenze den Lichtstrahl auf die Winkel 45° ( $\varphi_x=22{,}5^\circ$ ) und 20° ( $\varphi_y=10^\circ$ ) ein. Der Raumwinkel beträgt 0,27 sr.

Handelt es sich um eine quadratische Blende und beide Winkel sind 20° groß, dann umfasst der Raumwinkel 0,12 sr. Der kanonische Raumwinkel einer 20°-Kreisblende liegt bei 0,10 sr.

Raumwinkel eines Polyeders

Der Raumwinkel in der Ecke eines Polyeders kann mit dem Satz von L'Huilier berechnet werden.

Für den Raumwinkel, der in der Ecke mit den Innenwinkeln $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ liegt, gilt

${\begin{aligned}\Omega &=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan \left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{b}}{2}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right)}}\right)\\&=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan \left({\frac {\alpha +\beta +\gamma }{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {-\alpha +\beta +\gamma }{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\alpha -\beta +\gamma }{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\alpha +\beta -\gamma }{4}}\right)}}\right)\end{aligned}}$

wobei $\theta _{s}={\frac {\alpha +\beta +\gamma }{2}}$ , $\theta _{a}=\alpha$ , $\theta _{b}=\beta$ und $\theta _{c}=\gamma$ ist.

Beispiele

Die folgenden Raumwinkel ergeben sich mithilfe der Halbwinkelformeln, der Additionstheoreme für den Tangens und der Gleichungen $2\cdot \arctan(x)=\arctan \left({\frac {2\cdot x}{1-x^{2}}}\right)$ , $\arctan(x)=\arcsin \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)$ und $\arctan(x)=\arccos \left({\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)$ .

Regelmäßiges Tetraeder

Ein regelmäßiges Tetraeder hat 4 Ecken mit jeweils 3 gleichen Innenwinkeln von 60°, denn alle 4 Seitenflächen sind gleichseitige Dreiecke. Es gilt also $\alpha =\beta =\gamma =60^{\circ }$ und

${\begin{aligned}\Omega &=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan \left({\frac {60^{\circ }+60^{\circ }+60^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {-60^{\circ }+60^{\circ }+60^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {60^{\circ }-60^{\circ }+60^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {60^{\circ }+60^{\circ }-60^{\circ }}{4}}\right)}}\right)\\&=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan(45^{\circ })\cdot \tan ^{3}(15^{\circ })}}\right)=4\cdot \arctan \left({\sqrt {1\cdot \left({\frac {\tan(30^{\circ })}{1+{\sqrt {1+\tan ^{2}(30^{\circ })}}}}\right)^{3}}}\right)=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\left({\frac {\tfrac {1}{\sqrt {3}}}{1+{\sqrt {1+\left({\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\right)^{2}}}}}\right)^{3}}}\right)\\&=4\cdot \arctan \left({\sqrt {(2-{\sqrt {3}})^{3}}}\right)=4\cdot \arctan \left({\sqrt {26-15\cdot {\sqrt {3}}}}\right)=2\cdot \arctan \left({\frac {\sqrt {2}}{5}}\right)=\arctan \left({\frac {10\cdot {\sqrt {2}}}{23}}\right)\\&=\arcsin \left({\frac {10\cdot {\sqrt {2}}}{27}}\right)=\arccos \left({\frac {23}{27}}\right)\\&\approx 0{,}551285598\ \mathrm {sr} \end{aligned}}$

Quadratische Pyramide

Eine gerade quadratische Pyramide, die ein Quadrat und vier gleichseitige Dreiecke als Seitenflächen hat, besitzt an der quadratischen Grundfläche 4 Ecken mit den Innenwinkeln $\alpha =60^{\circ }$ , $\beta =60^{\circ }$ , $\gamma =90^{\circ }$ . Für den Raumwinkel in diesen 4 Ecken gilt

${\begin{aligned}\Omega &=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan \left({\frac {60^{\circ }+60^{\circ }+90^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {-60^{\circ }+60^{\circ }+90^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {60^{\circ }-60^{\circ }+90^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {60^{\circ }+60^{\circ }-90^{\circ }}{4}}\right)}}\right)\\&=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan(52{,}5^{\circ })\cdot \tan(7{,}5^{\circ })\cdot \tan ^{2}(22{,}5^{\circ })}}\right)=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan(30^{\circ }+22{,}5^{\circ })\cdot \tan(30^{\circ }-22{,}5^{\circ })\cdot \tan ^{2}(22{,}5^{\circ })}}\right)\\&=4\cdot \arctan \left({\sqrt {{\frac {\tan ^{2}(30^{\circ })-\tan ^{2}(22{,}5^{\circ })}{1-\tan ^{2}(30^{\circ })\cdot \tan ^{2}(22{,}5^{\circ })}}\cdot \tan ^{2}(22{,}5^{\circ })}}\right)=4\cdot \arctan \left({\sqrt {{\frac {\left({\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\right)^{2}-({\sqrt {2}}-1)^{2}}{1-\left({\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\right)^{2}\cdot ({\sqrt {2}}-1)^{2}}}\cdot ({\sqrt {2}}-1)^{2}}}\right)\\&=4\cdot \arctan \left({\sqrt {({\sqrt {2}}-1)^{4}}}\right)=4\cdot \arctan \left(3-2\cdot {\sqrt {2}}\right)=2\cdot \arctan \left({\frac {\sqrt {2}}{4}}\right)=\arctan \left({\frac {4\cdot {\sqrt {2}}}{7}}\right)\\&=\arcsin \left({\frac {4\cdot {\sqrt {2}}}{9}}\right)=\arccos \left({\frac {7}{9}}\right)\\&\approx 0{,}6796738189\ \mathrm {sr} \end{aligned}}$

