Proca-Gleichung
Die Proca-Gleichung ist eine grundlegende Gleichung der relativistischen Quantenmechanik. Sie beschreibt die Eigenschaften und das Verhalten eines fundamentalen Bosons mit Spin 1 und Masse, wie dem W-Boson und dem Z-Boson. Sie wurde von dem rumänischen Physiker Alexandru Proca entdeckt. Sie gehört zum Standardmodell der Elementarteilchenphysik.
Im Folgenden wird die (+−−−) Signatur des metrischen Tensors verwendet.
Lagrange-Dichte
Das zu beschreibende Feld ist im Allgemeinen eine komplexe Wellenfunktion:
mit
- einem verallgemeinerten elektrischen
Potential
- der Lichtgeschwindigkeit
- einem verallgemeinerten magnetischen
Potential
.
Die vier Wellenfunktionen
transformieren sich bei einer Lorentz-Transformation
der Koordinaten wie ein Vierervektor.
Soll ein Feld mit Ladung beschrieben werden, sind die vier Feldfunktionen
im Allgemeinen vier komplexwertige Funktionen. Soll ein Feld ohne elektrische
Ladung beschrieben werden, sind die vier Feldfunktionen
vier reelle Funktionen.
Wie bei der Theorie des Elektromagnetismus ist es auch bei der Proca-Gleichung sinnvoll, einen Feldstärketensor einzuführen gemäß:
Damit lautet die Lagrange-Dichte des Feldes:
mit
- dem reduzierten
planckschen Wirkungsquantum
- dem Vierergradient
- der komplexen
Konjugation
.
Die Lagrange-Dichte der Proca-Gleichung (auch Proca-Wirkung) kann mit Hilfe des Higgs-Mechanismus und einer speziellen Wahl der Eichung als Spezialfall der Stückelberg-Wirkung verstanden werden.
Darstellungen
Mit Hilfe der Euler-Lagrange-Gleichungen lässt sich aus obiger Lagrange-Dichte die eigentliche Proca-Gleichung herleiten:
Im Fall
reduziert sich diese Gleichung für das ungeladene Feld auf die inhomogenen Maxwell-Gleichungen
ohne Ladungsstrom.
Im Fall
schreibt sich die Proca-Gleichung mit den Bezeichnungen aus der Vektoranalysis auch als:
und
mit
- dem D’Alembert-Operator
- dem Nablaoperator
.
Die Proca-Gleichung steht in enger Beziehung zur Klein-Gordon-Gleichung. Sie ist ebenfalls eine Gleichung zweiter Ordnung in der Minkowski-Raumzeit.
In einer etwas anderen und weniger gebräuchlichen Form wurde die Proca-Gleichung 1939 von Nicholas Kemmer eingeführt, weshalb auch die Bezeichnungen Kemmer-Gleichung und Proca-Kremmer-Gleichung in der Literatur vorkommen. Sie ähneln formal der Dirac-Gleichung, verwenden aber einen zehndimensionalen Spinor und entsprechende 10×10-Matrizen.
Kopplung an das elektromagnetische Feld
Da die elektrische Ladung des negativ geladenen W-Bosons, so wie beim Elektron
gleich der Elementarladung
ist, kann man auf die Feldgleichungen die minimale
Kopplung anwenden, um die Feldgleichungen für das
abzuleiten. So wie bei der Klein-Gordon-Gleichung erhält man die minimale
Kopplung über die Verwendung der kovarianten
Ableitung
.
Das so festgelegte Proca-Feld transformiert sich bei einer Eichtransformation
des elektromagnetischen Feldes gemäß
Dabei ist
eine frei wählbare Funktion
gleich der Elementarladung
Die komplexe Konjugation der Feldgleichungen ändert bei der kovarianten
Ableitung das Vorzeichen der Ladung. Man erhält über die komplexe Konjugation
der Feldgleichung also die Gleichungen für das zugehörige Antiteilchen, also dem
.
