Metrischer Raum

Eine Metrik (auch Abstandsfunktion) ist in der Mathematik eine Funktion, die je zwei Elementen (auch Punkte genannt) der Menge (auch Raum genannt) einen nichtnegativen reellen Wert zuordnet. Dieser Wert wird (unter dieser Metrik) als Abstand der beiden Punkte voneinander bezeichnet. Unter einem metrischen Raum versteht man eine Menge, auf der eine Metrik definiert ist.

Zu einer Menge kann es mehrere (nicht-äquivalente) Metriken geben.

Formale Definition

Sei X eine beliebige Menge. Eine Abbildung d\colon X\times X\to {\mathbb  {R}} heißt Metrik auf X, wenn für beliebige Elemente x, y und >z von X die folgenden Axiome erfüllt sind:

(1) Positive Definitheit: d\left(x,y\right)\geq 0     und     d\left(x,y\right)=0\Leftrightarrow x=y ,
(2) Symmetrie: d\left(x,y\right)=d(y,x),
(3) Dreiecksungleichung: d\left(x,y\right)\leq d(x,z)+d(z,y).

Die Forderung d(x,y)\geq 0 kann weggelassen werden, denn sie folgt aus den anderen, da

{\displaystyle 0={\frac {1}{2}}d(x,x)\leq {\frac {1}{2}}(d(x,y)+d(y,x))={\frac {1}{2}}(d(x,y)+d(x,y))=d(x,y).}

Grundbegriffe

(X, d) heißt metrischer Raum, wenn d eine Metrik auf X ist. Manche Autoren fordern zusätzlich, dass X eine nichtleere Menge sein soll. In der Praxis bezeichnet man zumeist X allein als den metrischen Raum, wenn aus dem Kontext klar ist, dass in diesem Raum die Metrik d benutzt wird.

Eine Isometrie ist eine Abbildung, die zwei metrische Räume aufeinander abbildet und dabei die Metrik – also die Abstände zwischen je zwei Punkten – erhält.

Verallgemeinerungen und Spezialisierungen

Durch Abschwächung, Weglassen oder Verschärfung von einer oder mehreren der Bedingungen (1) bis (3) ergeben sich verschiedene Verallgemeinerungen bzw. Spezialisierungen. Die Bezeichnungen für die Verallgemeinerungen sind leider nicht für alle Gebiete der Mathematik, in denen sie verwendet werden, standardisiert. So wird speziell unter einer Semimetrik in der Funktionalanalysis etwas anderes verstanden als in der Topologie (siehe unten).

Ultrametrik

Hauptartikel: Ultrametrik

Wird die Bedingung der Dreiecksungleichung dahingehend verschärft, dass der Abstand d(x,y) nicht länger sein darf als der längere der beiden Abstände d(x,z) und d(z,y) (mit beliebigem z), erhält man den Begriff der Ultrametrik.

Pseudometrik

Wird auf die Bedingung d\left(x,y\right)=0\Rightarrow x=y verzichtet, so erhält man den Begriff der Pseudometrik. In der Funktionalanalysis wird hierfür auch die Bezeichnung Halbmetrik oder Semimetrik verwendet. In pseudometrischen Räumen können nichtidentische Punkte den Abstand 0 haben. Eine Pseudometrik ist positiv semidefinit, d.h. Abstände sind stets größer oder gleich 0.

Quasimetrik

Wird auf die Symmetrie verzichtet, erhält man den Begriff der Quasimetrik. Aus einer Quasimetrik d' lässt sich durch d(x,y):={\tfrac  {1}{2}}(d'(x,y)+d'(y,x)) eine Metrik auf X erzeugen.

Nicht-archimedische Metriken

Wird die Dreiecksungleichung abgeschwächt oder verschärft, dann erhält man nicht-archimedische Metriken. Ein Beispiel ist etwa d(x,y)\leq K(d(x,z)+d(z,y)) für ein K>1 oder die Ultrametrik.

In der Topologie werden Metriken ohne Dreiecksungleichung manchmal auch als Semimetriken bezeichnet.

