Proca-Gleichung

Die Proca-Gleichung ist eine grundlegende Gleichung der relativistischen Quantenmechanik. Sie beschreibt die Eigenschaften und das Verhalten eines fundamentalen Bosons mit Spin 1 und Masse, wie dem W-Boson und dem Z-Boson. Sie wurde von dem rumänischen Physiker Alexandru Proca entdeckt. Sie gehört zum Standardmodell der Elementarteilchenphysik.

Im Folgenden wird die (+−−−) Signatur des metrischen Tensors verwendet.

Lagrange-Dichte

Das zu beschreibende Feld ist im Allgemeinen eine komplexe Wellenfunktion:

$B^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {B} \right)$

mit

einem verallgemeinerten elektrischen Potential $\phi$
der Lichtgeschwindigkeit
einem verallgemeinerten magnetischen Potential $\mathbf {B}$ .

Die vier Wellenfunktionen $B^{\mu }$ transformieren sich bei einer Lorentz-Transformation der Koordinaten wie ein Vierervektor. Soll ein Feld mit Ladung beschrieben werden, sind die vier Feldfunktionen $B^{\mu }$ im Allgemeinen vier komplexwertige Funktionen. Soll ein Feld ohne elektrische Ladung beschrieben werden, sind die vier Feldfunktionen $B^{\mu }$ vier reelle Funktionen.

Wie bei der Theorie des Elektromagnetismus ist es auch bei der Proca-Gleichung sinnvoll, einen Feldstärketensor einzuführen gemäß:

$G^{\mu \nu }:=\partial ^{\mu }B^{\nu }-\partial ^{\nu }B^{\mu }$

Damit lautet die Lagrange-Dichte des Feldes:

${\begin{alignedat}{2}{\mathcal {L}}&=-{\frac {1}{2}}G_{\mu \nu }^{*}G^{\mu \nu }&&+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}B_{\nu }^{*}B^{\nu }\\&=-{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }B_{\nu }^{*}-\partial _{\nu }B_{\mu }^{*})(\partial ^{\mu }B^{\nu }-\partial ^{\nu }B^{\mu })&&+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}B_{\nu }^{*}B^{\nu }.\end{alignedat}}$

mit

dem reduzierten planckschen Wirkungsquantum $\hbar$
dem Vierergradient $\partial _{\mu }$
der komplexen Konjugation ${}^{*}$ .

Die Lagrange-Dichte der Proca-Gleichung (auch Proca-Wirkung) kann mit Hilfe des Higgs-Mechanismus und einer speziellen Wahl der Eichung als Spezialfall der Stückelberg-Wirkung verstanden werden.

Darstellungen

Mit Hilfe der Euler-Lagrange-Gleichungen lässt sich aus obiger Lagrange-Dichte die eigentliche Proca-Gleichung herleiten:

${\begin{alignedat}{2}\partial _{\mu }(\partial ^{\mu }B^{\nu }-\partial ^{\nu }B^{\mu })+\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}B^{\nu }&=0\\\Leftrightarrow \partial _{\mu }G^{\mu \nu }+\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}B^{\nu }&=0.\end{alignedat}}$

Im Fall m=0 reduziert sich diese Gleichung für das ungeladene Feld auf die inhomogenen Maxwell-Gleichungen ohne Ladungsstrom.

Im Fall $m\neq 0$ schreibt sich die Proca-Gleichung mit den Bezeichnungen aus der Vektoranalysis auch als:

$\Box \phi +\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\phi =0$

$\Box \mathbf {B} +\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\mathbf {B} =0$

und

${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {B} =0$

mit

dem D’Alembert-Operator $\Box$
dem Nablaoperator $\nabla$ .

Die Proca-Gleichung steht in enger Beziehung zur Klein-Gordon-Gleichung. Sie ist ebenfalls eine Gleichung zweiter Ordnung in der Minkowski-Raumzeit.

In einer etwas anderen und weniger gebräuchlichen Form wurde die Proca-Gleichung 1939 von Nicholas Kemmer eingeführt, weshalb auch die Bezeichnungen Kemmer-Gleichung und Proca-Kremmer-Gleichung in der Literatur vorkommen. Sie ähneln formal der Dirac-Gleichung, verwenden aber einen zehndimensionalen Spinor und entsprechende 10×10-Matrizen.

Kopplung an das elektromagnetische Feld

Da die elektrische Ladung des negativ geladenen W-Bosons, so wie beim Elektron gleich der Elementarladung ist, kann man auf die Feldgleichungen die minimale Kopplung anwenden, um die Feldgleichungen für das $W^{-}$ abzuleiten. So wie bei der Klein-Gordon-Gleichung erhält man die minimale Kopplung über die Verwendung der kovarianten Ableitung $D_{\mu }=\partial _{\mu }+{\tfrac {ie}{\hbar c}}A_{\mu }$ . Das so festgelegte Proca-Feld transformiert sich bei einer Eichtransformation des elektromagnetischen Feldes gemäß

$B^{\mu }\rightarrow B^{\mu }e^{{\frac {ie}{\hbar c}}f(x^{\mu })}$

Dabei ist

eine frei wählbare Funktion
gleich der Elementarladung

Die komplexe Konjugation der Feldgleichungen ändert bei der kovarianten Ableitung das Vorzeichen der Ladung. Man erhält über die komplexe Konjugation der Feldgleichung also die Gleichungen für das zugehörige Antiteilchen, also dem $W^{+}$ . Dies zeigt auch, dass die komplexe Konjugation des Proca-Feldes $B^{\mu }\rightarrow B^{*\mu }$ der Ladungskonjugation entspricht.

