Feldstärketensor

Ein Feldstärketensor beschreibt die Felder in Eichtheorien. Das bekannteste Beispiel ist der Elektromagnetische Feldstärketensor für die Eichtheorie der Elektrodynamik, der das elektrische und magnetische Feld beschreibt. Feldstärketensoren finden vor allem in Quantenfeldtheorien Anwendung.

Dabei ist der Feldstärketensor kein Tensor im eigentlichen mathematischen Sinne, da seine Komponenten keine reellen Zahlen, sondern Elemente der zur Eichgruppe zugehörigen Lie-Algebra sind.

Allgemein

Wird in einer Eichtheorie die kovariante Ableitung eines Feldes $\psi$ als $D_{\mu }\psi =(\partial _{\mu }+A_{\mu })\psi$ definiert, wobei $A_{\mu }$ ein Matrixpotential der Form $A_{\mu }=-it^{a}A_{\mu }^{a}$ mit hermiteschen Matrizen $t^{a}$ und reellen Funktionen $A_{\mu }^{a}$ der Raumzeit ist, so ergibt sich der Feldstärketensor dieser Theorie zu

$F_{\mu \nu }=D_{\mu }A_{\nu }-D_{\nu }A_{\mu }=-it^{a}(\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+f^{abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c})$ ,

wobei die reellen Zahlen $f^{{abc}}$ aus dem Kommutator $[t^{a},t^{b}]=if^{abc}t^{c}$ stammen.

Die Lagrangedichte für das $A_{\mu }$ -Feld kann dann als $L\propto F_{\mu \nu }^{a}F^{a\mu \nu }$ gewählt werden, dies ist die Yang-Mills-Lagrangedichte.

Elektromagnetismus

Für die Quantenelektrodynamik entspricht $A_{\mu }$ dem bekannten Vektorpotential. Da dessen Komponenten vertauschen, vereinfacht sich der Feldstärketensor zur Form

$F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }$

Zu dessen weiteren Eigenschaften siehe Elektromagnetischer Feldstärketensor.

Basierend auf einem Artikel in Wikipedia.de