Arkustangens und Arkuskotangens

Abb. 1: Graph der Funktion $\arctan$

Abb. 2: Graph der Funktion $\operatorname{arccot}$

Arkustangens und Arkuskotangens sind zwei miteinander verwandte mathematische Arkusfunktionen. Sie sind die Umkehrfunktionen der geeignet eingeschränkten Tangens- und Kotangensfunktionen: Eine Einschränkung der ursprünglichen Definitionsbereiche ist nötig, weil Tangens und Kotangens periodische Funktionen sind. Man wählt beim Tangens das Intervall $]-\pi /2,\pi /2[$ und beim Kotangens das Intervall $]0,\pi [$ .^[1]

Zusammen mit Arkussinus und Arkuskosinus als Umkehrfunktionen des Sinus und Kosinus bildet der Arkustangens den Kern der Klasse der Arkusfunktionen. Zusammen mit den Areafunktionen sind sie in der komplexen Funktionentheorie Abwandlungen des komplexen Logarithmus, von dem sie auch die „Mehrdeutigkeit“ erben, die ihrerseits von der Periodizität der komplexen Exponentialfunktion herrührt.

Schreibweisen

Mathematische Formeln verwenden für den Arkustangens als Formelzeichen $\arctan$ , $\operatorname {atan}$ , $\tan ^{(-1)}$ , $\tan ^{\langle -1\rangle }$ oder $\tan^{-1}$ . Für den Arkuskotangens sind die Schreibweisen $\operatorname {arccot} ,$ $\operatorname {arcctg} ,$ $\operatorname {acot}$ und neuerdings auch $\cot^{-1}$ in Gebrauch.

Aufgrund der heute für Umkehrfunktionen gebräuchlichen allgemeinen Schreibweise $f^{-1}$ beginnt dabei aber auch in diesem Fall die namentlich auf Taschenrechnern verbreitete Schreibweise $\tan^{-1}$ die klassische Schreibweise $\arctan$ zu verdrängen, was leicht zu Verwechslungen mit dem Kehrwert des Tangens, dem Kotangens, führen kann (s.a. die Schreibweisen für die Iteration).

Eigenschaften

	Arkustangens	Arkuskotangens
Definitionsbereich	$x\in \mathbb {R}$	$x\in \mathbb {R}$
Bildmenge	$-\tfrac{\pi}{2} < f(x) < \tfrac{\pi}{2}$	$0 < f(x) < \pi$
Monotonie	streng monoton steigend	streng monoton fallend
Symmetrien	Ungerade Funktion: $\arctan(-x) = -\arctan x$	Punktsymmetrie zu $\left(x = 0, y = \tfrac{\pi}{2}\right)$ $\arccot x = \pi - \arccot(-x)$
Asymptoten	$f(x) \to\pm \tfrac{\pi}{2}$ für $x \to\pm\infty$	$f(x) \to \pi$ für $x\to -\infty$ $f(x) \to 0$ für $x \to + \infty$
Nullstellen		keine
Sprungstellen	keine	keine
Polstellen	keine	keine
Extrema	keine	keine
Wendepunkte		$\left(0,{\tfrac {\pi }{2}}\right)$

Einige spezielle Werte

		$0$	$2-\sqrt3$	$\sqrt{1-\textstyle\frac25\sqrt5}$	$\sqrt2-1$	$\frac{1}{\sqrt3}$	$\sqrt{5-2\sqrt5}$
$\arctan(x)$	rad	$0$	$\frac{\pi}{12}$	$\frac{\pi}{10}$	$\frac{\pi}{8}$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{5}$	${\frac {\pi }{4}}$
$\arctan(x)$	Grad	$0^\circ$	$15^\circ$	$18^\circ$	$22{,}5^{\circ }$	$30^{\circ }$	$36^{\circ }$	$45^{\circ }$

Für Tangenswerte x>1 siehe die Formel im Abschnitt Funktionalgleichungen.

