Lagrange-Dichte
Die Lagrange-Dichte (nach dem Mathematiker Joseph-Louis Lagrange) spielt in der theoretischen Physik eine Rolle bei der Betrachtung von Feldern. Sie beschreibt die Dichte der Lagrange-Funktion in einem Volumenelement. Daher ist die Lagrange-Funktion definiert als das Integral der Lagrange-Dichte über dem betrachteten Volumen:
mit dem betrachteten Feld .
Der eigentliche Zweck der Lagrange-Dichte ist die Beschreibung von Feldern durch Bewegungsgleichungen. So, wie man die Lagrange-Gleichungen zweiter Art aus dem Hamiltonschen Prinzip erhält, kann man die Lagrange-Gleichungen für Felder aus dem Hamiltonschen Prinzip für Felder erhalten (Herleitung). Entsprechend lautet die Bewegungsgleichung:
- .
Beispiel
Für eine in einer Dimension schwingende Saite ergibt sich für die Lagrange-Dichte
In diesem Beispiel bedeuten:
- die Auslenkung eines Punktes der Saite aus der Ruhelage (Feldvariable)
- die lineare Massendichte
- E den Elastizitätsmodul
Mit dieser Lagrange-Dichte ergibt sich
Damit ergibt sich für die Bewegungsgleichung der schwingenden Saite
Anwendung in der Relativitätstheorie
Anwendung findet die Beschreibung physikalischer Vorgänge über die Lagrange-Dichte statt über die Lagrange-Funktion vor allem in relativistischen Vorgängen. Hier ist eine kovariante Darstellung der Lagrange-Funktion gewünscht, dann ist die Wirkung über
definiert. Damit ist die Lagrange-Funktion ein Lorentz-Skalar, also invariant unter Lorentz-Transformationen:
- mit , wobei der Lorentz-Transformationstensor ist.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 14.01. 2017