Punktgruppe

Eine Punktgruppe ist ein spezieller Typus einer Symmetriegruppe der euklidischen Geometrie, der die Symmetrie eines endlichen Körpers beschreibt. Alle Punktgruppen zeichnen sich dadurch aus, dass es einen Punkt gibt, der durch alle Symmetrieoperationen der Punktgruppe wieder auf sich selbst abgebildet wird. Aufgrund des Neumannschen Prinzips bestimmt die Punktgruppe die makroskopischen Eigenschaften des Körpers. Weitere Aussagen lassen sich mit Hilfe der Darstellungstheorie gewinnen.

Verwendet werden die Punktgruppen in der Molekülphysik und der Kristallographie, wo die 32 kristallographischen Punktgruppen auch Kristallklassen genannt werden. Bezeichnet werden die Punktgruppen in der Schoenflies-Notation. In der Kristallographie wird inzwischen hauptsächlich die Hermann-Mauguin-Symbolik verwendet.

Mathematische Grundlagen

Die Symmetrie eines Körpers wird mathematisch als Menge aller möglichen Symmetrieoperationen beschrieben (Symmetriegruppe). Mit Symmetrieoperationen sind dabei euklidische Bewegungen gemeint, die den Körper auf sich abbilden. Zu unterscheiden sind dabei gerade Bewegungen, welche die Orientierung erhalten und ungerade, welche die Orientierung umkehren, z.B. Spiegelungen an Ebenen.

Mögliche Symmetrieoperationen in Punktgruppen im dreidimensionalen, euklidischen Vektorraum sind die Symmetrieoperationen, die mindestens einen Fixpunkt besitzen: Identitätsabbildung, Punktspiegelung an einem Inversionszentrum, Spiegelung an einer Spiegelebene, Drehung um eine Drehachse, sowie als Kombination daraus Drehspiegelung bzw. die gleichwertige Drehinversion. Die Translation, die Schraubung und die Gleitspiegelung können keine Elemente einer Punktgruppe sein, da sie keinen Fixpunkt besitzen.

Wenn man das Hintereinanderausführen von Symmetrieoperationen als additive Verknüpfung auffasst, erkennt man, dass eine Menge von Symmetrieoperationen eine (in der Regel nicht kommutative) Gruppe ist.

Es gibt sowohl diskrete als auch kontinuierliche Punktgruppen. Die diskreten Punktgruppen kann man wieder in zwei unterschiedliche Arten einteilen:

Punktgruppen mit maximal einer Drehachse mit einer Zähligkeit größer zwei,
Punktgruppen mit mindestens zwei Drehachsen mit einer Zähligkeit größer zwei.

Die diskreten Punktgruppen mit maximal einer ausgezeichneten -zähligen Drehachse können zusätzlich mit Spiegelebenen und zweizähligen Drehachsen kombiniert sein. Insgesamt gibt es folgende Möglichkeiten:

Gruppe	Gruppensymbol (Schönflies)	Erläuterung
Drehgruppe	C_n	Eine n-zählige Drehachse
	C_nv	1 C_n-Achse + n Spiegelebenen, die diese Achse enthalten (v: vertikale Spiegelebene)
	C_nh	1 C_n-Achse + 1 Spiegelebene senkrecht zu dieser Achse (h: horizontale Spiegelebene)
Diedergruppe	D_n	1 C_n-Achse + n C₂-Achsen senkrecht dazu
	D_nd	1 D_n-Achse + n Spiegelebenen, die die D_n-Achse und eine Winkelhalbierende der C₂-Achsen enthalten (d: diagonale Spiegelebene)
	D_nh	1 D_n-Achse + 1 Spiegelebene senkrecht dazu
Drehspiegelgruppe	S_n	1 n-zählige Drehspiegelachse

Für einzelne Gruppen gibt es spezielle Bezeichnungen:

$C_{S}\equiv C_{1v}\equiv C_{1h}\equiv S_{1}$ ( Spiegelung)
$C_{i}\equiv S_{2}$ ( $i=$ Inversion, d. h. Punktspiegelung)

Die Punktgruppen, die mindestens zwei Drehachsen mit einer Zähligkeit größer zwei besitzen, entsprechen den Symmetriegruppen der platonischen Körper.

Die Tetraedergruppen: $T,T_{d},T_{h}$ . Dabei entspricht der vollen Symmetrie eines Tetraeders.