Näherungsweise Berechnung

Es gelten folgende Näherungen:

Arkustangens, maximale Abweichung unter 0,005 Radianten:

$\arctan x\approx {\begin{cases}{\frac {x}{1+0{,}28x^{2}}}&\;\mathrm {f{\ddot {u}}r} \;|x|\leq 1\\{\frac {\pi }{2}}-{\frac {x}{x^{2}+0{,}28}}&\;\mathrm {f{\ddot {u}}r} \;x>1\\-{\frac {\pi }{2}}-{\frac {x}{x^{2}+0{,}28}}&\;\mathrm {f{\ddot {u}}r} \;x<-1\end{cases}}$

Arkuskotangens:

$\operatorname {arccot} x\approx {\frac {3x}{3x^{2}-1}}\quad \;\mathrm {f{\ddot {u}}r} \;x\gg 1$

Reihenentwicklung

Die Taylorreihe des Arkustangens mit dem Entwicklungspunkt x=0 lautet:

$\arctan x=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {1}{5}}x^{5}-{\frac {1}{7}}x^{7}+\dotsb$

Die Taylorreihe des Arkuskotangens mit dem Entwicklungspunkt x=0 lautet:

$\operatorname {arccot} x={\frac {\pi }{2}}-\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}={\frac {\pi }{2}}-x+{\frac {1}{3}}x^{3}-{\frac {1}{5}}x^{5}+{\frac {1}{7}}x^{7}-\dotsb$

Diese Reihen konvergieren genau dann, wenn $|x| \le 1$ und $x\neq\pm \mathrm i$ ist. Zur Berechnung des Arkustangens für |x| > 1 kann man ihn auf einen Arkustangens von Argumenten mit |x| < 1 zurückführen. Dazu kann man entweder die Funktionalgleichung benutzen oder (um ohne $\pi$ auszukommen) die Gleichung

$\arctan x=2\,\arctan {\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}.$

Durch mehrfache Anwendung dieser Formel lässt sich der Betrag des Arguments beliebig verkleinern, was eine sehr effiziente Berechnung durch die Reihe ermöglicht. Schon nach einmaliger Anwendung obiger Formel hat man ein Argument mit $|x|<1,$ sodass obige Taylorreihe konvergiert, und mit jeder weiteren Anwendung wird |x| mindestens halbiert, was die Konvergenzgeschwindigkeit der Taylorreihe mit jeder Anwendung der Formel erhöht.

Wegen $\textstyle \cot \alpha ={\frac {1}{\tan \alpha }}$ hat der Arkuskotangens am Entwicklungspunkt $x=\infty$ die Taylorreihe:

$\operatorname {arccot} x=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\cdot {\frac {x^{-2k-1}}{2k+1}}={\frac {1}{x}}-{\frac {1}{3x^{3}}}+{\frac {1}{5x^{5}}}-{\frac {1}{7x^{7}}}+\dotsb$

Sie konvergiert für $x\geq 1$ und stimmt dort mit dem oben angegebenen Hauptwert überein. Sie konvergiert auch für $x\leq -1,$ allerdings mit dem Wert $\operatorname {arccot} x-\pi .$ Manche Pakete der Computeralgebra geben für x<0 den am Ursprung unstetigen, aber punktsymmetrischen und am unendlich fernen Punkt stetigen Wert $\arccot x - \pi$ als Hauptwert.

Funktionalgleichung

Statt aus Argumenten über 1 oder unter −1 lässt sich der Arkustangens aus Argumenten $y={\frac {1}{x}}$ zwischen −1 und 1 ableiten:

$\arctan x=\operatorname {sgn}(x)\cdot {\frac {\pi }{2}}-\arctan {\frac {1}{x}}$ .

Gleiches gilt für den Arkuskotangens:

$\operatorname {arccot} x=\left(2-\operatorname {sgn}(x)\right)\cdot {\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}}$ .

