Differentialrechnung

Graph einer Funktion (blau) und einer Tangente an den Graphen (rot). Die Steigung der Tangente ist die Ableitung der Funktion an dem markierten Punkt.

Die Differential- bzw. Differenzialrechnung ist ein wesentlicher Bestandteil der Analysis und damit ein Gebiet der Mathematik. Sie ist eng verwandt mit der Integralrechnung, mit der sie gemeinsam unter der Bezeichnung Infinitesimalrechnung zusammengefasst wird. Zentrales Thema der Differentialrechnung ist die Berechnung lokaler Veränderungen von Funktionen. Hierzu dienlich und gleichzeitig Grundbegriff der Differentialrechnung ist die Ableitung einer Funktion (auch Differentialquotient genannt), deren geometrische Entsprechung die Tangentensteigung ist. Die Ableitung ist (nach der Vorstellung von Leibniz) der Proportionalitätsfaktor zwischen verschwindend kleinen (infinitesimalen) Änderungen des Eingabewertes und den daraus resultierenden, ebenfalls infinitesimalen Änderungen des Funktionswertes. Existiert ein solcher Proportionalitätsfaktor, so nennt man die Funktion differenzierbar. Äquivalent wird die Ableitung in einem Punkt als die Steigung derjenigen linearen Funktion definiert, die unter allen linearen Funktionen die Änderung der Funktion am betrachteten Punkt lokal am besten approximiert. Entsprechend wird die Ableitung auch die Linearisierung der Funktion genannt.

In vielen Fällen ist die Differentialrechnung ein unverzichtbares Hilfsmittel zur Bildung mathematischer Modelle, die die Wirklichkeit möglichst genau abbilden sollen, sowie zu deren nachfolgender Analyse. Die Entsprechung der Ableitung im untersuchten Sachverhalt ist häufig die momentane Änderungsrate. So ist beispielsweise die Ableitung der Orts- bzw. Weg-Zeit-Funktion eines Teilchens nach der Zeit seine Momentangeschwindigkeit und die Ableitung der Momentangeschwindigkeit nach der Zeit liefert die momentane Beschleunigung. In den Wirtschaftswissenschaften spricht man auch häufig von Grenzraten anstelle der Ableitung (z.B. Grenzkosten, Grenzproduktivität eines Produktionsfaktors etc.).

Dieser Artikel erklärt außerdem die mathematischen Begriffe: Differenzenquotient, Differentialquotient, Differentiation, stetig differenzierbar, glatt, partielle Ableitung, totale Ableitung, Reduktion des Grades eines Polynoms.

In geometrischer Sprache ist die Ableitung eine verallgemeinerte Steigung. Der geometrische Begriff Steigung ist ursprünglich nur für lineare Funktionen definiert, deren Funktionsgraph eine Gerade ist. Die Ableitung einer beliebigen Funktion an einer Stelle $x_{0}$ definiert man als die Steigung der Tangente im Punkt $(x_{0};f(x_{0}))$ des Graphen von .

In arithmetischer Sprache gibt die Ableitung einer Funktion für jedes an, wie groß der lineare Anteil der Änderung von f(x) ist (die Änderung 1. Ordnung), wenn sich um einen beliebig kleinen Betrag $\Delta x$ ändert. Für die exakte Formulierung dieses Sachverhalts wird der Begriff Grenzwert (oder Limes) verwendet.

Geschichte

Gottfried Wilhelm Leibniz

Isaac Newton

Die Aufgabenstellung der Differentialrechnung bildete sich als Tangentenproblem ab dem 17. Jahrhundert heraus. Ein naheliegender Lösungsansatz bestand darin, die Tangente an eine Kurve durch ihre Sekante über einem endlichen (endlich heißt hier: größer als null), aber beliebig kleinen Intervall zu approximieren. Dabei war die technische Schwierigkeit zu überwinden, mit einer solchen infinitesimal kleinen Intervallbreite zu rechnen. Die ersten Anfänge der Differentialrechnung gehen auf Pierre de Fermat zurück. Er entwickelte um 1628 eine Methode, Extremstellen algebraischer Terme zu bestimmen und Tangenten an Kegelschnitte und andere Kurven zu berechnen. Seine „Methode“ war rein algebraisch. Fermat betrachtete keine Grenzübergänge und schon gar keine Ableitungen. Gleichwohl lässt sich seine „Methode“ mit modernen Mitteln der Analysis interpretieren und rechtfertigen, und sie hat Mathematiker wie Newton und Leibniz nachweislich inspiriert. Einige Jahre später wählte René Descartes einen anderen algebraischen Zugang, indem er an eine Kurve einen Kreis anlegte. Dieser schneidet die Kurve in zwei nahe beieinanderliegenden Punkten; es sei denn, er berührt die Kurve. Dieser Ansatz ermöglichte es ihm, für spezielle Kurven die Steigung der Tangente zu bestimmen.

Ende des 17. Jahrhunderts gelang es Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz unabhängig voneinander, widerspruchsfrei funktionierende Kalküle zu entwickeln. Newton ging das Problem jedoch von einer anderen Seite an als Leibniz. Während Newton es physikalisch über das Momentangeschwindigkeitsproblem anging, löste es Leibniz geometrisch über das Tangentenproblem. Ihre Arbeiten erlaubten das Abstrahieren von rein geometrischer Vorstellung und werden deshalb als Beginn der Analysis betrachtet. Bekannt wurden sie vor allem durch das Buch des Adligen Guillaume François Antoine, Marquis de L’Hospital, der bei Johann I Bernoulli Privatunterricht nahm und dessen Forschung zur Analysis so publizierte. Die heute bekannten Ableitungsregeln basieren vor allem auf den Werken von Leonhard Euler, der den Funktionsbegriff prägte. Newton und Leibniz arbeiteten mit beliebig kleinen positiven Zahlen. Dies wurde bereits von Zeitgenossen als unlogisch kritisiert, beispielsweise von George Berkeley in der polemischen Schrift The analyst; or, a discourse addressed to an infidel mathematician. Erst in den 1960ern konnte Abraham Robinson diese Verwendung infinitesimaler Größen auf ein mathematisch-axiomatisch sicheres Fundament stellen. Trotz der herrschenden Unsicherheit wurde die Differentialrechnung aber konsequent weiterentwickelt, in erster Linie wegen ihrer zahlreichen Anwendungen in der Physik und in anderen Gebieten der Mathematik. Symptomatisch für die damalige Zeit war das von der Preußischen Akademie der Wissenschaften 1784 veröffentlichte Preisausschreiben:

„… Die höhere Geometrie benutzt häufig unendlich große und unendlich kleine Größen; jedoch haben die alten Gelehrten das Unendliche sorgfältig vermieden, und einige berühmte Analysten unserer Zeit bekennen, dass die Wörter unendliche Größe widerspruchsvoll sind. Die Akademie verlangt also, dass man erkläre, wie aus einer widersprechenden Annahme so viele richtige Sätze entstanden sind, und dass man einen sicheren und klaren Grundbegriff angebe, welcher das Unendliche ersetzen dürfte, ohne die Rechnung zu schwierig oder zu lang zu machen …“

Erst zum Anfang des 19. Jahrhunderts gelang es Augustin-Louis Cauchy, der Differentialrechnung die heute übliche logische Strenge zu geben, indem er von den infinitesimalen Größen abging und die Ableitung als Grenzwert von Sekantensteigungen (Differenzenquotienten) definierte. Die heute benutzte Definition des Grenzwerts wurde schließlich von Karl Weierstraß Ende des 19. Jahrhunderts formuliert.