Die Oktaedergruppen: $O,O_{h}$ . Dabei entspricht der vollen Symmetrie eines Oktaeders beziehungsweise Hexaeders.

Die Ikosaedergruppen: $I,I_{h}$ . Dabei entspricht $I_{h}$ der vollen Symmetrie eines Ikosaeders beziehungsweise Dodekaeders.

Die kontinuierlichen Punktgruppen werden auch Curie-Gruppen genannt. Sie bestehen aus den Zylindergruppen (mit einer unendlichzähligen Drehachse) und den Kugelgruppen (mit zwei unendlichzähligen Drehachsen).

Punktgruppen in der Kristallographie

Die vollständige mögliche Symmetrie einer Kristallstruktur wird mit den 230 kristallographischen Raumgruppen beschrieben. Zusätzlich zu den Symmetrieoperationen der Punktgruppen kommen hier auch Translationen in Form von Schraubungen und Gleitspiegelungen als Symmetrieoperationen vor. Zur Beschreibung der Symmetrie eines makroskopischen Einkristalls genügen dagegen die Punktgruppen, da es sich bei Kristallen stets um konvexe Polyeder handelt und mögliche interne Translationen in der Struktur makroskopisch nicht erkennbar sind.

Streicht man in einer Raumgruppe alle Translationen und ersetzt zusätzlich die Schraubenachsen und Gleitspiegelebenen durch entsprechende Drehachsen und Spiegelebenen, so erhält man die sogenannte geometrische Kristallklasse oder Punktgruppe des Kristalls. Als Kristallklassen kommen daher nur solche Punktgruppen in Frage, deren Symmetrie mit einem unendlich ausgedehnten Gitter vereinbar ist. In einem Kristall sind nur 6-, 4-, 3-, 2-zählige Drehachsen möglich (Drehungen um 60, 90, 120 bzw. 180 und jeweils Vielfache davon). Die dreidimensionalen Punktgruppen, in denen keine oder ausschließlich 2-, 3-, 4- und/oder 6- zählige Drehachsen vorkommen bezeichnet man daher als kristallographische Punktgruppen. Insgesamt gibt es 32 kristallographische Punktgruppen, die auch als Kristallklassen bezeichnet werden.

Die 32 kristallographischen Punktgruppen (Kristallklassen)

