Einschränkung

In der Mathematik wird der Begriff Einschränkung meist für die Verkleinerung des Definitionsbereichs einer Funktion verwendet.

Auch für Relationen ist es möglich, die Einschränkung auf eine Teilmenge der Grundmenge zu betrachten.

Gelegentlich wird in mathematischen Beweisen die Formulierung „ohne Beschränkung der Allgemeinheit“ (o.B.d.A.) benutzt. Diese hat mit den hier erläuterten mathematischen Begriffen nichts zu tun.

Einschränkung einer Funktion

Definition

Ist $f\colon A\to B$ eine beliebige Funktion und eine Teilmenge der Definitionsmenge , dann versteht man unter der Einschränkung $f|_{X}$ von auf diejenige Funktion $g\colon X\to B$ , die auf mit übereinstimmt. Mit Hilfe der Inklusionsabbildung $i\colon X\to A,\,x\mapsto x$ lässt sich die Einschränkung kurz schreiben als

$f|_{X} := f \circ i$ .

In der Situation $g=f|_{X}$ nennt man auch eine Fortsetzung von . In der Mengenlehre wird auch die Schreibweise $f{\upharpoonright }X$ statt $f|_{X}$ verwendet.

Beispiel

$\mathbb {R}$ sei die Menge der reellen Zahlen und $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ mit $f(x)=x^{2}$ die Quadratfunktion. ist nicht injektiv, die Einschränkung $f|_{S}$ auf das Intervall $S:=[0,\infty )$ der nichtnegativen reellen Zahlen ist dies aber schon. Wenn man auch noch die Zielmenge auf die Bildmenge (ebenfalls ) einschränkt, erhält man die bijektive Quadratfunktion $g\colon S\to S$ mit $g(x)=x^{2}$ , die also eine Umkehrfunktion hat, nämlich die Quadratwurzelfunktion.

Einschränkung einer Relation

Ist R eine zweistellige Relation auf der Menge A und X eine Teilmenge von A, dann ist die Relation S auf X die Einschränkung von R auf X, wenn für alle a und b aus X gilt:

$a\;S\;b\Leftrightarrow a\;R\;b$ .

Beispiel

Die Kleiner-Relation auf der Menge der ganzen Zahlen ist die Einschränkung der Kleiner-Relation auf der Menge der rationalen Zahlen.

Einschränkung einer Darstellung

Eine lineare Darstellung einer Gruppe auf einem Vektorraum ist ein Homomorphismus $\rho$ von in die allgemeine lineare Gruppe $\operatorname {GL}(V)$ . Unter einer Einschränkung können zwei verschiedene Konstruktionen verstanden werden.

Falls $U\subset V$ ein invarianter Unterraum ist, dann erhält man eine eingeschränkte Darstellung $G\to GL(U)$ .
Falls $H\subset G$ eine Untergruppe ist, dann ist $\rho \mid _{H}$ eine Darstellung von , die mit $\operatorname {Res} _{H}^{G}(\rho )$ (für Restriktion) bezeichnet wird. Falls keine Verwechslungsgefahr besteht, schreibt man auch nur $\operatorname {Res} (\rho )$ oder auch kurz $\operatorname {Res} \rho .$ Man verwendet auch die Schreibweise $\operatorname {Res} _{H}(V)$ bzw. $\operatorname {Res} (V)$ für die Einschränkung einer Darstellung (auf) von auf

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