Definition

Einführung

Ausgangspunkt für die Definition der Ableitung ist die Näherung der Tangentensteigung durch eine Sekantensteigung (manchmal auch Sehnensteigung genannt). Gesucht sei die Steigung einer Funktion in einem Punkt $(x_{0}\mid f(x_{0}))$ . Man berechnet zunächst die Steigung der Sekante an über einem endlichen Intervall:

Sekantensteigung = ${\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{(x_{0}+\Delta x)-x_{0}}}={\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}$ .

Die Sekantensteigung ist also der Quotient zweier Differenzen; sie wird deshalb auch Differenzenquotient genannt. Mit der Kurznotation $\Delta y$ für $f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})$ kann man die Sekantensteigung abgekürzt als ${\tfrac {\Delta y}{\Delta x}}$ schreiben.

Differentialquotient einer Funktion

Differenzenquotienten sind aus dem täglichen Leben wohlbekannt, zum Beispiel als Durchschnittsgeschwindigkeit:

„Auf der Fahrt von Augsburg nach Flensburg war ich um 9:43 Uhr ( $x_{0}$ ) am Kreuz Biebelried (Tageskilometerstand $f(x_{0})=198\,\mathrm {km}$ ). Um 11:04 Uhr ( $x_{0}+\Delta x$ ) war ich am Dreieck Hattenbach (Tageskilometerstand $f(x_{0}+\Delta x)=341\,\mathrm {km}$ ). In 1 Stunde und 21 Minuten ( $\Delta x$ ) habe ich somit 143 km ( $\Delta y$ ) zurückgelegt. Meine Durchschnittsgeschwindigkeit auf dieser Teilstrecke betrug damit $(143\,\mathrm {km} )/(1,35\,\mathrm {h} )=106\,\mathrm {km/h}$ ( $\Delta y/\Delta x$ ).“

Um eine Tangentensteigung (im genannten Anwendungsbeispiel also eine Momentangeschwindigkeit) zu berechnen, muss man die beiden Punkte, durch die die Sekante gezogen wird, immer weiter aneinander rücken. Dabei gehen sowohl $\Delta x$ als auch $\Delta y$ gegen Null. Der Quotient ${\tfrac {\Delta y}{\Delta x}}$ bleibt aber in vielen Fällen endlich. Auf diesem Grenzübergang beruht die folgende Definition:

Differenzierbarkeit

Definition der Ableitung über die h-Methode: Zu den jeweiligen h-Werten sind die dazugehörigen Sekanten eingezeichnet. Für $h\to 0$ geht die Sekante in die Tangente und somit die Sekantensteigung (Differenzenquotient) in die Tangentensteigung (Ableitung) über.

Die Sekantensteigungen gehen für $x_{n}\to {\tilde {x}}$ in die Steigung der Tangente (und damit in die Ableitung) an der Stelle $\tilde x$ über. Es gilt $\lim _{x_{n}\to {\tilde {x}}}{\frac {f(x_{n})-f({\tilde {x}})}{x_{n}-{\tilde {x}}}}=f'({\tilde {x}})$ .

→ Hauptartikel: Differenzierbarkeit

Eine Funktion $f\colon U\to \mathbb {R}$ , die ein offenes Intervall in die reellen Zahlen abbildet, heißt differenzierbar an der Stelle $x_{0}\in U$ , falls der Grenzwert

$\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$ (mit $h=x-x_{0}$ )

existiert. Dieser Grenzwert heißt Differentialquotient oder Ableitung von nach an der Stelle $x_{0}$ und wird als

$f'(x_{0})$ oder $\left.{\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}\right|_{x=x_{0}}$ oder ${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(x_{0})$ oder ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x_{0})$

notiert. Gesprochen werden diese Notationen als „f Strich von x null“, „d f von x nach d x an der Stelle x gleich x null“, „d f nach d x von x null“ respektive „d nach d x von f von x null“. Im später folgenden Abschnitt Notationen werden noch weitere Varianten angeführt, um die Ableitung einer Funktion zu notieren.

Im Laufe der Zeit wurde folgende gleichwertige Definition gefunden, die sich im allgemeineren Kontext komplexer oder mehrdimensionaler Funktionen als leistungsfähiger erwiesen hat:

Eine Funktion heißt in einem Punkt $x_{0}$ differenzierbar, falls eine Konstante existiert, sodass

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})-Lh}{h}}=0.$

Der Zuwachs der Funktion , wenn man sich von $x_{0}$ nur wenig entfernt, etwa um den Wert , lässt sich also durch sehr gut approximieren, man nennt die lineare Funktion mit $g(x_{0}+h)=f(x_{0})+Lh$ deswegen auch die Linearisierung von an der Stelle $x_{0}$ .

Eine weitere Definition ist: Es gibt eine an der Stelle $x_{0}$ stetige Funktion mit $r(x_{0})=0$ und eine Konstante , sodass für alle gilt

$f(x)=f(x_{0})+L(x-x_{0})+r(x)(x-x_{0})$ .

Die Bedingungen $r(x_{0})=0$ und dass an der Stelle $x_{0}$ stetig ist, bedeuten gerade, dass das „Restglied“ r(x) für gegen $x_{0}$ gegen $0$ konvergiert.

In beiden Fällen ist die Konstante eindeutig bestimmt und es gilt $f'(x_{0})=L$ . Der Vorteil dieser Formulierung ist, dass Beweise einfacher zu führen sind, da kein Quotient betrachtet werden muss. Diese Darstellung der besten linearen Approximation wurde schon von Karl Weierstraß, Henri Cartan und Jean Dieudonné konsequent angewandt.

