Spinor
Ein Spinor ist in der Mathematik,
und dort speziell in der Differentialgeometrie,
ein Vektor in
einer kleinsten Darstellung
einer Spin-Gruppe.
Die Spin-Gruppe ist isomorph
zu einer Teilmenge einer Clifford-Algebra.
Jede Clifford-Algebra ist isomorph zu einer Teil-Algebra einer reellen,
komplexen oder quaternionischen
Matrix-Algebra. Diese hat eine kanonische
Darstellung durch Spaltenvektoren, die Spinoren.
Ein Spinor ist in der Physik
meist ein Vektor einer 2-dimensionalen komplexen Darstellung der Spin-Gruppe
,
die zur Gruppe der Lorentz-Transformationen
des Minkowski-Raums
gehört. Wichtig ist hier vor allem das Drehverhalten.
Geschichte der Spinoren
Élie Cartan klassifizierte 1913 die irreduziblen komplexen Darstellungen einfacher Liegruppen. Er fand neben den bekannten Tensordarstellungen auch eine neue zweiwertige Darstellung in Form der Spinoren (und sagte vorher, dass diese die anderen Darstellungen aufbauen könnten), speziell für lineare Darstellungen der Drehgruppen. Später erschien sein Lehrbuch über Spinoren. Ihre Bedeutung insbesondere in der Physik wurde aber erst nach Entdeckung der Diracgleichung durch Paul Dirac 1928 erkannt (sie ermöglichten es ihm eine Gleichung 1. Ordnung, die Diracgleichung, als Linearisierung einer Gleichung 2. Ordnung, der Klein-Gordon-Gleichung, zu gewinnen). Paul Ehrenfest wunderte sich, warum die Darstellung bei Dirac (mit der relativistisch kovarianten Diracgleichung) vierdimensional war, in der zuvor für den Spin im Rahmen der nichtrelativistischen Quantenmechanik aufgestellten Pauli-Gleichung von Wolfgang Pauli, in der er auch seine Pauli-Matrizen einführte, dagegen zweidimensional. Ehrenfest prägte für die neuartigen Größen 1928 den Namen Spinor und beauftragte Bartel Leendert van der Waerden, diese mathematisch zu untersuchen, eine Untersuchung die Van der Waerden 1929 veröffentlichte.
Dirac arbeitete bei seiner Einführung der Spinoren weitgehend unabhängig, nach seinen eigenen Worten auch unabhängig von Pauli in der Verwendung der Pauli-Matrizen. Pauli selbst wurde 1927 in der mathematischen Interpretation seiner Gleichung wesentlich von Pascual Jordan unterstützt (der ihn auf den Zusammenhang mit Quaternionen hinwies).
Die Arbeiten von Dirac waren im Rahmen der Lorentzgruppe, den Zusammenhang mit Spinoren im euklidischen Raum stellte Cartan in seinem Buch 1938 her und Richard Brauer und Hermann Weyl in einem Aufsatz 1935 (unter Verwendung von Clifford-Algebren). Die algebraische Theorie der Spinoren im Rahmen von Clifford-Algebren setzte Claude Chevalley in seinem Lehrbuch 1954 fort.
Von Bedeutung in der Differentialgeometrie wurden sie vor allem durch das Atiyah-Singer-Indextheorem Anfang der 1960er Jahre.
Spinoren der Quantenphysik
Struktur der Gruppe Spin(1,3)
Die Gruppe
ist eine Teilmenge des geraden Teils
der Clifford-Algebra
.
Die gesamte Algebra – als
-Vektorraum
hat sie 16 Dimensionen – wird von den vier kanonischen Basisvektoren
,
,
,
des 4-dimensionalen Minkowski-Raums
mit quadratischer Form (in Koordinaten dieser Basis)
erzeugt. Dementsprechend antikommutieren die Produkte verschiedener
Basisvektoren; für ihre Quadrate gilt
,
also
,
.
Die (als -Vektorraum
8-dimensionale) Unteralgebra
der geraden Elemente wird erzeugt von zweifachen Produkten, die
enthalten:
,
,
.
Diese antikommutieren ebenfalls; ihre Quadrate haben den Wert 1.
Eine Basis
von
besteht beispielsweise aus dem Einselement, den
und den nachfolgend beschriebenen vier Elementen
und
:
Die fehlenden zweifachen Produkte (d.h. die, die
nicht enthalten) bilden eine „doppelt gerade“ Unteralgebra, die von geraden
Produkten der
erzeugt wird:
Die Quadrate der
haben der Wert -1, und jedes der
ist (eventuell bis aufs Vorzeichen) das Produkt der beiden anderen, also
usw. Die von den
erzeugte Unteralgebra ist isomorph zur Algebra der Quaternionen. Mit
Rücksicht auf die Pauli-Matrizen
identifizieren wir
,
,
;
Genaueres weiter unten.
