Periodische Folge

Eine periodische Folge ist ein Begriff aus der Mathematik. Bei dieser bestimmten Klasse von Folgen wiederholen sich die Folgeglieder nach einer bestimmten Periodenlänge.

Definition

Eine Folge $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ heißt periodisch, wenn es natürliche Zahlen und gibt, so dass

$a_{n}=a_{n+d}$

für alle n>N gilt. Im Fall N = 0 heißt die Folge reinperiodisch oder streng periodisch. Die minimale Zahl mit obiger Eigenschaft wird Periodenlänge genannt.

Beispiel

Sei a_0 = 1 und $a_{n+1}=2a_{n}{\bmod {1}}00$ für $n \geq 0$ , wobei ${}{\bmod {}}$ der Modulo-Operator ist.

Anschaulich ist $a_{n}$ die aus den letzten beiden Ziffern der Dezimaldarstellung von $2^{n}$ gebildete Zahl. Diese Folge beginnt mit den Werten

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88, 76, 52, 4...

Danach wiederholen sich diese Werte.

Betrachtet man ganz allgemein eine rekursiv definierte Folge, also eine Folge, die durch $a_{n+1}=f(a_{n})$ für eine feste Funktion definiert ist, und nimmt nur endlich viele Werte an, dann ist die Folge $a_{i}$ immer periodisch.

Periodische Ziffernfolgen

Es sei b>1 eine feste natürliche Zahl. Sind und natürliche Zahlen, so wird die Folge der Nachkommastellen der -adischen Darstellung von ${\tfrac {p}{q}}$ nach dem obigen Prinzip schließlich periodisch, weil sie iterativ durch die Reste bei der -->Division bestimmt wird, und diese Reste können nur die endlich vielen Werte $0,1,\ldots ,b-1$ annehmen.

Basierend auf einem Artikel in:

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