Punktgruppe (Kristallklasse)								Physikalische Eigenschaften^{[Anm. 1]}				Beispiele
Nr.	Kristallsystem	Name	Schoenflies-Symbol	Internationales Symbol (Hermann-Mauguin)		Laueklasse	Zugehörige Raumgruppen (Nr.)	Enantiomorphie	Optische Aktivität	Pyroelektrizität	Piezoelektrizität; SHG-Effekt
Nr.	Kristallsystem	Name	Schoenflies-Symbol	Voll	Kurz	Laueklasse	Zugehörige Raumgruppen (Nr.)	Enantiomorphie	Optische Aktivität	Pyroelektrizität	Piezoelektrizität; SHG-Effekt
1	triklin	triklin-pedial	C₁	1	1	1	1	+	+	+ [uvw]	+	Abelsonit Axinit
2	triklin	triklin-pinakoidal	C_i (S₂)	1	1	1	2	–	–	–	–	Albit Anorthit
3	monoklin	monoklin-sphenoidisch	C₂	121 (bzw. 112)	2	2/m	3–5	+	+	+ [010] (bzw. [001])	+	Uranophan Halotrichit
4		monoklin-domatisch	C_s (C_1h)	1m1 (bzw. 11m)	m		6–9	–	+	+ [u0w] (bzw. [uv0])	+	Soda Skolezit
5		monoklin-prismatisch	C_2h	12/m1 (bzw. 112/m)	2/m		10–15	–	–	–	–	Gips Kryolith
6	orthorhombisch	orthorhombisch-disphenoidisch	D₂ (V)	222	222	mmm	16–24	+	+	–	+	Austinit Epsomit
7		orthorhombisch-pyramidal	C_2v	mm2	mm2		25–46	–	+	+ [001]	+	Hemimorphit Struvit
8		orthorhombisch-dipyramidal	D_2h (V_h)	2/m2/m2/m	mmm		47–74	–	–	–	–	Topas Anhydrit
9	tetragonal	tetragonal-pyramidal	C₄	4	4	4/m	75–80	+	+	+ [001]	+	Pinnoit Percleveit (Ce)
10		tetragonal-disphenoidisch	S₄	4	4		81–82	–	+	–	+	Schreibersit Cahnit
11		tetragonal-dipyramidal	C_4h	4/m	4/m		83–88	–	–	–	–	Scheelit Baotit
12		tetragonal-trapezoedrisch	D₄	422	422	4/mmm	89–98	+	+	–	+	Cristobalit Maucherit
13		ditetragonal-pyramidal	C_4v	4mm	4mm		99–110	–	–	+ [001]	+	Lenait Diaboleit
14		tetragonal-skalenoedrisch	D_2d (V_d)	42m bzw. 4m2	42m		111–122	–	+	–	+	Chalkopyrit Stannit
15		ditetragonal-dipyramidal	D_4h	4/m2/m2/m	4/mmm		123–142	–	–	–	–	Rutil Zirkon
16	trigonal	trigonal-pyramidal	C₃	3	3	3	143–146	+	+	+ [001]	+	Carlinit Gratonit
17		rhomboedrisch	C_3i (S₆)	3	3	3	147–148	–	–	–	–	Dolomit Dioptas
18		trigonal-trapezoedrisch	D₃	321 bzw. 312	32	3m	149–155	+	+	–	+	Quarz Tellur
19		ditrigonal-pyramidal	C_3v	3m1 bzw. 31m	3m		156–161	–	–	+ [001]	+	Turmalin Pyrargyrit
20		ditrigonal-skalenoedrisch	D_3d	32/m1 bzw. 312/m	3m		162–167	–	–	–	–	Calcit Korund
21	hexagonal	hexagonal-pyramidal	C₆	6	6	6/m	168–173	+	+	+ [001]	+	Nephelin Zinkenit
22		trigonal-dipyramidal	C_3h	6	6		174	–	–	–	+	Penfieldit Laurelit
23		hexagonal-dipyramidal	C_6h	6/m	6/m		175–176	–	–	–	–	Apatit Zemannit
24		hexagonal-trapezoedrisch	D₆	622	622	6/mmm	177–182	+	+	–	+	Hochquarz Pseudorutil
25		dihexagonal-pyramidal	C_6v	6mm	6mm		183–186	–	–	+ [001]	+	Wurtzit Zinkit
26		ditrigonal-dipyramidal	D_3h	6m2 bzw. 62m	6m2		187–190	–	–	–	+	Bastnäsit Benitoit
27		dihexagonal-dipyramidal	D_6h	6/m2/m2/m	6/mmm		191–194	–	–	–	–	Graphit Magnesium
28	kubisch	tetraedrisch-pentagondodekaedrisch	T	23	23	m3	195–199	+	+	–	+	Ullmannit Natriumbromat
29		disdodekaedrisch	T_h	2/m3	m3	m3	200–206	–	–	–	–	Pyrit Kalialaun
30		pentagon-ikositetraedrisch	O	432	432	m3m	207–214	+	+	–	–	Maghemit Petzit
31		hexakistetraedrisch	T_d	43m	43m		215–220	–	–	–	+	Sphalerit Sodalith
32		hexakisoktaedrisch	O_h	4/m32/m	m3m		221–230	–	–	–	–	Diamant Kupfer
↑ Bei den Angaben zu den physikalischen Eigenschaften bedeutet „−“ aufgrund der Symmetrie verboten und „+“ erlaubt. Über die Größenordnung der optischen Aktivität, Pyro- und Piezoelektrizität sowie des SHG-Effekts kann rein aufgrund der Symmetrie keine Aussage getroffen werden. Man kann aber davon ausgehen, dass stets eine zumindest schwache Ausprägung der Eigenschaft vorhanden ist. Für die Pyroelektrizität ist, sofern vorhanden, auch die Richtung des pyroelektrischen Vektors angegeben.

Anmerkungen

Der Zusammenhang zwischen der Raum- und der Punktgruppe eines Kristalls ergibt sich folgendermaßen: Die Menge aller Translationen einer Raumgruppe bilden einen Normalteiler von . Die Punktgruppe des Kristalls ist diejenige Punktgruppe, die zur Faktorgruppe $R/T$ isomorph ist. Die Punktgruppe beschreibt die Symmetrie eines Kristalls am Gamma-Punkt, das heißt seine makroskopischen Eigenschaften. An anderen Stellen der Brillouinzone wird die Symmetrie des Kristalls durch die Sterngruppe des entsprechenden Wellenvektors beschrieben. Diese sind für Raumgruppen, die zur selben Punktgruppe gehören, in der Regel verschieden.