Unter den Basisvektoren der geraden Unteralgebra fehlt noch das Volumenelement
Dieses kommutiert mit der gesamten geraden Unteralgebra, es gilt .
Isomorphe Matrixalgebra
Es ist leicht zu sehen, dass
die gerade Unteralgebra erzeugen und dass der ungerade Teil der Algebra als
zu erhalten ist. Insgesamt gilt:
und
erzeugen jeweils zu den Quaternionen isomorphe Unteralgebren,
- diese Unteralgebren kommutieren miteinander und
- spannen zusammen die gesamte Algebra auf.
Dies liefert den Isomorphismus
,
der eingeschränkt einen Isomorphismus
ergibt.
Es sei im Folgenden immer ,
wobei
eine imaginäre Einheit der Quaternionen ist. Dann kann der Isomorphismus wie
folgt definiert werden:
Als Folge daraus ergeben sich mit
und
Darstellung in den Quaternionen, Majorana-Spinoren
Es gibt einen Isomorphismus ,
der einem Tensorprodukt
die Abbildung
zuordnet. Damit ist
eine quaternionisch eindimensionale oder reell vierdimensionale Darstellung der
gesamten Clifford-Algebra. Als letzteres hat sie den Namen
Majorana-Spinor-Darstellung, nach Ettore Majorana.
Darstellung in den komplexen Zahlen, Weyl-Spinoren
Wir definieren eine bijektive Abbildung
als
.
Diese Abbildung ist reell linear und komplex rechts antilinear, d.h.
.
Sei
die Koordinatenabbildung. Damit definieren wir
, durch
,
d.h. einem Element
aus
wird die Abbildung, die durch
gegeben ist, zugeordnet. Dabei ist z.B.
.
Die Matrix dieser Abbildung ist die erste Pauli-Matrix ,
analog gilt
und
.
Somit ist
eine komplex zweidimensionale Darstellung der geraden Unteralgebra und damit
auch der
-Gruppe.
Diese Darstellung von
heißt Weyl-Spinor-Darstellung, benannt nach Hermann Weyl
(siehe auch: Pauli-Matrizen).
Zu dieser gibt es eine konjugierte Darstellung ,
wobei
Weyl-, Dirac- und Majorana-Spinoren
Eine treue Darstellung ist eine Einbettung der Algebra in eine Matrixgruppe, oder generell in die Endomorphismengruppe eines Vektorraums. Dabei sollen Elemente der Spin-Gruppe auf orthogonale oder unitäre Matrizen abgebildet werden.
Dazu folgendes Lemma:
Sind ,
selbstadjungierte unitäre Abbildungen auf
mit
und
,
so zerfällt
in isomorphe, zueinander orthogonale Unterräume
und
.
Das Tripel
lässt sich isomorph abbilden auf
ist die Identität auf
.
Das auftretende Tensorprodukt kann hier auch als
das Kronecker-Produkt
von Matrizen
aufgefasst werden.
Weyl-Spinoren
Eine Weyl-Spinor-Darstellung, benannt nach Hermann Weyl, ist eine
kleinste komplexe Darstellung von .
Diese ist gleichzeitig auch die kleinste komplexe Darstellung der geraden
Unteralgebra
.
Angenommen, wir hätten eine komplexe Darstellung
von
in einen hermiteschen Vektorraum
vorliegen. Dabei sind die Bilder
(der Kürze wegen lassen wir im weiteren das
weg) unitäre, selbstadjungierte Abbildungen von
in sich.
und
erfüllen die Voraussetzungen des Lemmas, wir können also zu einer isomorphen
Darstellung
mit
und
übergehen.
Um die Gestalt von
einzuschränken, betrachten wir das Produkt
und stellen fest, dass aufgrund der Vertauschungsregeln
und
sich folgende Gestalt zwingend ergibt
mit
Da der Vektorraum
komplex ist, können wir ihn in zueinander orthogonale Unterräume
und
aufspalten, auf welchen
wie
oder
wirkt. Beide Unterräume ergeben separate Darstellungen, die jeweils minimalen
sind zueinander komplex konjugiert, die Matrizen sind die schon genannten Pauli-Matrizen, denn
wenn
,
so ist
Im minimalen Fall ist ,
oder umgekehrt. Es gibt also zwei konjugierte
Weyl-Spinor-Darstellungen.
Anwendung: siehe Weyl-Gleichung
Dirac-Spinoren
In der Quantenelektrodynamik
bzw. Atiyah-Singer-Indextheorie
wird der Dirac-Operator
definiert. Das „wie“ ist nicht wichtig, nur, dass eine Darstellung der gesamten
Clifford-Algebra benötigt wird. Die Dirac-Spinor-Darstellung, nach Paul
Dirac, ist bei Anwendung in 3+1 Raum-Zeit-Dimensionen die kleinste komplexe
Darstellung von .