Dies zeigt auch, dass die komplexe Konjugation des Proca-Feldes
der Ladungskonjugation
entspricht.
Wechselwirkung mit fermionischen Feldern
Analog zum Elektromagnetismus kann man obige Feldgleichungen durch
felderzeugende, fermionische Ströme ,
bzw. Axialvektorströme
erweitern. Diese Ströme können sich auch aus den Wellenfunktionen von zwei
unterschiedlichen fermionischen Teilchen, wie z.B. Elektron und Neutrino
zusammensetzen, da zur Erzeugung eines Spin-1-Teilchens aufgrund der Drehimpulserhaltung
mindestens zwei Spin-1/2-Teilchen erforderlich sind. Dies soll durch die beiden
Indizes a und b angezeigt werden. Beispiele für fermionische Ströme befinden
sich in der V-A-Theorie
und der Theorie zur
schwachen Wechselwirkung.
Da zwei Spin-1/2-Teilchen aufgrund der Drehimpulserhaltung auch zu einem Spin-0-Zustand koppeln können, ergibt sich hier ein Hinweis auf ein weiteres mögliches Feld, das in der Theorie zur elektroschwachen Wechselwirkung dann Higgs-Feld genannt wird.
Zusätzlich muss berücksichtigt werden, ob das zu beschreibende
Spin-1-Teilchen eine Ladung besitzt oder nicht, denn ein geladenes Teilchen wird
im Gegensatz zu einem ungeladenen Teilchen vom elektromagnetischen Feld
beeinflusst. Dies wird durch Verwendung der oben angegebenen kovarianten
Ableitung
berücksichtigt.
Soll untersucht werden, wie durch geladene fermionische Ströme ein geladenes Proca-Feld erzeugt wird, so kann die folgende Gleichung verwendet werden
,
wobei hier auch im Feldstärketensor anstelle der partiellen Ableitung die
kovariante Ableitung einzusetzen ist. Die Konstante
bestimmt dabei die Stärke der Kopplung zwischen dem geladenen Strom und dem Feld
eines massiven W-Bosons.
Die Lagrange-Dichte dieser Feldgleichung lautet
wobei hier im Feldstärketensor anstelle der partiellen Ableitung ebenfalls die kovariante Ableitung einzusetzen ist.
Obwohl sich das ungeladene Z-Boson in der Masse und der elektrischen Ladung vom W-Boson unterscheidet, kann eine ähnliche Gleichung auch für das Z-Boson aufgestellt werden:
.
Die Kopplung an ein äußeres elektromagnetisches Feld entfällt in diesem Fall aufgrund der fehlenden elektrischen Ladung dieses Teilchens, so dass hier obige kovariante Ableitung nicht verwendet werden muss. Die Lagrange-Dichte zur Beschreibung des Feldes des Z-Bosons hat wegen der fehlenden elektrischen Ladung damit deutlich weniger Terme:
im Gegensatz zum Feld des elektrisch geladenen W-Bosons wird das Feld des elektrisch neutralen Z-Bosons durch einen reellen Vierervektor beschrieben.
Zu erwähnen ist noch, dass die so beschriebenen Spin-1-Felder ihrerseits auch die felderzeugenden fermionischen Felder beeinflussen. Deshalb muss auch die Dirac-Gleichung, welche die Bewegung der Fermionen beschreibt, angepasst werden. Die Berücksichtigung aller durchgeführten kernphysikalischen Experimente und grundlegenden theoretischen Arbeiten zur schwachen Kernkraft, führte dabei zu einer Feldtheorie, in der die elektromagnetische und schwache Wechselwirkung zusammengefasst und als elektroschwache Wechselwirkung bezeichnet wird. Diese Theorie wird auch als Standardmodell der Elementarteilchenphysik bezeichnet.
Ältere Modelle zur Beschreibung der schwachen Wechselwirkung sind in diesem Standardmodell enthalten und stimmen für niedrige Teilchenenergien mit diesem überein.
Siehe auch



© biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung: Jena, den: 19.12. 2021