Wechselwirkung mit fermionischen Feldern

Analog zum Elektromagnetismus kann man obige Feldgleichungen durch felderzeugende, fermionische Ströme $J^{\mu }={\bar {\psi _{a}}}\gamma ^{\mu }\psi _{b}$ , bzw. Axialvektorströme $J_{A}^{\mu }={\bar {\psi _{a}}}\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}\psi _{b}$ erweitern. Diese Ströme können sich auch aus den Wellenfunktionen von zwei unterschiedlichen fermionischen Teilchen, wie z.B. Elektron und Neutrino zusammensetzen, da zur Erzeugung eines Spin-1-Teilchens aufgrund der Drehimpulserhaltung mindestens zwei Spin-1/2-Teilchen erforderlich sind. Dies soll durch die beiden Indizes a und b angezeigt werden. Beispiele für fermionische Ströme befinden sich in der V-A-Theorie und der Theorie zur schwachen Wechselwirkung.

Da zwei Spin-1/2-Teilchen aufgrund der Drehimpulserhaltung auch zu einem Spin-0-Zustand koppeln können, ergibt sich hier ein Hinweis auf ein weiteres mögliches Feld, das in der Theorie zur elektroschwachen Wechselwirkung dann Higgs-Feld genannt wird.

Zusätzlich muss berücksichtigt werden, ob das zu beschreibende Spin-1-Teilchen eine Ladung besitzt oder nicht, denn ein geladenes Teilchen wird im Gegensatz zu einem ungeladenen Teilchen vom elektromagnetischen Feld beeinflusst. Dies wird durch Verwendung der oben angegebenen kovarianten Ableitung $D_{\mu }$ berücksichtigt.

Soll untersucht werden, wie durch geladene fermionische Ströme ein geladenes Proca-Feld erzeugt wird, so kann die folgende Gleichung verwendet werden

$D_{\mu }G^{\mu \nu }+\left({\tfrac {m_{W}c}{\hbar }}\right)^{2}B^{\nu }=g_{W}J_{W}^{\nu }$ ,

wobei hier auch im Feldstärketensor anstelle der partiellen Ableitung die kovariante Ableitung einzusetzen ist. Die Konstante $g_{W}$ bestimmt dabei die Stärke der Kopplung zwischen dem geladenen Strom und dem Feld eines massiven W-Bosons.

Die Lagrange-Dichte dieser Feldgleichung lautet

${\mathcal {L}}_{W}=-{\tfrac {1}{2}}G_{\mu \nu }^{*}G^{\mu \nu }+\left({\frac {m_{W}c}{\hbar }}\right)^{2}B_{\nu }^{*}B^{\nu }-g_{W}B_{\nu }J_{W}^{\nu *}-g_{W}B_{\nu }^{*}J_{W}^{\nu }$

wobei hier im Feldstärketensor anstelle der partiellen Ableitung ebenfalls die kovariante Ableitung einzusetzen ist.

Obwohl sich das ungeladene Z-Boson in der Masse und der elektrischen Ladung vom W-Boson unterscheidet, kann eine ähnliche Gleichung auch für das Z-Boson aufgestellt werden:

$\partial _{\mu }G^{\mu \nu }+\left({\tfrac {m_{Z}c}{\hbar }}\right)^{2}B^{\nu }=g_{Z}J_{Z}^{\nu }$ .

Die Kopplung an ein äußeres elektromagnetisches Feld entfällt in diesem Fall aufgrund der fehlenden elektrischen Ladung dieses Teilchens, so dass hier obige kovariante Ableitung nicht verwendet werden muss. Die Lagrange-Dichte zur Beschreibung des Feldes des Z-Bosons hat wegen der fehlenden elektrischen Ladung damit deutlich weniger Terme:

${\mathcal {L}}_{Z}=-{\frac {1}{2}}G_{\mu \nu }G^{\mu \nu }+\left({\frac {m_{Z}c}{\hbar }}\right)^{2}B_{\nu }B^{\nu }-2g_{Z}B_{\nu }J_{Z}^{\nu }$

im Gegensatz zum Feld des elektrisch geladenen W-Bosons wird das Feld des elektrisch neutralen Z-Bosons durch einen reellen Vierervektor beschrieben.

Zu erwähnen ist noch, dass die so beschriebenen Spin-1-Felder ihrerseits auch die felderzeugenden fermionischen Felder beeinflussen. Deshalb muss auch die Dirac-Gleichung, welche die Bewegung der Fermionen beschreibt, angepasst werden. Die Berücksichtigung aller durchgeführten kernphysikalischen Experimente und grundlegenden theoretischen Arbeiten zur schwachen Kernkraft, führte dabei zu einer Feldtheorie, in der die elektromagnetische und schwache Wechselwirkung zusammengefasst und als elektroschwache Wechselwirkung bezeichnet wird. Diese Theorie wird auch als Standardmodell der Elementarteilchenphysik bezeichnet.

Ältere Modelle zur Beschreibung der schwachen Wechselwirkung sind in diesem Standardmodell enthalten und stimmen für niedrige Teilchenenergien mit diesem überein.

Siehe auch

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de