Duale Basis

Die duale Basis ist ein Begriff aus der linearen Algebra, der in zwei unterschiedlichen Bedeutungen auftritt:

Zu einer gegebenen Basis eines endlichdimensionalen Vektorraums wird eine zugehörige duale Basis des Dualraums $V^{*}$ konstruiert.
Zu einer gegebenen Basis eines euklidischen Vektorraums wird eine weitere, zur ersten duale Basis von konstruiert.

Duale Basis im Dualraum V*

Definition

Es sei ein -dimensionaler Vektorraum über einem Körper . (In Anwendungen ist der Körper oft $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$ .) Weiter sei $\{e_{1},\dotsc ,e_{n}\}$ eine Basis von .

Dann gibt es zu jedem $i\in \{1,\dots,n\}$ genau eine lineare Abbildung $e_i^*:V\rightarrow K$ mit e_i^*(e_i) = 1 und e_i^*(e_j) = 0 für $j \ne i$ , denn eine lineare Abbildung ist durch die Bilder auf einer Basis eindeutig bestimmt. Die so definierten e_i^* bilden eine Basis des Dualraums $V^{*}$ , die zur Basis $\{e_{1},\dotsc ,e_{n}\}$ von duale Basis. Mit der Kronecker-Delta-Schreibweise, ist also die definierende Eigenschaft der dualen Basis $e_{i}^{*}(e_{j})=\delta _{ij}$ .

Verhalten bei Basiswechsel

Sei $\{e_{1},\dotsc ,e_{n}\}$ eine Basis von und $\{e_{1}^{*},\dotsc ,e_{n}^{*}\}$ die zugehörige duale Basis. Weiter sei $\{a_{1},\dotsc ,a_{n}\}$ eine zweite Basis von mit $a_{j}=\sum _{k}A_{kj}e_{k}$ .

Als Matrix eines Basiswechsels ist invertierbar. Die Komponenten der Inversen $A^{-1}$ seien mit $A_{ik}^{-1}$ bezeichnet. Ein Vergleich von

$\sum _{k}A_{ik}^{-1}{e}_{k}^{*}(a_{j})=\sum _{k}A_{ik}^{-1}A_{kj}=\delta _{ij}$

mit der definierenden Eigenschaft $a_{i}^{*}(a_{j})=\delta _{ij}$ ergibt sofort das Transformationsverhalten der dualen Basis:

$a_{i}^{*}=\sum _{k}A_{ik}^{-1}e_{k}^{*}$ .

Berechnung bezüglich einer festen Basis

Ein endlichdimensionaler Vektorraum der Dimension über dem Körper ist stets isomorph zum Koordinatenraum $K^{n}$ der Spalten-Vektoren mit Einträgen aus . Wählt man als Isomorphismus

$e_{1}\mapsto {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\\vdots \end{pmatrix}}$ , $e_{1}^{*}\mapsto \left(1,0,0,\dotsc \right)$ usw.,

wird $a_{i}^{*}$ gemäß obigem abgebildet auf die i-te Zeile von $A^{-1}$ .

Tensor-Schreibweise

Im Tensor-Formalismus der Relativitätstheorie schreibt man die Basis eines Vektorraumes (wie etwa eines Tangentialraums) mit oberen Indizes, (e^i)_i , nennt diese Vektoren kontravariant und versteht diese als Spalten-Vektoren. Die zugehörige kovariante Basis ist dann genau die oben vorgestellte duale Basis in Form von Zeilen-Vektoren. Diese schreibt man dann mit unteren Indizes, (e_i)_i . Die definierende Bedingung lautet dann $e^je_i = \delta_i^j$ .

