disjunkt

Zwei disjunkte Mengen

In der Mengenlehre heißen zwei Mengen und disjunkt (lateinisch disjunctus (-a, -um) ‚getrennt‘), elementfremd oder durchschnittsfremd, wenn sie kein gemeinsames Element besitzen. Mehrere Mengen heißen paarweise disjunkt, wenn beliebige zwei von ihnen disjunkt sind.

Definitionen

Ein disjunktes Mengensystem

Zwei Mengen und sind disjunkt, wenn ihre Schnittmenge leer ist, wenn also gilt:

$A\cap B=\emptyset$ .

Eine Familie von Mengen $(M_{i})_{{i\in I}}$ ist eine disjunkte Mengenfamilie, wenn ihre Elemente paarweise disjunkt sind, wenn also gilt:

$M_{i}\cap M_{j}=\emptyset$ für $i\neq j$ und $i,j\in I$ .

Die Vereinigung einer disjunkten Mengenfamilie nennt man disjunkte Vereinigung und schreibt sie als

$M={\dot {\bigcup _{{i\in I}}}}M_{i}$ .

Sind außerdem alle Mengen der Familie nichtleer, liegt eine Partition von vor.

Die Begriffe werden auch analog für Mengensysteme (anstelle von Mengenfamilien) verwendet.

Beispiele

Die Mengen $A=\{1,2,3\}$ und $B=\{7,8,11\}$ sind disjunkt, weil sie kein gemeinsames Element haben.
Die Mengen $A=\{1,2,7\}$ und $B=\{6,7,8,11\}$ sind nicht disjunkt, da sie das Element gemeinsam haben.
Die drei Mengen $A=\{1,2,3\}$ , $B=\{4,5\}$ und $C=\{5,6,7\}$ sind nicht paarweise disjunkt, da zumindest eine der drei möglichen Schnittmengen (nämlich $B\cap C$ ) nicht leer ist.
Die folgende Aufzählung definierte eine (unendliche) disjunkte Mengenfamilie, die eine Partition der ganzen Zahlen darstellt: $\{0\},\{1,-1\},\{2,-2\},\{3,-3\},\{4,-4\},\ldots$ .
Zwei verschiedene Geraden und in der euklidischen Ebene sind genau dann disjunkt, wenn sie parallel sind. Die Gesamtheit aller Parallelen zu einer gegebenen Geraden bildet eine Partition der Ebene.

Weitere Beispiele:

Die Menge mit der Spielkarte und dem Buch ist disjunkt zur Menge mit der Gitarre und der Trommel.
ein paarweise disjunktes Mengensystem
ein nicht paarweise disjunktes Mengensystem

Anwendung

Bei der Fragebogenkonstruktion müssen Fragen so formuliert werden, dass die Antwortmöglichkeiten (Begriffsbeziehungen) disjunkt und erschöpfend sind.

Beispiel für nicht-disjunkte Antwortmöglichkeiten: Wie viel verdienen Sie?

0 bis 1000 Euro
500 und mehr Euro.

Personen mit einem Verdienst zwischen 500 und 1000 Euro wissen nicht, welche Antwortmöglichkeit sie wählen sollen.

Eigenschaften

Die leere Menge $\emptyset$ ist disjunkt zu jeder beliebigen Menge.
$\{a\}$ und sind genau dann disjunkt, wenn $a\notin B$ .
Die Mächtigkeit einer endlichen disjunkten Vereinigung endlicher Mengen ist gleich der Summe der Einzelmächtigkeiten. Für nicht-disjunkte Vereinigungen gilt die Siebformel.
Einelementige Mengensysteme sind immer paarweise disjunkt.
Das leere Mengensystem ist paarweise disjunkt

Siehe auch

Lineare Disjunktheit, ein Begriff der abstrakten Algebra im Zusammenhang mit Körpererweiterungen, der mit der hier betrachteten Disjunktheit nur gemeinsam hat, dass die Schnittmenge linear disjunkter Körper kleinstmöglich ist.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de