Quantenelektrodynamik

Die Quantenelektrodynamik (QED) ist im Rahmen der Quantenphysik die quantenfeldtheoretische Beschreibung des Elektromagnetismus.

Allgemeines

Die QED gibt eine Beschreibung aller Phänomene, die von geladenen Punktteilchen, wie Elektronen oder Positronen, und von Photonen verursacht werden. Sie enthält die klassische Elektrodynamik als Grenzfall starker Felder bzw. hoher Energien, bei denen die möglichen Messwerte als kontinuierlich angesehen werden können. Von tieferem Interesse ist allerdings die Anwendung in mikroskopischen Objekten, wo sie etwa Quantenphänomene, wie die Struktur von Atomen und Molekülen, erklärt. Daneben umfasst sie Vorgänge der Hochenergiephysik, wie die Erzeugung von Teilchen durch ein elektromagnetisches Feld. Eines ihrer besten Ergebnisse ist die Berechnung des anomalen magnetischen Moments des Elektrons, die auf 11 Dezimalstellen mit dem experimentell bestimmten Wert übereinstimmt (Landé-Faktor). Damit ist die QED heute eine der am genauesten experimentell überprüften Theorien.

Die QED beschreibt die Wechselwirkung eines Spinorfeldes mit Ladung -e, das das Elektron beschreibt, mit einem Eichfeld, das das Photon beschreibt. Man erhält ihre Bewegungsgleichungen aus der Elektrodynamik durch Quantisierung der maxwellschen Gleichungen. Die Quantenelektrodynamik erklärt mit hoher Genauigkeit die elektromagnetische Wechselwirkung zwischen geladenen Teilchen (zum Beispiel Elektronen, Myonen, Quarks) mittels des Austauschs virtueller Photonen sowie die Eigenschaften elektromagnetischer Strahlung.

Die QED war die erste Quantenfeldtheorie, bei der die Schwierigkeiten einer konsistenten quantentheoretischen Beschreibung von Feldern und der Erzeugung und Auslöschung von Teilchen befriedigend gelöst wurden. Die Schöpfer der in den 1940er Jahren entwickelten Theorie wurden mit der Verleihung des Nobelpreises für Physik an Richard P. Feynman, Julian Schwinger und Shin’ichirō Tomonaga im Jahr 1965 gewürdigt.

Lagrange-Dichte

Die fundamentale Funktion der Quantenfeldtheorie ist die Lagrangedichte ${\mathcal {L}}$ :

${\mathcal {L}}_{\text{QED}}=\sum _{n}{\bar {\psi }}_{n}(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m_{n})\psi _{n}-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }-\sum _{n}q_{n}{\bar {\psi }}_{n}\gamma ^{\mu }A_{\mu }\psi _{n}.$

In der Formel:

Das freie Spinorfeld $\psi$ gehorcht der Dirac-Gleichung und beschreibt Fermionen wie Elektronen oder Quarks.
Das Photonenfeld $A^{\mu }$ gehorcht den Maxwell-Gleichungen.
Der Feldstärketensor $F_{\mu \nu }$ ist eine Abkürzung für $\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }$ .

Die physikalischen freien Parameter der Quantenelektrodynamik sind

die (nackten) Massen $m_{n}$ der einzelnen Objekte
deren (nackten) Kopplungskonstanten $q_{n}$ , die im Falle der Quantenelektrodynamik zur klassischen elektrischen Ladung korrespondiert.

Die Lagrangedichte der Quantenelektrodynamik ist so konzipiert, dass sie aus der Lagrangedichte des freien Spinorfeldes und des freien Photonfeldes entsteht, wenn zusätzlich die lokale Eichinvarianz gefordert wird, welche sich in einem Kopplungsterm manifestiert (vgl. Dirac-Gleichung).

Insbesondere ist die Lagrangedichte der Quantenelektrodynamik der maximale Ausdruck, der alle u.g. Kriterien erfüllt, d.h. kein Term kann hinzugefügt werden, der die Bedingungen nicht verletze.

Die Quantenelektrodynamik ist eine relativistische Eichtheorie auf Basis der unitären Gruppe U(1) (Kreisgruppe), sodass folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

Invarianz unter Transformationen der Poincaré-Gruppe, welche die Lorentz-Transformationen einschließt,
Invarianz unter einer lokalen Eichtransformation $\psi \to \psi '=e^{\mathrm {i} q\alpha (x)}\psi$ und $A_{\mu }\to A_{\mu }'=A_{\mu }+\partial _{\mu }\alpha (x)$ der Feldoperatoren $\psi$ und
Renormierbarkeit im Rahmen einer störungstheoretischen Berechnung

Bedeutung der Eichtransformationen

Die Transformation $A_{\mu }\to A_{\mu }'=A_{\mu }+\partial _{\mu }\alpha (x)$ ist die klassische lokale Eichtransformation der elektromagnetischen Potentiale $\Phi$ und ${\vec {A}}$ , die den Wert des elektrischen Feldes ${\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}\Phi -\partial _{t}{\vec {A}}$ bzw. der magnetischen Flussdichte ${\vec B}={\vec \nabla }\times {\vec A}$ nicht verändert.

Die dazu korrespondierende Transformation $\psi \to \psi '=e^{\mathrm {i} q\alpha (x)}\psi$ hingegen beschreibt eine lokale Änderung der Phase ohne direktes Analogon in der klassischen Physik. Die Invarianz der Lagrangedichte unter dieser Phasenänderung führt nach dem Noether-Theorem jedoch zur Erhaltungsgröße des Dirac-Stroms $j_{\mu }={\bar {\psi }}\gamma _{\mu }\psi$ mit der Kontinuitätsgleichung $\partial ^{\mu }j_{\mu }=0$ .

Die Forderungen nach Eichinvarianz, Lorentz-Invarianz und Renormierbarkeit der Lagrangedichte führen darüber hinaus zur Aussage, dass das Photon masselos ist, da ein renormierbarer skalarer Masseterm für das Photon $A_{\mu }m_{\gamma }^{2}A^{\mu }$ nicht eichinvariant ist.

Bewegungsgleichungen

Die Lagrange-Dichte führt über die Lagrange-Gleichung zu den Bewegungsgleichungen für die Feldoperatoren:

$(\mathrm {i} \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi =q\gamma ^{\mu }A_{\mu }\psi$

$\partial _{\mu }F^{\mu \nu }=j^{\nu }$

Dabei stellt das zweite Gleichungssystem genau die Maxwell-Gleichungen in Potentialform dar, wobei die klassische elektromagnetische Vierer-Stromdichte durch den Dirac-Strom ersetzt wurde.

Siehe auch

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de