Bezeichnet man eine Funktion als differenzierbar, ohne sich auf eine bestimmte Stelle zu beziehen, dann bedeutet dies die Differenzierbarkeit an jeder Stelle des Definitionsbereiches, also die Existenz einer eindeutigen Tangente für jeden Punkt des Graphen.

Jede differenzierbare Funktion ist stetig, die Umkehrung gilt jedoch nicht. Noch Anfang des 19. Jahrhunderts war man überzeugt, dass eine stetige Funktion höchstens an wenigen Stellen nicht differenzierbar sein könne (wie die Betragsfunktion). Bernard Bolzano konstruierte dann als erster Mathematiker tatsächlich eine Funktion, die überall stetig, aber nirgends differenzierbar ist, was in der Fachwelt allerdings nicht bekannt wurde; Karl Weierstraß fand dann in den 1860er Jahren ebenfalls eine derartige Funktion, was diesmal unter Mathematikern Wellen schlug. Ein bekanntes mehrdimensionales Beispiel für eine stetige, nicht differenzierbare Funktion ist die von Helge von Koch 1904 vorgestellte Koch-Kurve.

Ableitungsfunktion

Die Ableitung an verschiedenen Stellen einer differenzierbaren Funktion

Die Ableitung der Funktion an der Stelle $x_{0},$ bezeichnet mit $f'(x_{0})$ , beschreibt lokal das Verhalten der Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle $x_{0}$ . Nun wird $x_{0}$ nicht die einzige Stelle sein, an der differenzierbar ist. Man kann daher versuchen, jeder Zahl aus dem Definitionsbereich von die Ableitung an dieser Stelle (also f'(x) ) zuzuordnen. Auf diese Weise erhält man eine neue Funktion , deren Definitionsbereich die Menge $\Omega$ aller Stellen ist, an denen differenzierbar ist. Diese Funktion heißt die Ableitungsfunktion oder kurz die Ableitung von und man sagt „ ist auf $\Omega$ differenzierbar“.

Beispielsweise hat die Quadratfunktion $f\colon x\mapsto x^{2}$ an einer beliebigen Stelle $x_{0}$ die Ableitung $f'(x_{0})=2x_{0},$ die Quadratfunktion ist also auf der Menge der reellen Zahlen differenzierbar. Die zugehörige Ableitungsfunktion ist gegeben durch $f'\colon x\mapsto 2x$ .

Die Ableitungsfunktion ist im Normalfall eine andere als die ursprüngliche, einzige Ausnahme sind die Vielfachen $k\cdot e^{x}$ der Exponentialfunktion.

Ist die Ableitung stetig, dann heißt stetig differenzierbar. In Anlehnung an die Bezeichnung $C(\Omega )$ für die Gesamtheit (den Raum) der stetigen Funktionen mit Definitionsmenge $\Omega$ wird der Raum der stetig differenzierbaren Funktionen mit $C^{1}(\Omega )$ abgekürzt.

Ableitungsberechnung

Das Berechnen der Ableitung einer Funktion wird Differentiation oder Differenziation genannt; sprich, man differenziert diese Funktion.

Um die Ableitung elementarer Funktionen (z.B. $x^{n}$ , $\sin(x)$ , …) zu berechnen, hält man sich eng an die oben angegebene Definition, berechnet explizit einen Differenzenquotienten und lässt dann $\Delta x$ gegen Null gehen. In der Schulmathematik wird dies als „h-Methode“ bezeichnet. Der typische Mathematikanwender vollzieht diese Berechnung nur ein paar wenige Male in seinem Leben nach. Später kennt er die Ableitungen der wichtigsten elementaren Funktionen auswendig, schlägt Ableitungen nicht ganz so geläufiger Funktionen in einem Tabellenwerk nach und berechnet die Ableitung zusammengesetzter Funktionen mit Hilfe der Ableitungsregeln.

Berechnung einer Ableitungsfunktion

Gesucht sei die Ableitung von $f(x)=x^{2}-3x+2$ . Dann berechnet man den Differenzenquotienten als

${\begin{aligned}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}&={\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}\\&={\frac {{\bigl (}(x_{0}+\Delta x)^{2}-3(x_{0}+\Delta x)+2{\bigr )}-(x_{0}^{2}-3x_{0}+2)}{\Delta x}}\\&={\frac {x_{0}^{2}+2x_{0}\Delta x+\Delta x^{2}-3x_{0}-3\Delta x+2-x_{0}^{2}+3x_{0}-2}{\Delta x}}\\&={\frac {2x_{0}\Delta x+\Delta x^{2}-3\Delta x}{\Delta x}}\\&=2x_{0}+\Delta x-3.\end{aligned}}$

und erhält im Limes $\Delta x\to 0$ die Ableitung der Funktion

$f'(x_{0})=\lim _{\Delta x\to 0}(2x_{0}+\Delta x-3)=2x_{0}-3.$

Nicht differenzierbare Funktion

f(x)=|x| ist an der Stelle 0 nicht differenzierbar:

Für alle x>0 gilt nämlich f(x)=x und damit

$\lim _{x\searrow 0}{\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}=\lim _{x\searrow 0}{\frac {x-0}{x-0}}=1$ .

Für alle x<0 gilt dagegen $f(x)=-x$ und folglich

$\lim _{x\nearrow 0}{\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}=\lim _{x\nearrow 0}{\frac {-x-0}{x-0}}=-1$ .

Da der links- und der rechtsseitige Grenzwert nicht übereinstimmen, existiert der Grenzwert nicht. Die Funktion ist somit an der betrachteten Stelle nicht differenzierbar. Die Differenzierbarkeit der Funktion an allen anderen Stellen ist dagegen noch immer gegeben.

Es existieren an der Stelle 0 jedoch die rechtsseitige Ableitung

$f'_{+}(0)=\lim _{x\searrow 0}{\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}=\lim _{x\searrow 0}{\frac {x-0}{x-0}}=1$

und die linksseitige Ableitung

$f'_{-}(0)=\lim _{x\nearrow 0}{\frac {f(x)-f(0)}{x-0}}=\lim _{x\nearrow 0}{\frac {-x-0}{x-0}}=-1$ .

Betrachtet man den Graphen von , so kommt man zu der Erkenntnis, dass der Begriff der Differenzierbarkeit anschaulich bedeutet, dass der zugehörige Graph knickfrei verläuft.

Ein typisches Beispiel für nirgends differenzierbare stetige Funktionen, deren Existenz zunächst schwer vorstellbar erscheint, sind fast alle Pfade der brownschen Bewegung. Diese wird zum Beispiel zur Modellierung der Charts von Aktienkursen benutzt.