Wenn man (bspw. durch die erste Ersetzung) bei einem Argument (einem Tangenswert) $y\in [0,1]$ ankommt, kann man anschließend im Fall $\textstyle y\in \left[{\frac {\sqrt {3}}{3}},1\right]$ die Gleichung

$\arctan y={\frac {\pi }{4}}-{\frac {1}{2}}\cdot \arctan \left({\frac {1-y^{2}}{2y}}\right),$

anwenden, sodass mit $\textstyle z={\frac {1-y^{2}}{2y}}$ das Argument des Arkustangens in jedem Fall (jetzt , sonst ) ins Intervall $\textstyle \left[0,{\frac {\sqrt {3}}{3}}\right]$ mit ${\tfrac {\sqrt {3}}{3}}\approx 0{,}577350\dotso$ zu liegen kommt.

Weitere Beziehungen

$\operatorname {arccot} {x}={\begin{cases}\arctan \displaystyle {\frac {1}{x}}&\;\mathrm {f{\ddot {u}}r} \;x>0\\\arctan \displaystyle \left({\frac {1}{x}}\right)+\pi &\;\mathrm {f{\ddot {u}}r} \;x<0\\\end{cases}}$

$\arctan {x}={\begin{cases}\operatorname {arccot} \displaystyle {\frac {1}{x}}&\;\mathrm {f{\ddot {u}}r} \;x>0\\\operatorname {arccot} \displaystyle \left({\frac {1}{x}}\right)-\pi &\;\mathrm {f{\ddot {u}}r} \;x<0\\\end{cases}}$

$\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}}-\arctan {x}=\operatorname {arccot} {x}-\arctan {\frac {1}{x}}={\begin{cases}0&\;\mathrm {f{\ddot {u}}r} \;x>0\\\pi &\;\mathrm {f{\ddot {u}}r} \;x<0\\\end{cases}}$

$\arctan {x}+\operatorname {arccot} {x}={\frac {\pi }{2}}$

Wegen der Punktsymmetrie $\arctan(-x)=-\arctan(x)$ ist mit (x,y) auch (-x,-y) ein Wertepaar der Arkustangensfunktion.

Summenformeln

Aus dem Additionstheorem für die Tangensfunktion folgt:

$\arctan x+\arctan y={\begin{cases}\arctan {\frac {x+y}{1-xy}}&\;\mathrm {f{\ddot {u}}r} \;xy<1\\{\frac {\pi }{2}}\operatorname {sgn}(x)&\;\mathrm {f{\ddot {u}}r} \;xy=1\\\pi \operatorname {sgn}(x)+\arctan {\frac {x+y}{1-xy}}&\;\mathrm {f{\ddot {u}}r} \;xy>1\end{cases}}$

Aus dem Additionstheorem für die Kotangensfunktion folgt:

$\operatorname {arccot} x+\operatorname {arccot} y={\begin{cases}\operatorname {arccot} {\frac {xy-1}{x+y}}&\;\mathrm {f{\ddot {u}}r} \;x+y>0\\\pi &\;\mathrm {f{\ddot {u}}r} \;x+y=0\\\pi +\operatorname {arccot} {\frac {xy-1}{x+y}}&\;\mathrm {f{\ddot {u}}r} \;x+y<0\end{cases}}$

Beispielsweise gilt:

$\arctan {\frac 12} + \arctan {\frac 13} = \arctan \frac{\frac 12 + \frac 13}{1 - \frac 16} = \arctan {1} = \frac {\pi}4$

und

$\arctan {\frac {1}{n}}=2\,\arctan {\frac {1}{2n}}-\arctan {\frac {1}{4n^{3}+3n}}$

Als Arkuskotangens geschrieben:

$\arccot {2} + \arccot {3} = \arccot \frac{6-1}{2+3} = \arccot {1} = \frac {\pi}4$

und

$\operatorname {arccot} {n}=2\,\operatorname {arccot}(2n)-\operatorname {arccot}(4n^{3}+3n)$

Berechnung der Kreiszahl π mit Hilfe des Arkustangens

Die Reihenentwicklung kann dazu verwendet werden, die Zahl π mit beliebiger Genauigkeit zu berechnen: Die einfachste Formel ist der Spezialfall x=1, die Leibniz-Formel

${\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\dotsb$

Da sie nur extrem langsam (logarithmisch) konvergiert, verwendete John Machin 1706 die Formel

${\frac {\pi }{4}}=4\,\operatorname {arccot} {5}-\operatorname {arccot} {239},$

um die ersten 100 Nachkommastellen von $\pi$ mit Hilfe der Taylorreihe für den Arkustangens zu berechnen. Letztere konvergiert schneller (linear) und wird auch heute noch für die Berechnung von $\pi$ verwendet.