Das „Verbot“ von 5-, 7- und höherzähligen Drehachsen gilt nur für dreidimensional-periodische Kristalle. Derartige Drehachsen kommen sowohl bei Molekülen, als auch in Festkörpern in den Quasikristallen vor. Bis zur Entdeckung der Quasikristalle und der darauf folgenden Neudefinition des Begriffs Kristall wurde das Verbot für Kristalle als universell gültig angenommen.

Das Beugungsbild von Kristallen bei Strukturanalysen mithilfe der Röntgenbeugung enthält gemäß dem Friedelschen Gesetz in Abwesenheit anomaler Streuung immer ein Inversionszentrum. Daher können Kristalle aus den Beugungsdaten nicht direkt einer der 32 Kristallklassen zugeordnet werden, sondern nur einer der 11 zentrosymmetrischen kristallographischen Punktgruppen, die auch als Lauegruppen bezeichnet werden. Durch die Identifikation der Lauegruppe ist auch die Zugehörigkeit des Kristalls zu einem der sieben Kristallsysteme geklärt.

Punktgruppen in der Molekülphysik

Punktgruppen und Molekülsymmetrie
Schoenflies	Hermann-Maugin	Symmetrieelemente	Molekülbeispiele
Punktgruppen geringer Symmetrie
C₁	$1\$	I/E = C₁	CHFClBr
C_s ≡ S₁	$m\$	σ ≡ S₁	BFClBr, SOBrCl
C_i ≡ S₂	${\bar {1}}$	i ≡ S₂	1,2-Dibrom-1,2-Dichlorethan, meso-Weinsäure
ebene Drehgruppen SO(2)
C₂	$2\$	C₂	H₂O₂, S₂Cl₂
C₃	$3\$	C₃	Triphenylmethan, N(GeH₃)₃
C₄	$4\$	C₄
C₅	$5\$	C₅	15-Krone-5
C₆	$6\$	C₆	α-Cyclodextrin
Drehgruppen mit vertikalen Spiegelebenen
C_2v ≡ D_1h	$2mm\$	C₂, 2σ_v	H₂O, SO₂Cl₂, o-/m-Dichlorbenzol
C_3v	$3m\$	C₃, 3σ_v	NH₃, CHCl₃, CH₃Cl, POCl₃
C_4v	$4mm\$	C₄, 4σ_v	SF₅Cl, XeOF₄
C_5v	-	C₅, 5σ_v	Corannulen, C₅H₅In
C_6v	$6mm\$	C₆, 6σ_v	Benzol-hexamethylbenzol-chrom(0)
C_∞v	-	C_∞, ∞σ_v	lineare Moleküle wie HCN, COS
Drehgruppen mit horizontalen Spiegelebenen
C_2h ≡ D_1d ≡ S_2v	$2/m\$	C₂, σ_h, i	Oxalsäure, trans-Buten
C_3h ≡ S₃	$3/m\$	C₃, σ_h	Borsäure
C_4h	$4/m\$	C₄, σ_h, i	Polycycloalkan C₁₂H₂₀
C_6h	$6/m\$	C₆, σ_h, i	Hexa-2-propenyl-benzol
Drehspiegelgruppen
S₄	${\bar {4}}$	S₄	12-Krone-4, Tetraphenylmethan, Si(OCH₃)₄
S₆ ≡ C_3i	${\bar {3}}$	S₆	18-Krone-6, Hexacyclopropylethan
Diedergruppen
D₂ ≡ S_1v	$222\$	3C₂	Twistan
D₃	$32\$	C₃, 3C₂	Tris-chelatkomplexe
D₄	$422\$	C₄, 4C₂	-
D₆	$622\$	C₆, 6C₂	Hexaphenylbenzol
Diedergruppen mit horizontalen Spiegelebenen
D_2h	$mmm\$	S₂, 3C₂, 2σ_v, σ_h, i	Ethen, p-Dichlorbenzol
D_3h	${\bar {6}}2m$	S₃, C₃, 3C₂, 3σ_v, σ_h	BF₃, PCl₅
D_4h	$4/mmm\$	S₄, C₄, 4C₂, 4σ_v, σ_h, i	XeF₄
D_5h	-	S₅, C₅, 5C₂, 5σ_v, σ_h	IF₇
D_6h	$6/mmm\$	S₆, C₆, 6C₂, 6σ_v, σ_h, i	Benzol
D_∞h	-	S₂, C_∞, ∞C_2, ∞σ_{v, σh, i}	lineare Moleküle wie Kohlendioxid, Ethin
Diedergruppen mit diagonalen Spiegelebenen
D_2d ≡ S_4v	${\bar {4}}2m\$	S₄, 2C₂, 2σ_d	Propadien, Cyclooctatetraen, B₂Cl₄
D_3d ≡ S_6v	${\bar {3}}m\$	S₆, C₃, 3C₂, 3σ_d, i	Cyclohexan
D_4d ≡ S_8v	-	S₈, C₄, 4C₂, 4σ_d	Cyclo-Schwefel (S₈)
D_5d ≡ S_10v	-	S₁₀, C₅, 5C₂, 5σ_d	Ferrocen
Tetraedergruppen
T	$23\$	4C₃, 3C₂	Pt(PF₃)₄
T_h		4S₆, 4C₃, 3C₂, 3σ_h, i	Fe(C₆H₅)₆
T_d	${\bar {4}}3m$	3S₄, 4C₃, 3C₂, 6σ_d	CH₄, P₄, Adamantan
Oktaedergruppen
O	$432\$	3C₄, 4C₃, 6C₂	-
O_h	$m3m\$	4S₆, 3S₄, 3C₄, 4C₃, 6C₂, 3σ_h, 6σ_d, i	SF₆, Cuban
Ikosaedergruppen
I	-	12S₁₀, 10S₆, 6C₅, 10C₃, 15C₂	-
I_h	-	12S₁₀, 10S₆, 6C₅, 10C₃, 15C₂, 15σ_v, i	Fulleren-C60, Fulleren-C20 (Pentagondodekaeder)
räumliche Drehgruppen SO(3)
K_h	-	∞C_∞, ∞σ, i	einatomige Teilchen wie Helium, Elementarteilchen