Nicht stetig differenzierbare Funktion

Beispiel einer nicht stetig differenzierbaren Funktion

Eine Funktion heißt stetig differenzierbar, wenn ihre Ableitung stetig ist. Selbst wenn eine Funktion überall differenzierbar ist, muss die Ableitung nicht stetig sein. Zum Beispiel ist die Funktion

$f(x)={\begin{cases}x^{2}\cos \left({\frac {1}{x}}\right)&{\text{für }}x\neq 0\\0&{\text{für }}x=0\end{cases}}$

an jeder Stelle, inklusive x=0 , differenzierbar. Die Ableitung, die an der Stelle 0 über den Differenzenquotient bestimmt werden kann,

$f'(x)={\begin{cases}2x\cos \left({\frac {1}{x}}\right)+\sin \left({\frac {1}{x}}\right)&{\text{für }}x\neq 0\\0&{\text{für }}x=0\end{cases}}$

ist aber an der Stelle 0 nicht stetig.

Ableitungsregeln

Ableitungen zusammengesetzter Funktionen, z.B. $\sin(2x)$ oder $x^{2}\cdot \exp(-x^{2})$ , führt man mit Hilfe von Ableitungsregeln auf die Differentiation elementarer Funktionen zurück.

Mit den folgenden Regeln kann man die Ableitung zusammengesetzter Funktionen auf Ableitungen einfacherer Funktionen zurückführen. Seien , und (im Definitionsbereich) differenzierbare, reelle Funktionen, und reelle Zahlen, dann gilt:

Konstante Funktion

$\left(a\right)'=0$

Faktorregel

$(a\cdot f)'=a\cdot f'$

Summenregel

$\left(g\pm h\right)'=g'\pm h'$

Produktregel

$(g\cdot h)'=g'\cdot h+g\cdot h'$

Quotientenregel

$\left({\frac {g}{h}}\right)'={\frac {g'\cdot h-g\cdot h'}{h^{2}}}$

Reziprokenregel

$\left({\frac {1}{h}}\right)'={\frac {-h'}{h^{2}}}$

Potenzregel

$\left(x^{n}\right)'=nx^{n-1}$

Kettenregel

$(g\circ h)'(x)=(g(h(x)))'=g'(h(x))\cdot h'(x)$

Umkehrregel

Ist eine an der Stelle $x_{0}$ differenzierbare, bijektive Funktion mit $f'(x_{0})\neq 0$ , und ihre Umkehrfunktion $f^{-1}$ bei $f(x_{0})$ differenzierbar, dann gilt:

$(f^{-1})'(f(x_{0}))={\frac {1}{f'(x_{0})}}.$

Spiegelt man einen Punkt des Graphen von an der 1. Winkelhalbierenden und erhält damit $P^{*}$ auf $f^{-1}$ , so ist die Steigung von $f^{-1}$ in $P^{*}$ der Kehrwert der Steigung von in

Logarithmische Ableitung

Aus der Kettenregel folgt für die Ableitung des natürlichen Logarithmus einer Funktion :

$(\ln(f))'={\frac {f'}{f}}$

Ein Bruch der Form $f'/f$ wird logarithmische Ableitung genannt.

Ableitung der Potenzfunktion

Um ${\mathsf {}}f(x)=g(x)^{h(x)}$ abzuleiten, erinnert man sich, dass Potenzen mit reellen Exponenten auf dem Umweg über die Exponentialfunktion definiert sind: ${\mathsf {}}f(x)=\exp {\Big (}h(x)\cdot \ln(g(x)){\Big )}$ . Anwendung der Kettenregel und – für die innere Ableitung – der Produktregel ergibt

$f'(x)=\left(h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}\right)g(x)^{h(x)}$ .

Leibnizsche Regel

Die Ableitung -ter Ordnung für ein Produkt aus zwei -fach differenzierbaren Funktionen und ergibt sich aus

$(fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(k)}g^{(n-k)}$ .

Die hier auftretenden Ausdrücke der Form ${\tbinom {n}{k}}$ sind Binomialkoeffizienten.

Formel von Faà di Bruno

Diese Formel ermöglicht die geschlossene Darstellung der -ten Ableitung der Komposition zweier -fach differenzierbarer Funktionen. Sie verallgemeinert die Kettenregel auf höhere Ableitungen.

Geometrische Veranschaulichung der Ableitung der ersten Polynome

Stellt man die Funktionen der Polynome ersten, zweiten und dritten Grades geometrisch dar, ergibt sich eine Veranschaulichung deren resultierenden Ableitungsfunktion durch Grenzwertbildung.

Eine Änderung des Parameters um eine beliebige Länge ${\textstyle \Delta x}$ , bewirkt eine Änderung der Funktion $\Delta f(x)$ und führt im Falle:

einer Strecke () zu einer Streckenänderung, welche sich für beliebig kleine Verschiebungen von $\Delta x$ einer punktförmigen Änderung der Länge ${\textstyle 1}$ annähert,
eines Quadrats ( $f(x)=x^{2}$ ) zu einer Flächenänderung, welche sich für beliebig kleine Verschiebungen von $\Delta x$ einer Änderung um zwei Strecken der Länge ${\textstyle x}$ annähert,
eines Würfels ( $f(x)=x^{3}$ ) zu einer Volumenänderung, welche sich für beliebig kleine Verschiebungen von $\Delta x$ einer Änderung um drei Flächen der des Flächeninhaltes $x^{2}$ annähert.

Stellt man die Funktionen der Polynome ersten, zweiten und dritten Grades geometrisch dar, so ergibt sich eine anschauliche Repräsentation deren Ableitungsfunktion durch Grenzwertbildung.

Geometrische Veranschaulichung der Ableitung der Polynome ersten, zweiten und dritten Grades (grau). Eine beliebig große Änderung des abhängigen Parameters führt zu einer entsprechenden Strecken-, Flächen- oder Volumenänderung (rot). Verringert man die Änderung zu beliebig kleinen Werten, nähert sich die Änderung entsprechend einer punktförmigen Änderung, einer Änderung um zwei Strecken der Länge bzw. einer Änderung um drei quadratische Flächen des Inhaltes $x^{2}$ an.

