Gruppenisomorphismus

Ein Gruppenisomorphismus ist ein mathematisches Objekt aus der Algebra, das insbesondere in der Gruppentheorie betrachtet wird. Analog zu anderen Definitionen von Isomorphismen wird der Gruppenisomorphismus als ein bijektiver Gruppenhomomorphismus definiert. Ein Gruppenisomorphismus, der eine Gruppe auf sich selbst abbildet, ist ein Gruppenautomorphismus.

Anwendungen finden Gruppenisomorphismen zum Beispiel in den Isomorphiesätzen.

Definition

Seien \left(G,\circ \right) und \left(H,\star \right) zwei Gruppen. Ein Gruppenhomomorphismus f\colon G\to H heißt Gruppenisomorphismus, falls f eine inverse Abbildung besitzt, das heißt, falls es einen Gruppenhomomorphismus g\colon H\to G mit f\circ g=\operatorname {id}_{H} und g\circ f=\operatorname {id}_{G} gibt. Äquivalent hierzu ist die Forderung, dass der Gruppenhomomorphismus f bijektiv ist.

Bildet der Gruppenisomorphismus von \left(G,\circ \right) nach \left(G,\circ \right) ab, sind also Definitionsbereich und Bildmenge gleich, so nennt man den Gruppenisomorphismus auch Gruppenautomorphismus.

Eigenschaften

{\displaystyle \operatorname {Ker} \left(f\right)=\left\{e_{G}\right\}}
{\displaystyle \operatorname {im} \left(f\right)=H}

Isomorphie von Gruppen

Gruppen, zwischen denen ein solcher Gruppenisomorphismus existiert, nennt man isomorph zueinander: sie unterscheiden sich nur in der Bezeichnung ihrer Elemente und stimmen für fast alle Zwecke überein.

Es lässt sich leicht zeigen, dass die Isomorphie von Gruppen eine Äquivalenzrelation bildet.

Beispiele

Siehe auch

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 04.10. 2018