Oktaedergruppe
In der Mathematik ist die Oktaedergruppe je nach Konvention
- die Symmetriegruppe eines Oktaeders, also die Menge der Abbildungen, die einen Oktaeder wieder auf sich selbst, d.h. Ecken auf Ecken, Kanten auf Kanten usw., abbilden, oder
- die Drehgruppe eines Oktaeders, eine Untergruppe der Symmetriegruppe, bei der Spiegelungen und Drehspiegelungen nicht zugelassen sind.
Die volle Symmetriegruppe ist das direkte Produkt der Drehgruppe mit der zweielementigen Gruppe, die von der Punktspiegelung am Mittelpunkt erzeugt wird. Im zweiten Fall wird sie zur Unterscheidung vollständige, binäre oder erweiterte Oktaedergruppe genannt (nach Felix Klein).
Gemeinsam sind beiden Gruppen die folgenden Abbildungen als Elemente:
- je eine 90°-, 180°- und 270°-Drehung um die 3 vierzähligen Drehachsen (durch gegenüberliegende Ecken),
- je eine 120°- und 240°-Drehung um die 4 dreizähligen Drehachsen (durch gegenüberliegende Flächenmittelpunkte),
- je eine 180°-Drehung um die 6 zweizähligen Drehachsen (durch gegenüberliegende Kantenmittelpunkte) und
- die Identität.
Daraus ergeben sich 
Elemente der Drehgruppe, kombiniert mit der Punktspiegelung ergeben sich 
Elemente der Symmetriegruppe.
Die Drehgruppen für Oktaeder und Würfel
sind isomorph,
da duale
Körper den gleichen Symmetrietyp besitzen. Daher kann man die
Oktaedergruppe genauso gut auch Würfelgruppe nennen. Diese beiden
Drehgruppen sind isomorph zur symmetrischen
Gruppe 
,
nämlich zur Gruppe der 
Permutationen der 4 dreizähligen Drehachsen. Beim Würfel sind das die
Raumdiagonalen und beim Oktaeder die Verbindungslinien gegenüberliegender
Flächenmittelpunkte.
In der Kristallographie
bezeichnet man die Drehgruppe des Oktaeders mit 
und die vollständige Symmetriegruppe mit 
.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 08.06. 2021