Formeller behandelt, können anhand der geometrischen Überlegungen die Grenzwerte wie folgt ermittelt werden:

Linke Spalte :

Verschiebung um $\Delta x$ verursacht Längenänderung (Zeile 2):

$\Delta f(x)=\Delta x$

Für $\Delta x\rightarrow 0$ (Zeile 3):

$\underbrace {\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}} _{\rightarrow {\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}}=\underbrace {1} _{\rightarrow 1}$

Grenzwert (Zeile 4):

${\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}=1$ :

Mittlere Spalte $f(x)=x^{2}$

Verschiebung um $\Delta x$ verursacht Flächenänderung: (Zeile 2):

$\Delta f(x)=x\Delta x+x\Delta x+(\Delta x)^{2}=2x\Delta x+(\Delta x)^{2}$

Für $\Delta x\rightarrow 0$ (Zeile 3):

$\underbrace {\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}} _{\rightarrow {\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}}=\underbrace {2x} _{\rightarrow 2x}+\underbrace {\Delta x} _{\rightarrow 0}$

Somit ist der Grenzwert (Zeile 4):

${\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}=2x$

Rechte Spalte $f(x)=x^{3}$ :

Verschiebung um $\Delta x$ verursacht Volumenänderung (Zeile 2):

$\Delta f(x)=x^{2}\Delta x+x^{2}\Delta x+x^{2}\Delta x+x(\Delta x)^{2}+x(\Delta x)^{2}+x(\Delta x)^{2}+(\Delta x)^{3}=3x^{2}\Delta x+3x(\Delta x)^{2}+(\Delta x)^{3}$

Für $\Delta x\rightarrow 0$ (Zeile 3):

$\underbrace {\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}} _{\rightarrow {\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}}=\underbrace {3x^{2}} _{\rightarrow 3x^{2}}+\underbrace {3x\Delta x+(\Delta x)^{2}} _{\rightarrow 0}$

Somit ist der Grenzwert (Zeile 4):

${\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}=3x^{2}$

Zentrale Aussagen der Differentialrechnung

Fundamentalsatz der Analysis

→ Hauptartikel: Fundamentalsatz der Analysis

Die wesentliche Leistung Leibniz’ war die Erkenntnis, dass Integration und Differentiation zusammenhängen. Diese formulierte er im Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, auch Fundamentalsatz der Analysis genannt. Er besagt:

Ist $I\subset \mathbb {R}$ ein Intervall, $f\colon I\to \mathbb {R}$ eine stetige Funktion und $a\in I$ ein beliebiger Punkt, so ist die Funktion

$F\colon I\to \mathbb {R} ,\;x\mapsto \int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t$

stetig differenzierbar, und ihre Ableitung ist gleich .

Hiermit ist also eine Anleitung zum Integrieren gegeben: Gesucht ist eine Funktion , deren Ableitung der Integrand ist. Dann gilt:

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=F(b)-F(a)$

Mittelwertsatz der Differentialrechnung

→ Hauptartikel: Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Ein weiterer zentraler Satz der Differentialrechnung ist der Mittelwertsatz, der von Cauchy bewiesen wurde.

Es sei $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ eine Funktion, die auf dem abgeschlossenen Intervall [a,b] (mit a<b ) definiert und stetig ist. Außerdem sei die Funktion im offenen Intervall (a,b) differenzierbar. Unter diesen Voraussetzungen gibt es mindestens ein $x_{0}\in (a,b)$ , sodass

$f'(x_{0})={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$

gilt.

Mehrfache Ableitungen

Ist die Ableitung einer Funktion wiederum differenzierbar, so lässt sich die zweite Ableitung von als Ableitung der ersten definieren. Auf dieselbe Weise können dann auch dritte, vierte etc. Ableitungen definiert werden. Eine Funktion kann dementsprechend einfach differenzierbar, zweifach differenzierbar etc. sein.

Die zweite Ableitung hat zahlreiche physikalische Anwendungen. Zum Beispiel ist die erste Ableitung des Orts x(t) nach der Zeit die Momentangeschwindigkeit, die zweite Ableitung die Beschleunigung. Aus der Physik kommt die Schreibweise ${\dot {x}}(t)$ , sprich: Punkt von t, für Ableitungen einer beliebigen Funktion nach der Zeit.

Wenn Politiker sich über den „Rückgang des Anstiegs der Arbeitslosenzahl“ äußern, dann sprechen sie von der zweiten Ableitung (Änderung des Anstiegs), um die Aussage der ersten Ableitung (Anstieg der Arbeitslosenzahl) zu relativieren.

Mehrfache Ableitungen können auf drei verschiedene Weisen geschrieben werden:

$f''=f^{(2)}={\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} x^{2}}},\quad f'''=f^{(3)}={\frac {\mathrm {d} ^{3}f}{\mathrm {d} x^{3}}},\quad \ldots$

oder im physikalischen Fall (bei einer Ableitung nach der Zeit)

${\ddot {x}}(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}},\quad {\overset {\dots }{x}}(t)={\frac {\mathrm {d} ^{3}x}{\mathrm {d} t^{3}}}.$

Für die formale Bezeichnung beliebiger Ableitungen $f^{(n)}$ legt man außerdem $f^{{(1)}}=f'$ und $f^{(0)}=f$ fest.

Notationen

Geschichtlich bedingt gibt es unterschiedliche Notationen, um die Ableitung einer Funktion darzustellen.

Lagrange-Notation

In diesem Artikel wurde bisher hauptsächlich die Notation für die Ableitung von verwendet. Diese Notation geht auf den Mathematiker Joseph-Louis Lagrange zurück, der sie 1797 einführte. Mit dieser Notation wird die zweite Ableitung von mit f'' und die -te Ableitung mittels $f^{(n)}$ notiert.

Newton-Notation

Isaac Newton – neben Leibniz der Begründer der Differentialrechnung – notierte die erste Ableitung von mit ${\dot {x}}$ , entsprechend notierte er die zweite Ableitung durch ${\ddot {x}}$ . Heutzutage wird diese Schreibweise hauptsächlich in der Physik, insbesondere in der Mechanik, für die Ableitung nach der Zeit verwendet.

Leibniz-Notation

Gottfried Wilhelm Leibniz führte für die erste Ableitung von (nach der Variablen ) die Notation ${\tfrac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}$ ein. Gelesen wird dieser Ausdruck als „ $\mathrm {d} f$ von nach $\mathrm{d} x$ “ . Für die zweite Ableitung notierte Leibniz ${\tfrac {\mathrm {d} ^{2}f(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}$ und die -te Ableitung wird mittels ${\tfrac {\mathrm {d} ^{n}f(x)}{\mathrm {d} x^{n}}}$ notiert. Bei der Schreibweise von Leibniz handelt es sich nicht um einen Bruch. Die Symbole $\mathrm df(x)$ und $\mathrm dx$ werden als Differentiale bezeichnet, haben aber in der modernen Differentialrechnung (abgesehen von der Theorie der Differentialformen) lediglich eine symbolische Bedeutung und sind nur in dieser Schreibweise als formaler Differentialquotient erlaubt. In manchen Anwendungen (Kettenregel, Integration mancher Differentialgleichungen, Integration durch Substitution) rechnet man mit ihnen aber fast so, als seien sie gewöhnliche Variablen.