Oktaeder

Ein Oktaeder besteht aus 2 kongruenten geraden quadratischen Pyramiden, die jeweils ein Quadrat und 4 gleichseitige Dreiecke als Seitenflächen haben. Der Raumwinkel in den 6 Ecken des Oktaeders - und in der Spitze der quadratischen Pyramide - ist daher doppelt so groß wie der Raumwinkel in den anderen 4 Ecken der quadratischen Pyramide und beträgt

${\begin{aligned}\Omega &=2\cdot 4\cdot \arctan \left(3-2\cdot {\sqrt {2}}\right)=4\cdot \arctan \left({\frac {\sqrt {2}}{4}}\right)=2\cdot \arctan \left({\frac {4\cdot {\sqrt {2}}}{7}}\right)=\arctan \left({\frac {56\cdot {\sqrt {2}}}{17}}\right)\\&=\arcsin \left({\frac {56\cdot {\sqrt {2}}}{81}}\right)=\arccos \left({\frac {17}{81}}\right)\\&\approx 1{,}3593476378\ \mathrm {sr} \end{aligned}}$

Prisma

Eine gerades Prisma hat Ecken mit einem beliebigen Innenwinkel $\alpha$ und zwei rechten Winkeln von 90°, denn die Mantelfläche eines geraden Prismas besteht aus Rechtecken. Für den Raumwinkel in den Ecken gilt

${\begin{aligned}\Omega &=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan \left({\frac {\alpha +90^{\circ }+90^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {-\alpha +90^{\circ }+90^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\alpha -90^{\circ }+90^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\alpha +90^{\circ }-90^{\circ }}{4}}\right)}}\right)\\&=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan \left(45^{\circ }+{\frac {\alpha }{4}}\right)\cdot \tan \left(45^{\circ }-{\frac {\alpha }{4}}\right)\cdot \tan ^{2}\left({\frac {\alpha }{4}}\right)}}\right)=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan \left(45^{\circ }+{\frac {\alpha }{4}}\right)\cdot \cot \left(45^{\circ }+{\frac {\alpha }{4}}\right)\cdot \tan ^{2}\left({\frac {\alpha }{4}}\right)}}\right)\\&=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan ^{2}\left({\frac {\alpha }{4}}\right)}}\right)=4\cdot \arctan \left(\tan \left({\frac {\alpha }{4}}\right)\right)=\alpha \end{aligned}}$

Dieser Raumwinkel hat offensichtlich denselben Anteil am vollen Raumwinkel $4\cdot \pi \ \mathrm {sr}$ wie der Innenwinkel $\alpha$ am zweidimensionalen Vollwinkel $2\cdot \pi$ .

Oktaederstumpf

Raumfüllung mit kongruenten Oktaederstümpfen. In jeder Ecke treffen 4 Oktaederstümpfe zusammen und bilden einen vollen Raumwinkel.

Ein Oktaederstumpf hat 24 Ecken, wo jeweils ein Quadrat und zwei regelmäßige Sechsecke zusammentreffen. Jede Ecke hat also die Innenwinkel $\alpha =90^{\circ }$ , $\beta =120^{\circ }$ , $\gamma =120^{\circ }$ und den Raumwinkel

${\begin{aligned}\Omega &=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan \left({\frac {90^{\circ }+120^{\circ }+120^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {-90^{\circ }+120^{\circ }+120^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {90^{\circ }-120^{\circ }+120^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {90^{\circ }+120^{\circ }-120^{\circ }}{4}}\right)}}\right)\\&=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan(82{,}5^{\circ })\cdot \tan(37{,}5^{\circ })\cdot \tan ^{2}(22{,}5^{\circ })}}\right)=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan(60^{\circ }+22{,}5^{\circ })\cdot \tan(60^{\circ }-22{,}5^{\circ })\cdot \tan ^{2}(22{,}5^{\circ })}}\right)\\&=4\cdot \arctan \left({\sqrt {{\frac {\tan ^{2}(60^{\circ })-\tan ^{2}(22{,}5^{\circ })}{1-\tan ^{2}(60^{\circ })\cdot \tan ^{2}(22{,}5^{\circ })}}\cdot \tan ^{2}(22{,}5^{\circ })}}\right)=4\cdot \arctan \left({\sqrt {{\frac {({\sqrt {3}})^{2}-({\sqrt {2}}-1)^{2}}{1-({\sqrt {3}})^{2}\cdot ({\sqrt {2}}-1)^{2}}}\cdot ({\sqrt {2}}-1)^{2}}}\right)\\&=4\cdot \arctan \left(1\right)=\pi \ \mathrm {sr} \end{aligned}}$

Die Raumwinkel in den Ecken des Oktaederstumpfs sind also gleich ${\tfrac {1}{4}}$ des vollen Raumwinkels. Dieses Ergebnis wird dadurch bestätigt, dass sich der dreidimensionale euklidische Raum lückenlos mit kongruenten Oktaederstümpfen ausfüllen lässt, wobei in jeder Ecke 4 Oktaederstümpfe zusammentreffen (siehe Raumfüllung).

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de