Inklusionsabbildung

Zwei Beispiele für eine Inklusion. Bsp b) zeigt eine echte Inklusion.

Eine Inklusionsabbildung (kurz Inklusion), natürliche Einbettung oder kanonische Einbettung ist eine mathematische Funktion, die eine Teilmenge in ihre Grundmenge einbettet.

Definition

Für Mengen und mit $A\subseteq B$ ist die Inklusionsabbildung $i\colon A\rightarrow B$ durch die Abbildungsvorschrift

gegeben. Manchmal wird das spezielle Pfeilsymbol $\hookrightarrow$ zur Kennzeichnung benutzt und man schreibt dann $i \colon A \hookrightarrow B$ .

Man spricht von einer echten Inklusion, falls eine echte Teilmenge von ist, das heißt, wenn es Elemente in $B \setminus A$ gibt.

Eigenschaften

Jede Inklusionsabbildung ist injektiv. Eine echte Inklusion ist nicht surjektiv.
Ist , so ist die Inklusion die Identitätsabbildung.
Eine beliebige Funktion $f\colon A\to B$ lässt sich bezüglich der Verkettung von Funktionen zerlegen als $f=h\circ g$ , wobei surjektiv und injektiv ist: Sei $C=\operatorname {im}f\subseteq B$ die Bildmenge von und $g\colon A\to C$ die Funktion, die auf mit übereinstimmt, also . Für $h\colon C\to B$ nimmt man die Inklusionsabbildung.
Ist $f\colon A\to B$ eine beliebige Funktion und eine Teilmenge der Definitionsmenge , dann versteht man unter der Einschränkung $f|_{X}$ von auf diejenige Funktion $g\colon X\to B$ , die auf mit übereinstimmt. Mit Hilfe der Inklusion $i\colon X\to A$ lässt sich die Einschränkung kurz schreiben als

$f|_{{X}}=f\circ i$ .

Umgekehrt lässt sich jede Inklusionsabbildung $i \colon A \hookrightarrow B$ als Einschränkung einer geeigneten identischen Abbildung auffassen: $i=\left(\operatorname{id}_B\right)|_A$

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de