Euler-Notation

Die Notation $\mathrm {D} f$ oder $\mathrm {D} _{x}f(x)$ für die erste Ableitung von geht auf Leonhard Euler zurück. In dieser Notation wird die zweite Ableitung durch $\mathrm {D} ^{2}f$ oder $\mathrm {D} _{x}^{2}f(x)$ und die -te Ableitung durch $\mathrm {D} ^{n}f$ oder $\mathrm {D} _{x}^{n}f(x)$ geschrieben.

Anwendungen

Minima und Maxima

Eine der wichtigsten Anwendungen der Differentialrechnung ist die Bestimmung von Extremwerten, meist zur Optimierung von Prozessen. Diese befinden sich unter anderem bei monotonen Funktionen am Rand des Definitionsbereichs, im Allgemeinen jedoch an den Stellen, wo die Ableitung Null ist. Eine Funktion kann einen Maximal- oder Minimalwert haben, ohne dass die Ableitung an dieser Stelle existiert, im Folgenden werden jedoch nur zumindest lokal differenzierbare Funktionen betrachtet. Als Beispiel nehmen wir die Polynomfunktion mit dem Funktionsterm

$f(x)={\frac {1}{3}}x^{3}-2x^{2}+3x.$

Die Abbildung zeigt den Verlauf der Graphen von , und f'' .

Horizontale Tangenten

Besitzt eine Funktion $f\colon (a,b)\to \mathbb {R}$ mit $(a,b)\subset \mathbb {R}$ in einem Punkt $x_{0}\in (a,b)$ ihren größten Wert, gilt also für alle dieses Intervalls $f(x_{0})\geq f(x)$ , und ist im Punkt $x_{0}$ differenzierbar, so kann die Ableitung dort nur gleich Null sein: $f'(x_{0})=0$ . Eine entsprechende Aussage gilt, falls in $x_{0}$ den kleinsten Wert annimmt.

Geometrische Deutung dieses Satzes von Fermat ist, dass der Graph der Funktion in lokalen Extrempunkten eine parallel zur -Achse verlaufende Tangente, auch waagerechte Tangente genannt, besitzt.

Es ist somit für differenzierbare Funktionen eine notwendige Bedingung für das Vorliegen einer Extremstelle, dass die Ableitung an der betreffenden Stelle den Wert 0 annimmt:

$f^{\prime }(x_{0})=0$

Umgekehrt kann daraus, dass die Ableitung an einer Stelle den Wert Null hat, noch nicht auf eine Extremstelle geschlossen werden, es könnte auch beispielsweise ein Sattelpunkt vorliegen. Eine Liste verschiedener hinreichender Kriterien, deren Erfüllung sicher auf eine Extremstelle schließen lässt, findet sich im Artikel Extremwert. Diese benutzen meist die zweite oder noch höhere Ableitungen.

Bedingung im Beispiel

Im Beispiel ist

$f'(x)=x^{2}-4\cdot x+3.$

Daraus folgt, dass $f^{\prime }(x)=0$ genau für x=1 und x=3 gilt. Die Funktionswerte an diesen Stellen sind f(1)=4/3 und f(3)=0 , d.h. die Kurve hat in den Punkten $(1\mid 4/3)$ und $(3\mid 0)$ waagerechte Tangenten, und nur in diesen.

Da die Folge

$f(0)=0,\quad f(1)={\frac {4}{3}},\quad f(3)=0,\quad f(4)={\frac {4}{3}}$

abwechselnd aus kleinen und großen Werten besteht, muss in diesem Bereich ein Hoch- und ein Tiefpunkt liegen. Nach dem Satz von Fermat hat die Kurve in diesen Punkten eine waagerechte Tangente, es kommen also nur die oben ermittelten Punkte in Frage: Also ist $(1\mid 4/3)$ ein Hochpunkt und $(3\mid 0)$ ein Tiefpunkt.

Kurvendiskussion

Mit Hilfe der Ableitungen lassen sich noch weitere Eigenschaften der Funktion analysieren, wie Wendepunkte, Sattelpunkt, Konvexität oder die oben schon angesprochene Monotonie. Die Durchführung dieser Untersuchungen ist Gegenstand der Kurvendiskussion.

Taylorreihen und Glattheit

→ Hauptartikel: Taylorreihe

Ist eine ( n+1 )-mal stetig differenzierbare Funktion im Intervall , dann gilt für alle und aus die Darstellung der sogenannten Taylor-Formel:

$f(x)=T_{n}(x)+R_{n+1}(x)$

mit dem -ten Taylorpolynom an der Entwicklungsstelle

${\begin{aligned}T_{n}(x)&=\sum _{k=0}^{n}\left({\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}\right)\\&=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\dotsb +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}\end{aligned}}$

und dem ( n+1 )-ten Restglied

$R_{n+1}(x)={\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}(x-t)^{n}f^{(n+1)}(t)\,\mathrm {d} t.$

Eine beliebig oft differenzierbare Funktion wird glatte Funktion genannt. Da sie alle Ableitungen besitzt, kann die oben angegebene Taylor-Formel erweitert werden auf die Taylorreihe von mit Entwicklungspunkt

${\begin{aligned}&f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2}}(x-a)^{2}+\dotsb +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+\dotsb \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}.\end{aligned}}$

Es stellt sich allerdings heraus, dass die Existenz aller Ableitungen nicht ergibt, dass sich durch die Taylorreihe darstellen lässt. Anders ausgedrückt: Jede analytische Funktion ist glatt, aber nicht umgekehrt, wie das im Artikel Taylorreihe gegebene Beispiel einer nicht analytischen glatten Funktion zeigt.

Häufig findet man in mathematischen Betrachtungen den Begriff hinreichend glatt. Hiermit ist gemeint, dass die Funktion so oft differenzierbar ist, wie nötig um den aktuellen Gedankengang durchzuführen.

Differentialgleichungen

→ Hauptartikel: Differentialgleichung

Eine weitere wichtige Anwendung der Differentialrechnung besteht in der mathematischen Modellierung physikalischer Vorgänge. Wachstum, Bewegung oder Kräfte haben alle mit Ableitungen zu tun, ihre formelhafte Beschreibung muss also Differentiale enthalten. Typischerweise führt dies auf Gleichungen, in denen Ableitungen einer unbekannten Funktion auftauchen, eben genau Differentialgleichungen.