Im Laufe der Zeit wurden noch mehr Formeln dieser Art gefunden. Ein Beispiel stammt von F. C. W. Størmer (1896):

${\frac {\pi }{4}}=44\,\operatorname {arccot} {57}+7\,\operatorname {arccot} {239}-12\,\operatorname {arccot} {682}+24\,\operatorname {arccot} {12943},$ ^[2]

was gleichbedeutend damit ist, dass der Realteil und der Imaginärteil der Gaußschen Zahl

$(57+\mathrm {i} )^{44}\,(239+\mathrm {i} )^{7}\,(682-\mathrm {i} )^{12}\,(12943+\mathrm {i} )^{24}=(1+\mathrm {i} )\cdot n$ mit $n\in \mathbb{Z }$

gleich sind.^[6]

Gleiches gilt für die Formel von John Machin, wobei es hier um die Gaußsche Zahl

$(5+\mathrm {i} )^{4}\,(239-\mathrm {i} )=(1+\mathrm {i} )\cdot 114244$

geht, die mit einem Taschenrechner berechnet werden kann.

Ableitungen

Arkustangens:

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\arctan(x)=\frac{1}{1+x^2}=\cos^2(\arctan(x))$

Arkuskotangens:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arccot}(x)=-{\frac {1}{1+x^{2}}}=-\sin ^{2}(\operatorname {arccot}(x))$

Stammfunktionen

Arkustangens:

Eine Stammfunktion des Arkustangens ist

$\int \arctan {\frac {x}{a}}\,\mathrm {d} x=x\,\arctan {\frac {x}{a}}-{\frac {a}{2}}\,\ln \left(a^{2}+x^{2}\right).$

Arkuskotangens:

Eine Stammfunktion des Arkuskotangens ist

$\int \operatorname {arccot} {\frac {x}{a}}\,\mathrm {d} x=x\,\operatorname {arccot} {\frac {x}{a}}+{\frac {a}{2}}\,\ln \left(a^{2}+x^{2}\right).$

Komplexer Arkustangens und Arkuskotangens

Lässt man komplexe Argumente und Werte zu, so hat man

$\arctan(a+b\,\mathrm {i} )=\left\{{\begin{array}{ll}\displaystyle {\frac {1}{2}}\,\left(\arctan {\frac {a^{2}+b^{2}-1}{2a}}+{\frac {\pi }{2}}\,\operatorname {sgn}(a)\right)&\;a\neq 0\\0&\;a=0,\,|b|\leq 1\\\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\,\operatorname {sgn}(b)&\;a=0,\,|b|>1\\\end{array}}\right\}$ $+\mathrm {i} \cdot {\frac {1}{2}}\,\operatorname {artanh} {\frac {2b}{a^{2}+b^{2}+1}}$ mit $a,b\in \mathbb {R} ,$

eine Darstellung, die quasi schon in Real- und Imaginärteil aufgespalten ist. Wie im Reellen gilt

$\operatorname {arccot}(z)={\frac {\pi }{2}}-\arctan(z)$

mit $z=a+b\,\mathrm {i} .$

Man kann im Komplexen sowohl den Arkustangens (wie auch den Arkuskotangens) durch ein Integral und durch den komplexen Logarithmus ausdrücken:

${\begin{array}{ll}\displaystyle \arctan z=\int _{0}^{z}{\frac {\mathrm {d} t}{1+t^{2}}}&\displaystyle ={\frac {1}{2}}\,\int _{0}^{z}\left({\frac {\mathrm {d} t}{1+\mathrm {i} t}}+{\frac {\mathrm {d} t}{1-\mathrm {i} t}}\right)\\\displaystyle ={\frac {\ln(1+\mathrm {i} z)-\ln(1-\mathrm {i} z)}{2\mathrm {i} }}&\displaystyle ={\frac {1}{2\mathrm {i} }}\,\ln {\frac {1+\mathrm {i} z}{1-\mathrm {i} z}}\end{array}}$

für in der zweifach geschlitzten Ebene ${}^{|}\mathbb {C} _{|}:=\mathbb {C} \setminus \{\mathrm {i} y\,|\,y\in \mathbb {R} ,|y|\geq 1\}.$ Das Integral hat einen Integrationsweg, der die imaginäre Achse nicht kreuzt außer evtl. im Einheitskreis. Es ist in diesem Gebiet ${}^{|}\mathbb {C} _{|}$ regulär und eindeutig.

Der Arkustangens spielt eine wesentliche Rolle bei der symbolischen Integration von Ausdrücken der Form

$\frac1{ax^2+bx+c}.$

Ist die Diskriminante D=b^2-4ac nichtnegativ, so kann man eine Stammfunktion mittels Partialbruchzerlegung bestimmen. Ist die Diskriminante negativ, so kann man den Ausdruck durch die Substitution

$t={\frac {2ax+b}{\sqrt {-D}}}$

in die Form

${\frac {4a}{-D}}\,{\frac {1}{1+t^{2}}}$

bringen; eine Stammfunktion ist also

${\frac {2}{\sqrt {-D}}}\,\arctan {\frac {2ax+b}{\sqrt {-D}}}.$

Umrechnung ebener kartesischer Koordinaten in polare

Ist ein Punkt ${\mathsf {P}}$ in der Ebene durch Polarkoordinaten $(r,\varphi )$ gegeben, so sind seine kartesischen Koordinaten (x,y) durch die Gleichungen

${\begin{array}{ll}x=r\cdot \cos(\varphi )\\y=r\cdot \sin(\varphi )\\\end{array}}{\biggr \}}\qquad ({\text{P}}\to {\text{K}})$

bestimmt.

Die Umrechnung in der Gegenrichtung ist etwas komplizierter. Auf jeden Fall gehört der Abstand

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\qquad ({\text{K}}\to {\text{P}}_{0})$

des Punktes ${\mathsf {P}}$ vom Ursprung ${\mathsf {O}}(0,0)$ zur Lösung. Ist nun $r=0,$ dann ist auch $x=y=0,$ und es spielt keine Rolle, welchen Wert $\varphi \in \mathbb {R}$ hat. Dieser Fall wird im Folgenden als der singuläre Fall bezeichnet.

Ist aber $r\neq 0,$ dann ist $\varphi ,$ weil die Funktionen $\sin$ und $\cos$ die Periode $2\pi$ haben, nur modulo $2\pi \mathbb {Z}$ bestimmt, d.h., mit $\varphi$ ist auch $\varphi +2\pi n$ für jedes $n\in \mathbb{Z }$ eine Lösung.

Trigonometrische Umkehrfunktionen sind erforderlich, um von Längen zu Winkeln zu kommen. Hier zwei Beispiele, bei denen der Arkustangens zum Einsatz kommt.

Der simple Arkustangens $\varphi =\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)$ (s. Abb. 3) reicht allerdings nicht aus. Denn wegen der Periodizität des Tangens von $\pi$ muss dessen Definitionsmenge vor der Umkehrung auf eine Periodenlänge von $\pi$ eingeschränkt werden, was zur Folge hat, dass die Umkehrfunktion (der Arkustangens) keine größere Bildmenge haben kann.

