Strahl (Geometrie)

Ein Strahl bzw. eine Halbgerade ist in der Geometrie – anschaulich gesprochen – eine gerade Linie, die auf einer Seite begrenzt ist, sich aber auf der anderen Seite ins Unendliche erstreckt.

Eine Halbgerade ist ein geometrisches Objekt, das entsteht, wenn ein Punkt eine Gerade, auf der er liegt, teilt. Dabei ist der Punkt wahlweise Teil der Halbgeraden oder nicht.
Ein Strahl verfügt über eine Orientierung: Er geht von einem Anfangspunkt aus.

Strahlen und Halbgeraden müssen demnach unterschieden werden von Geraden, die beidseitig unbegrenzt sind, und von Strecken, die auf beiden Seiten begrenzt sind.

Geometrische Darstellung

Die in der Skizze verwendete Schreibweise $[AB$ drückt aus, dass es sich um eine Teilmenge der Geraden handelt, die durch den Punkt begrenzt wird, sich aber über den Punkt hinaus erstreckt.

Mit Hilfe der Zwischen-Relation („… liegt zwischen … und …“) lässt sich die Halbgerade $[AB$ definieren als die Menge aller Punkte auf der Geraden , für die nicht zwischen und liegt.

Betrachtet man eine Gerade und einen beliebigen Punkt auf , so lassen sich die beiden dadurch festgelegten Halbgeraden $h_{1}$ und $h_{2}$ charakterisieren als nicht leere Teilmengen von , die folgende Bedingungen erfüllen:

Jeder Punkt auf der Geraden , der nicht mit übereinstimmt, gehört zu genau einer der beiden Teilmengen $h_{1}$ oder $h_{2}$ .
Ist $P_{1}$ ein beliebiger Punkt von $h_{1}$ und $P_{2}$ ein beliebiger Punkt von $h_{2}$ , so liegt zwischen $P_{1}$ und $P_{2}$ .

Damit ist die Halbgerade eng mit dem Begriff Intervall verbunden: Ein Intervall lässt sich als Schnittmenge zweier Halbgeraden definieren.

Analytische Darstellung

In der analytischen Geometrie entspricht die Halbgerade $[AB$ der Menge aller Punkte , deren Ortsvektor $\vec{X}$ gegeben ist durch

$\vec{X} = \vec{A} + \lambda (\vec{B} - \vec{A})$ mit $\lambda \ge 0$ .

Dabei sind ${\vec {A}}$ und ${\vec {B}}$ die Ortsvektoren der Endpunkte und . $\lambda$ ist der (reelle) Parameter dieser Parametergleichung.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de