Beispielsweise verknüpft das newtonsche Bewegungsgesetz

${\vec {F}}(t)=m{\vec {a}}(t)=m{\ddot {\vec {s}}}(t)=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {s}}(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}$

die Beschleunigung ${\vec {a}}$ eines Körpers mit seiner Masse und der auf ihn einwirkenden Kraft ${\vec {F}}$ . Das Grundproblem der Mechanik lautet deshalb, aus einer gegebenen Beschleunigung auf die Ortsfunktion eines Körpers zurückzuschließen. Diese Aufgabe, eine Umkehrung der zweifachen Differentiation, hat die mathematische Gestalt einer Differentialgleichung zweiter Ordnung. Die mathematische Schwierigkeit dieses Problems rührt daher, dass Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung Vektoren sind, die im Allgemeinen nicht in die gleiche Richtung zeigen, und dass die Kraft von der Zeit und vom Ort ${\vec {s}}$ abhängen kann.

Da viele Modelle mehrdimensional sind, sind bei der Formulierung häufig die weiter unten erklärten partiellen Ableitungen sehr wichtig, mit denen sich partielle Differentialgleichungen formulieren lassen. Mathematisch kompakt werden diese mittels Differentialoperatoren beschrieben und analysiert.

Differentialrechnung als Kalkül

Neben der Bestimmung der Steigung von Funktionen ist die Differentialrechnung durch ihren Kalkül ein wesentliches Hilfsmittel bei der Termumformung. Hierbei löst man sich von jeglichem Zusammenhang mit der ursprünglichen Bedeutung der Ableitung als Anstieg. Hat man zwei Terme als gleich erkannt, lassen sich durch Differentiation daraus weitere (gesuchte) Identitäten gewinnen. Ein Beispiel mag dies verdeutlichen:

Aus der Teleskopsumme

$(x-1)\sum _{k=0}^{n}x^{k}=x^{n+1}-1$

soll

$(x-1)^{2}\sum _{k=1}^{n}kx^{k-1}=nx^{n+1}-(n+1)x^{n}+1$

möglichst einfach gewonnen werden. Dies gelingt durch Differentiation mit Hilfe der Quotientenregel:

$\sum _{k=1}^{n}kx^{k-1}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sum _{k=0}^{n}x^{k}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}={\frac {(n+1)x^{n}(x-1)-(x^{n+1}-1)}{(x-1)^{2}}}={\frac {nx^{n+1}-(n+1)x^{n}+1}{(x-1)^{2}}}$

Alternativ ergibt sich die Identität auch durch Ausmultiplizieren und anschließendes dreifaches Teleskopieren, was aber nicht so einfach zu durchschauen ist.

Komplexe Differenzierbarkeit

→ Hauptartikel: Holomorphe Funktion

Bisher wurde nur von reellen Funktionen gesprochen. Für Differenzierbarkeit von Funktionen mit komplexen Argumenten wird einfach die Definition mit der Linearisierung verwandt. Hier ist die Bedingung viel einschränkender als im reellen: So ist beispielsweise die Betragsfunktion nirgendwo komplex differenzierbar. Gleichzeitig ist jede in einer Umgebung einmal komplex differenzierbare Funktion automatisch beliebig oft differenzierbar, es existieren also alle höheren Ableitungen.

Ableitungen mehrdimensionaler Funktionen

Alle vorherigen Ausführungen legten eine Funktion in einer Variablen (also mit einer reellen oder komplexen Zahl als Argument) zugrunde. Funktionen, die Vektoren auf Vektoren oder Vektoren auf Zahlen abbilden, können ebenfalls eine Ableitung haben. Allerdings ist eine Tangente an den Funktionsgraph in diesen Fällen nicht mehr eindeutig bestimmt, da es viele verschiedene Richtungen gibt. Hier ist also eine Erweiterung des bisherigen Ableitungsbegriffs notwendig.

Partielle Ableitungen

→ Hauptartikel: Partielle Ableitung

Wir betrachten zunächst eine Funktion, die von $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ geht. Ein Beispiel ist die Temperaturfunktion: In Abhängigkeit vom Ort wird die Temperatur im Zimmer gemessen, um zu beurteilen, wie effektiv die Heizung ist. Wird das Thermometer in eine bestimmte Richtung bewegt, ist eine Veränderung der Temperatur festzustellen. Dies entspricht der so genannten Richtungsableitung. Die Richtungsableitungen in spezielle Richtungen, nämlich die der Koordinatenachsen, nennt man die partiellen Ableitungen.

Insgesamt lassen sich für eine Funktion in Variablen insgesamt partielle Ableitungen errechnen:

${\frac {\partial f(x_{1},\dots ,x_{n})}{\partial x_{i}}}$

$=\lim _{\Delta x_{i}\to 0}{\frac {f(x_{1},\dots ,x_{i}+\Delta x_{i},\dots ,x_{n})-f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})}{\Delta x_{i}}};\quad i\in \{1,\dots ,n\}$

Die einzelnen partiellen Ableitungen einer Funktion lassen sich auch gebündelt als Gradient oder Nablavektor anschreiben. Partielle Ableitungen können wieder differenzierbar sein und ihre partiellen Ableitungen lassen sich dann in der so genannten Hesse-Matrix anordnen. Analog zum eindimensionalen Fall sind die Kandidaten für lokale Extremstellen da, wo die Ableitung null ist, also der Gradient verschwindet. Ebenfalls analog bestimmt die zweite Ableitung, also die Hesse-Matrix, in gewissen Fällen den exakt vorliegenden Fall. Im Gegensatz zum eindimensionalen ist allerdings die Formenvielfalt in diesem Falle größer. Mittels einer Hauptachsentransformation der durch eine mehrdimensionale Taylor-Entwicklung im betrachteten Punkt gegebenen quadratischen Form lassen sich die verschiedenen Fälle klassifizieren.

Beispiel für angewandte Differentialrechnung

In der Mikroökonomie werden beispielsweise verschiedene Arten von Produktionsfunktionen analysiert, um daraus Erkenntnisse für makroökonomische Zusammenhänge zu gewinnen. Hier ist vor allem das typische Verhalten einer Produktionsfunktion von Interesse: Wie reagiert die abhängige Variable Output (z.B. Output einer Volkswirtschaft), wenn die Inputfaktoren (hier: Arbeit und Kapital) um eine (infinitesimal) kleine Einheit erhöht werden?