Prämetrik

Wird nur Nicht-Negativität und Bedingung (1) gefordert, dann spricht man von einer Prämetrik. Auf \mathbb {R} ist zum Beispiel durch

d(x,y)={\begin{cases}1&{\text{für }}x>y\\|x-y|&{\text{sonst }}\end{cases}}

eine solche Prämetrik definiert.

Beispiele

Durch Normen erzeugte Metriken

Jede Norm auf einem Vektorraum induziert durch die Festlegung

d(x,y)\equiv \|x-y\|

eine Metrik. Somit ist jeder normierte Vektorraum (und erst recht jeder Innenproduktraum, Banachraum oder Hilbertraum) ein metrischer Raum.

Eine Metrik, die aus einer p-Norm abgeleitet ist, heißt auch Minkowski-Metrik. Wichtige Spezialfälle sind

Weitere Beispiele für Normen (und damit auch für Metriken) finden sich im Artikel Norm (Mathematik).

Aus einer p-Norm abgeleitet sind zum Beispiel die Metriken der folgenden wichtigen Räume:

d(x,y)=|x-y|
d(x,y)={\sqrt  {(x_{1}-y_{1})^{2}+\dotsb +(x_{n}-y_{n})^{2}}}

Als eine Fréchet-Metrik wird gelegentlich eine Metrik

d(x,y)=\rho (x-y)

bezeichnet, die von einer Funktion \rho induziert wird, welche die meisten Eigenschaften einer Norm besitzt, aber nicht homogen ist.

Nicht durch Normen erzeugte Metriken

Sie induziert die diskrete Topologie.

Erzeugte Topologie

Die offenen Kugeln in einem metrischen Raum erzeugen (als Basis) eine Topologie, die von der Metrik induzierte Topologie.

Sind zwei metrische Räume {\displaystyle (M_{1},d_{1})} und {\displaystyle (M_{2},d_{2})} gegeben, dann heißen sie

Einordnung in die Hierarchie mathematischer Strukturen

Hierarchie topologischer
Räume und der zugehörigen Strukturen
Euklidischer Raum hat Skalarprodukt
ist   induziert
Normierter Raum hat Norm
ist   induziert
Metrischer Raum hat Metrik
ist   induziert
Uniformer Raum hat Uniforme Struktur
ist   induziert
Topologischer Raum hat Topologie

Metriken geben einem Raum eine globale und eine lokale mathematische Struktur. Die globale Struktur kommt in geometrischen Eigenschaften wie der Kongruenz von Figuren zum Ausdruck. Die lokale metrische Struktur, also die Definition kleiner Abstände, ermöglicht unter bestimmten zusätzlichen Voraussetzungen die Einführung von Differentialoperationen.

Der Begriff „topologischer Raum“ verallgemeinert den Begriff „metrischer Raum“: Jeder metrische Raum ist ein topologischer Raum mit der Topologie, die durch die Metrik induziert wird (siehe dazu Umgebung). Jeder metrische Raum ist ein Hausdorff-Raum.

Ein topologischer Raum heißt metrisierbar, wenn er zu einem metrischen Raum homöomorph ist. Damit ist ein topologischer Raum (X,T) metrisierbar, wenn eine Metrik d auf X existiert, welche die Topologie T induziert.

Ein vollständiger metrischer Raum ist ein metrischer Raum, in dem jede Cauchy-Folge konvergiert. Siehe dazu den ausführlichen Artikel vollständiger Raum. Ein vollständiger normierter Vektorraum heißt Banachraum. Ein Banachraum, dessen Norm durch ein Skalarprodukt induziert ist, heißt Hilbertraum.
Mangels struktureller Voraussetzungen lassen sich Cauchy-Folge und Vollständigkeit auf allgemeinen topologischen Räumen nicht definieren. Existiert wenigstens eine uniforme Struktur, dann gibt es Cauchy-Filter und die Möglichkeit der Vervollständigung, die jedem Cauchy-Filter einen Grenzwert zuordnet.

Geschichte

Metrische Räume wurden 1906 von Maurice Fréchet in der Arbeit Sur quelques points du calcul fonctionnel erstmals verwendet. Der Begriff metrischer Raum wurde von Felix Hausdorff geprägt.

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 08.05. 2021