Periodische Funktion

In der Mathematik sind periodische Funktionen eine besondere Klasse von Funktionen. Sie haben die Eigenschaft, dass sich ihre Funktionswerte in regelmäßigen Abständen wiederholen. Die Abstände zwischen dem Auftreten der gleichen Funktionswerte werden Periode genannt. Periodische Folgen können als Spezialfälle der periodischen Funktionen verstanden werden.

Reelle periodische Funktionen

Illustration einer periodischen Funktion mit der Periode .

Definition

Eine reelle Zahl ist eine Periode einer in $\mathcal{D}_f \subseteq \mathbb{R}$ definierten Funktion, wenn gilt:

$x \in \mathcal{D}_f \Longleftrightarrow x + T \in \mathcal{D}_f \quad\forall x \in \mathbb{R}$
$f(x+T) = f(x) \quad\forall x \in \mathcal{D}_f$

Die Funktion ist periodisch, wenn sie mindestens eine Periode $T \neq 0$ zulässt. Man sagt dann auch, sei „-periodisch“.

Eigenschaften der Menge der Perioden und Beispiele

Für die Periode gelten folgende Eigenschaften:

Ist eine Periode von , so ist auch eine Periode von ;
Sind $T_{1}$ und $T_{2}$ zwei Perioden von , so ist auch $k_{1}T_{1}+k_{2}T_{2}$ mit $k_{1},k_{2}\in \mathbb {Z}$ eine Periode von .

Meist interessiert man sich für die kleinste positive Periode. Diese existiert für jede nichtkonstante stetige periodische Funktion. (Eine konstante Funktion ist periodisch mit jeder beliebigen Periode ungleich 0.) Wenn eine kleinste positive Periode hat, so sind die Perioden von die Vielfachen von . Im anderen Fall ist die Menge der Perioden von dicht in $\mathbb {R}$ .

Beispiele

Graph der Sinusfunktion $x\mapsto \sin(x)$

Bekannte periodische Funktionen sind die trigonometrischen Funktionen, insbesondere der Sinus, der eine immer gleich bleibende Schwingung zwischen -1 und 1 durchführt, die sich im Abstand von 2π (π ist die Kreiszahl pi) wiederholt.

Definition

Der Begriff der periodischen Funktion beschränkt sich nicht nur auf reelle Funktionen. Man kann ihn allgemeiner Definieren für Funktionen, auf deren Quellmenge eine Addition erklärt ist.

Sei also eine (additive) Halbgruppe, eine Menge und $f\colon G\to M$ eine Funktion. Existiert ein $T\in G$ mit

$f(g+T)=f(g)$

für alle $g\in G$ , dann heißt die Funktion periodisch mit Periode .

Beispiele

Periodische Folgen

→ Hauptartikel: Periodische Folge

Da eine reelle Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Funktion von den natürlichen Zahlen $\mathbb {N}$ in die reellen Zahlen $\mathbb {R}$ ist, kann der Begriff der periodischen Folge als Spezialfall einer periodischen Funktion aufgefasst werden. Eine Folge heißt periodische, falls es ein gibt, so dass für alle $n\in \mathbb {N}$ die Gleichheit $a_{n+T}+a_{n}$ gilt. Hierbei wurde ausgenutzt, dass die Menge der natürlichen Zahlen eine Halbgruppe ist.

Periodische Funktionen als Funktionen auf der Kreislinie

Es sei $S^1=\{z\in\mathbb C\mid |z|=1\}$ der Einheitskreis. Man kann periodische Funktionen auf $\mathbb {R}$ mit Periode mit Funktionen auf $S^{1}$ identifizieren: Einer Funktion auf $S^{1}$ entspricht die -periodische Funktion

$x\mapsto f(\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} x/T})$ .

Hierbei ist $x\mapsto f(\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \cdot /T})$ eine Funktion auf dem Einheitskreis also einer Teilmenge der komplexen Zahlen. Eigenschaften der Funktionen wie Beschränktheit, Stetigkeit oder Differenzierbarkeit übertragen sich jeweils auf die andere Sichtweise.

Beispielsweise entsprechen Fourier-Reihen $\textstyle \sum_{n\in\mathbb Z}c_n\mathrm e^{\mathrm in\omega t}$ unter dieser Abbildung den Laurent-Reihen $\textstyle \sum_{n\in\mathbb Z}c_nz^n$ .

Periodische Funktionen auf reellen Vektorräumen

Es sei ein -dimensionaler reeller Vektorraum, z.B. $\mathbb {R} ^{n}$ . Eine Periode einer stetigen, reell- oder komplexwertigen Funktion auf oder einem (offenen, zusammenhängenden) Teil von ist ein Vektor $\gamma\in V$ , so dass

der Definitionsbereich von invariant unter der Translation mit $\gamma$ ist, d.h. $x\in D\iff x+\gamma\in D$
für alle $x\in D$ gilt: $f(x+\gamma)=f(x)$ .

Die Menge $\Gamma$ aller Perioden von ist eine abgeschlossene Untergruppe von . Jede solche Untergruppe ist die direkte Summe aus einem Untervektorraum von und einer diskreten Untergruppe; letztere lässt sich beschreiben als die Menge der ganzzahligen Linearkombinationen einer Menge linear unabhängiger Vektoren.

Wendet man diese Theorie auf den reell zweidimensionalen Vektorraum $V=\mathbb C$ an und betrachtet nur holomorphe Funktionen , so gibt es die folgenden Fälle:

$\Gamma=\{0\}$ : ist nicht periodisch.
$\Gamma=\mathbb Z\cdot\gamma$ : ist eine gewöhnliche periodische Funktion; beispielsweise ist die Exponentialfunktion periodisch mit Periode $\gamma=2\pi\mathrm i$ .
$\Gamma$ enthält einen nichttrivialen reellen Unterraum: Eine holomorphe Funktion, die entlang einer Gerade konstant ist, ist insgesamt konstant.
$\Gamma=\mathbb Z\cdot\gamma_1+\mathbb Z\cdot\gamma_2$ : hat zwei reell linear unabhängige Perioden. Ist auf der ganzen Ebene meromorph, so spricht man von einer elliptischen Funktion.

Siehe auch

Fastperiodische Funktion

Basierend auf Artikeln in:

Wikipedia.de