Ein Grundtyp einer Produktionsfunktion ist etwa die neoklassische Produktionsfunktion. Sie zeichnet sich unter anderem dadurch aus, dass der Output bei jedem zusätzlichen Input steigt, dass aber die Zuwächse abnehmend sind. Es sei beispielsweise für eine Volkswirtschaft die Produktionsfunktion

$Y(t)=T\cdot K(t)^{\alpha }L(t)^{1-\alpha }$ mit $\alpha \in (0,1)$

maßgebend. Zu jedem Zeitpunkt wird in der Volkswirtschaft unter dem Einsatz der Produktionsfaktoren Arbeit und Kapital mithilfe eines gegebenen Technologielevels Output produziert. Die erste Ableitung dieser Funktion nach den Produktionsfaktoren ergibt:

${\frac {\partial F(K,L)}{\partial L}}=(1-\alpha )\cdot T\cdot K(t)^{\alpha }L(t)^{-\alpha }$

${\frac {\partial F(K,L)}{\partial K}}=\alpha \cdot T\cdot K(t)^{\alpha -1}L(t)^{1-\alpha }$

Da die partiellen Ableitungen aufgrund der Beschränkung $\alpha \in (0,1)$ nur positiv werden können, sieht man, dass der Output bei einer Erhöhung der jeweiligen Inputfaktoren steigt. Die partiellen Ableitungen 2. Ordnung ergeben:

${\frac {\partial ^{2}F(K,L)}{\partial L^{2}}}=-\alpha (1-\alpha )\cdot T\cdot K(t)^{\alpha }L(t)^{-\alpha -1}$

${\frac {\partial ^{2}F(K,L)}{\partial K^{2}}}=\alpha (\alpha -1)\cdot T\cdot K(t)^{\alpha -2}L(t)^{-\alpha }$

Sie werden für alle Inputs negativ sein, also fallen die Zuwachsraten. Man könnte also sagen, dass bei steigendem Input der Output unterproportional steigt. Die relative Änderung des Outputs im Verhältnis zu einer relativen Änderung des Inputs ist hier durch die Elastizität $\eta _{i}\equiv {\frac {\partial f({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}{\frac {x_{i}}{f({\boldsymbol {x}})}}$ gegeben. Vorliegend bezeichnet $\eta _{K}\equiv {\frac {\partial F(K,L)}{\partial K}}{\frac {K}{F(K,L)}}$ die Produktionselastizität des Kapitals, die bei dieser Produktionsfunktion dem Exponenten $\alpha$ entspricht, der wiederum die Kapitaleinkommensquote repräsentiert. Folglich steigt der Output bei einer (infinitesimal) kleinen Erhöhung des Kapitals, um die Kapitaleinkommensquote.

Implizite Differentiation

→ Hauptartikel: Implizite Differentiation

Ist eine Funktion $x\mapsto y(x)$ durch eine implizite Gleichung $F\left(x,y(x)\right)=0$ gegeben, so folgt aus der mehrdimensionalen Kettenregel, die für Funktionen mehrerer Variablen gilt

$F_{x}+F_{y}y'=0.$

Für die Ableitung der Funktion ergibt sich daher

$y'=-{\frac {F_{x}}{F_{y}}}$ mit $F_{x}={\frac {\partial F}{\partial x}},F_{y}={\frac {\partial F}{\partial y}};F_{y}\neq 0.$

Totale Differenzierbarkeit

→ Hauptartikel: Totale Differenzierbarkeit

Eine Funktion $f\colon U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ , wobei eine offene Menge ist, heißt in einem Punkt $x_{0}\in U$ total differenzierbar (oder auch nur differenzierbar), falls eine lineare Abbildung $L\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ existiert, sodass

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})-L(h)}{\|h\|}}=0$ gilt.

Für den eindimensionalen Fall stimmt diese Definition mit der oben angegebenen überein. Die lineare Abbildung ist bei Existenz eindeutig bestimmt, ist also insbesondere unabhängig von der Wahl äquivalenter Normen. Die Tangente wird also durch die lokale Linearisierung der Funktion abstrahiert. Die Matrixdarstellung der ersten Ableitung von nennt man Jacobi-Matrix. Es handelt sich um eine $m\times n$ -Matrix. Für m=1 erhält man den oben beschriebenen Gradienten.

Zwischen den partiellen Ableitungen und der totalen Ableitung besteht folgender Zusammenhang: Existiert in einem Punkt die totale Ableitung, so existieren dort auch alle partiellen Ableitungen. In diesem Fall stimmen die partiellen Ableitungen mit den Koeffizienten der Jacobi-Matrix überein. Umgekehrt folgt aus der Existenz der partiellen Ableitungen in einem Punkt $x_{0}$ nicht zwingend die totale Differenzierbarkeit, ja nicht einmal die Stetigkeit. Sind die partiellen Ableitungen jedoch zusätzlich in einer Umgebung von $x_{0}$ stetig, dann ist die Funktion in $x_{0}$ auch total differenzierbar.

Wichtige Sätze

Satz von Schwarz: Die Differentiationsreihenfolge ist bei der Berechnung partieller Ableitungen höherer Ordnung unerheblich, wenn alle partiellen Ableitungen bis zu dieser Ordnung (einschließlich) stetig sind.
Satz von der impliziten Funktion: Funktionsgleichungen sind lösbar, falls die Jacobi-Matrix bezüglich bestimmter Variablen lokal invertierbar ist.

Verallgemeinerungen und verwandte Gebiete

In vielen Anwendungen ist es wünschenswert, Ableitungen auch für stetige oder sogar unstetige Funktionen bilden zu können. So kann beispielsweise eine sich am Strand brechende Welle durch eine partielle Differentialgleichung modelliert werden, die Funktion der Höhe der Welle ist aber noch nicht einmal stetig. Zu diesem Zweck verallgemeinerte man Mitte des 20. Jahrhunderts den Ableitungsbegriff auf den Raum der Distributionen und definierte dort eine schwache Ableitung. Eng verbunden damit ist der Begriff des Sobolew-Raums.
In der Differentialgeometrie werden gekrümmte Flächen untersucht. Hierzu wird der Begriff der Differentialform benötigt.
Der Begriff der Ableitung als Linearisierung lässt sich analog auf Funktionen zwischen zwei normierbaren topologischen Vektorräumen und übertragen (s. Hauptartikel Fréchet-Ableitung, Gâteaux-Differential, Lorch-Ableitung): heißt dann in $\xi$ Fréchet-differenzierbar, wenn ein stetiger linearer Operator $L_{\xi }\in {\mathcal {L}}(X,Y)$ existiert, sodass

$\lim _{h\to 0}{\frac {\|f(\xi +h)-f(\xi )-L_{\xi }h\|}{\|h\|}}=0$ .

Eine Übertragung des Begriffes der Ableitung auf andere Ringe als $\mathbb {R}$ und $\mathbb {C}$ (und Algebren darüber) ist die Derivation.
Die Differenzenrechnung überträgt die Differentialrechnung auf Reihen.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de