Anwendungen

Die Eigenschaften eines Kristalls hängen im Allgemeinen von der Richtung ab. Daher werden alle Materialeigenschaften durch einen entsprechenden Tensor beschrieben. Es gibt einen festen Zusammenhang zwischen der Punktgruppe eines Kristalls und der Form des jeweiligen Eigenschaftstensors beziehungsweise der Anzahl seiner unabhängigen Komponenten. Dazu zwei Beispiele:

In Punktgruppen mit einem Inversionszentrum sind alle Komponenten eines ungeraden Tensors identisch Null. Daher gibt es in diesen Punktgruppen keinen Pyroeffekt, keinen Piezoeffekt und auch keine optische Aktivität.

Die elastischen Konstanten sind ein Tensor 4. Stufe. Dieser hat im Allgemeinen 3⁴ = 81 Komponenten. Im kubischen Kristallsystem gibt es aber nur drei unabhängige, von Null verschiedene Komponenten: C₁₁₁₁ (=C₂₂₂₂=C₃₃₃₃), C₁₁₂₂ (= C₂₂₃₃ = C₁₁₃₃) und C₁₂₁₂ (= C₁₃₁₃=C₂₃₂₃). Alle andere Komponenten sind Null.

In der Molekül- und Festkörperphysik kann man aus der Symmetrie des Moleküls beziehungsweise Kristalls die Anzahl der infrarot- und ramanaktiven Moden und deren Auslenkungsmuster bestimmen. Eine Zuordnung der gemessenen Frequenzen zu den jeweiligen Moden ist mit gruppentheoretischen Methoden nicht möglich. Kann man diese Zuordnung durchführen, so kann man aus den Frequenzen die Bindungsenergien zwischen den Atomen berechnen.

Literatur

Wolfgang Demtröder: Molekülphysik. Oldenbourg, München 2003, ISBN 3-486-24974-6.
Will Kleber, Hans-Joachim Bautsch, Joachim Bohm, Detlef Klimm: Einführung in die Kristallographie. 19. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 2010, ISBN 978-3-486-59075-3.
Hollas, J. Michael: Die Symmetrie von Molekülen, Walter de Gruyter, Berlin 1975, ISBN 3-11-004637-7

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de