Es werden aber auch höherdimensionale Dirac-Spinoren zum Beispiel in der Stringtheorie
betrachtet.
Ist eine solche komplexe Darstellung gegeben, so können wir wie oben die
Darstellung der geraden Unteralgebra analysieren. Um auch den ungeraden Teil zu
bestimmen, betrachten wir das Bild von .
Es kommutiert mit
und antikommutiert mit
.
Wie oben stellen wir fest, dass
mit
Man überzeugt sich, dass
die Unterräume
und
vertauscht, wir können also die Darstellung durch eine noch weiter faktorisierte
ersetzen:
mit den Bildern der Generatoren
/DD>
Die minimale Dirac-Spinor-Darstellung ist wieder die mit
(und jede dazu isomorphe).
Dirac-Spinoren in 3+1 Dimensionen dienen im Rahmen der Quantenelektrodynamik zur mathematischen Beschreibung von Fermionen mit Spin 1/2. Zu diesen Dirac-Fermionen gehören im Standardmodell der Teilchenphysik sämtliche fundamentalen Fermionen.
Majorana-Spinoren
Die Majorana-Spinor-Darstellung, nach Ettore Majorana, sowohl der Spin-Gruppe als auch
der Clifford-Algebra ist
die kleinste reelle Darstellung von .
Wir können die Analyse von oben übernehmen bis zu der Stelle, an welcher
und
auf
definiert sind. Hier können wir nun
nach
zerlegen in
und
,
vertauscht beide Unterräume, allerdings ist
,
somit
mit
und
Nach Ausmultiplizieren erhalten wir für
mit den Bildern der Generatoren
Sie dienen in der Elementarteilchenphysik zur Beschreibung von Majorana-Fermionen, die aber bisher noch nicht beobachtet wurden.
Drehverhalten
Aus Obigem ist die für die Physik vielleicht wesentlichste Eigenschaft der Spinoren nicht leicht zu erkennen bzw. zu folgern:
- Für Teilchen mit ganzzahligem Spin
(gemessen in Einheiten des reduzierten Planck'schen Wirkungsquantums
), sogenannte Bosonen, wird die Wellenfunktion bei einer vollen Drehung um
mit dem Faktor
multipliziert, d.h. sie bleibt unverändert.
- Dagegen ergibt sich für Teilchen mit halbzahligem Spin, die Fermionen, bei einer vollen
Drehung um
der Faktor -1 für die Wellenfunktion. D.h. diese Teilchen wechseln bei einer vollen Drehung das Vorzeichen ihrer quantenmechanischen Phase bzw. sie müssen zwei volle Drehungen durchführen, um wieder in ihren Ausgangszustand zu gelangen, ähnlich dem Stundenzeiger einer Uhr.
Ganz- oder halbzahlige Werte von
sind die einzigen Möglichkeiten für die Ausprägung des Spins.
Verallgemeinerung in der Mathematik
In der Mathematik, speziell in der Differentialgeometrie, wird unter einem Spinor ein (meist glatter) Schnitt des Spinorbündels verstanden. Das Spinorbündel ist ein Vektorbündel, das wie folgt entsteht: Ausgehend von einer orientierten Riemannschen Mannigfaltigkeit (M,g) bildet man Bündel P der ON-Repere. Dieses besteht punktweise aus allen orientierten Orthonormalbasen:
Dies ist ein Hauptfaserbündel
mit Strukturgruppe .
Eine Spin-Struktur ist dann ein Paar (Q,f) aus einem Hauptfaserbündel
Q mit Strukturgruppe Spinn und einer Abbildung
,
die folgende Eigenschaften erfüllt:
, wobei
und
die Projektionen der Hauptfaserbündel sind und
, wobei
die zweifache Überlagerungsabbildung ist.
Eine Spin-Struktur existiert nicht zu jeder Mannigfaltigkeit, existiert eine, so nennt man die Mannigfaltigkeit spin. Die Existenz einer Spin-Struktur ist äquivalent zum Verschwinden der zweiten Stiefel-Whitney-Klasse.
Gegeben eine Spin-Struktur (Q,f) konstruiert man das (komplexe)
Spinorbündel wie folgt: Man nutzt die (bei Einschränkung auf die Spin-Gruppe
eindeutige) irreduzible Darstellung
der (komplexen) Clifford-Algebra
(vergleiche hier)
und bildet das Spinorbündel als assoziiertes Vektorbündel
,
wobei die Äquivalenzrelation durch
gegeben ist.
Analoge Konstruktionen lassen sich auch durchführen, wenn man die Riemannsche
Metrik durch eine pseudoriemannsche ersetzt. Die oben beschriebenen Spinoren
sind Spinoren im hier beschriebenen Sinne über der Mannigfaltigkeit
mit der pseudo-euklidischen Metrik
.
Das Spinorbündel ist in diesem Fall ein triviales Vektorbündel.
Siehe auch

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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 05.09. 2022