Abb. 3: φ als Außenwinkel eines gleichschenkligen Dreiecks

Halber Winkel

In der nebenstehenden Abb. 3^[4] ist die Polarachse (die mit der -Achse definitionsgemäß zusammenfällt) um den Betrag in die -Richtung verlängert, also vom Pol (und Ursprung) ${\mathsf {O}}$ bis zum Punkt ${\mathsf {N}}.$ Das Dreieck ${\mathsf {NOP}}$ ist ein gleichschenkliges, sodass die Winkel $\sphericalangle {\mathsf {PNO}}$ und $\sphericalangle {\mathsf {OPN}}$ gleich sind. Ihre Summe, also das Doppelte eines von ihnen, ist gleich dem Außenwinkel $\varphi$ des Dreiecks ${\mathsf {NOP}}.$ Dieser Winkel ist der gesuchte Polarwinkel $\sphericalangle {\mathsf {XOP}}.$ Mit dem Abszissenpunkt $\mathsf{A}$ gilt im rechtwinkligen Dreieck ${\mathsf {NAP}}$

$\tan \left({\frac {\varphi }{2}}\right)={\frac {|{\text{Gegenkathete }}{\mathsf {PA}}|}{|{\text{Ankathete }}{\mathsf {AN}}|}}={\frac {y}{r+x}},$

was nach $\varphi$ aufgelöst

$\varphi =2\cdot \arctan \left({\frac {y}{r+x}}\right)\qquad ({\text{K}}\to {\text{P}}_{1})$

ergibt. Die Gleichung versagt, wenn $r+x=0$ ist. Dann muss wegen $|x|\leq |r|\Rightarrow x=-|r|$ auch y=0 sein. Wenn jetzt x=0 ist, dann handelt es sich um den singulären Fall. Ist aber $x<0,$ dann sind die Gleichungen $({\text{P}}\to {\text{K}})$ durch $\varphi =+\pi$ oder $\varphi =-\pi$ erfüllt.^[5] Das ist in Einklang mit den Bildmengen $]-\pi ,+\pi ]$ resp. $[-\pi ,+\pi [$ der Funktion im folgenden Abschnitt.

Der „Arkustangens“ mit zwei Argumenten (atan2)

→ Hauptartikel: arctan2

Ein anderer Weg, um zu einem vollwertigen Polarwinkel zu kommen, ist in vielen Programmiersprachen und Tabellenkalkulationen gewählt worden, und zwar eine erweiterte Funktion, die mit den beiden kartesischen Koordinaten beschickt wird und die damit genügend Information hat, um den Polarwinkel modulo $2\pi \mathbb {Z} ,$ bspw. im Intervall $]-\pi ,\pi ],$ und in allen vier Quadranten zurückgeben zu können. $({\text{K}}\to {\text{P}}_{2})$

Arkustangens mit Lageparameter

Abb. 4: Arkustangens mit Lageparameter

In vielen Anwendungsfällen soll die Lösung der Gleichung $x=\tan y$ so nahe wie möglich bei einem gegebenen Wert $\eta$ liegen. Dazu eignet sich die mit dem Parameter $\eta$ modifizierte Arkustangens-Funktion

$y=\arctan _{\eta }x:=\arctan x+\pi \cdot \operatorname {rni} {\frac {\eta -\arctan x}{\pi }}.$

Die Funktion $\operatorname{rni}$ rundet zur engstbenachbarten ganzen Zahl.

Siehe auch

Anmerkungen

↑ Beide Funktionen sind monoton in diesen Intervallen, und diese sind von den jeweiligen Polstellen begrenzt.
↑ Bspw. sind die Zahlen $1,2,4,5,\dotsc$ Størmer-Zahlen;
$3,\dotso ,57,\dotso ,239,\dotso ,682,\dotso ,12943,\dotso$ dagegen nicht.
↑ Dabei ist $n\approx 2{,}84438\dotso \cdot 10^{226}.$
↑ Eine ganz ähnliche Skizze ist die von Einheitskreis.
↑ Beim Rechnen mit Gleitkommazahlen besteht Instabilität in der Nähe des -Strahls wegen $|r+x|\ll 1.$

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de