Der Grund für diese Schreibweise ist das unterschiedliche Transformationsverhalten der Vektoren bei Basiswechsel. Ist die lineare Transformation, die eine Basis (e^i)_i auf eine andere (e'^i)_i abbildet, so gilt:

$\delta_i^j = e^je_i = e^jL^{-1}Le_i = e^jL^{-1}e'^i$

und man liest ab, dass sich die duale Basis mittels $L^{-1}$ transformiert. Betrachtet man Koordinaten bezüglich der Basen, so findet man ähnliche Verhältnisse. Ist etwa $L=(l_{\ j}^i)$ und ist $L^{-1}=(\tilde{l}_{\ j}^i)$ , so gilt bei Beachtung der Einsteinschen Summenkonvention für einen Vektor $v=\lambda_ie^i$ :

$v = \lambda_ie^i = \lambda_i\delta^i_je^j = \lambda_i \tilde{l}_{\ k}^i l_{\ j}^k e^j = \lambda_i \tilde{l}_{\ k}^i e'^k$ .

Der Koeffizient von zum Basisvektor e'^k ist also $\lambda_i \tilde{l}_{\ k}^i$ , das heißt die Koeffizienten transformieren sich ebenfalls mittels der inversen Transformationsmatrix. Generell schreibt man alle (kontravarianten) Größen, die sich mittels transformieren, mit oberen Indizes und alle (kovarianten) Größen, die sich gegenläufig, also mittels $L^{-1}$ transformieren, mit unteren Indizes.

Duale Basis im euklidischen Vektorraum V

Definition und Berechnung

Sei $\{{\vec {a}}_{1},\dotsc ,{\vec {a}}_{n}\}$ eine beliebige Basis eines euklidischen Vektorraums . Die dazu duale Basis $\{{\vec {a}}_{1}^{*},\dotsc ,{\vec {a}}_{n}^{*}\}$ in ist definiert durch die Eigenschaft

${\vec {a}}_{i}^{*}\cdot {\vec {a}}_{j}=\delta _{ij}$ ,

Hierbei bezeichnet $\cdot$ das Skalarprodukt.

Weiter sei $\{{\hat {e}}_{1},\dotsc ,{\hat {e}}_{n}\}$ eine Orthonormalbasis in , $\textstyle {\vec {a}}_{j}=\sum _{k}A_{kj}{\hat {e}}_{k}$ beschreibe den Basiswechsel mit der invertierbaren Matrix . Durch Vergleichen von

$(\sum _{k}A_{ik}^{-1}{\hat {e}}_{k})\cdot {\vec {a}}_{j}=\sum _{k}A_{ik}^{-1}A_{kj}=\delta _{ij}$

mit ${\vec {a}}_{i}^{*}\cdot {\vec {a}}_{j}=\delta _{ij}$ ergibt sich

${\vec {a}}_{i}^{*}=\sum _{k}A_{ik}^{-1}{\hat {e}}_{k}$ .

Mit dem dyadischen Produkt $\otimes$ schreibt sich das:

$A=\sum _{k}{\vec {a}}_{k}\otimes {\hat {e}}_{k}\quad \Leftrightarrow \quad A^{-1}=\sum _{k}{\hat {e}}_{k}\otimes {\vec {a}}_{k}^{*}$

Die Vektoren $\{{\vec {a}}_{1},\dotsc ,{\vec {a}}_{n}\}$ bilden hier die Spalten der Matrix (oder des Tensors zweiter Stufe) und die duale Basis findet sich in den Zeilen der Inversen $A^{-1}.$

Spezialfall R³

Im Vektorraum $\mathbb {R} ^{3}$ mit Standardskalarprodukt $\cdot$ und Kreuzprodukt $\times$ findet sich mit obiger Gleichung und der Formel für Matrizeninversion:

${\begin{aligned}{\vec {a}}_{1}^{*}=&{\frac {{\vec {a}}_{2}\times {\vec {a}}_{3}}{{\vec {a}}_{1}\cdot ({\vec {a}}_{2}\times {\vec {a}}_{3})}}={\frac {{\vec {a}}_{2}\times {\vec {a}}_{3}}{\begin{vmatrix}{\vec {a}}_{1}&{\vec {a}}_{2}&{\vec {a}}_{3}\end{vmatrix}}}\\{\vec {a}}_{2}^{*}=&{\frac {{\vec {a}}_{3}\times {\vec {a}}_{1}}{{\vec {a}}_{2}\cdot ({\vec {a}}_{3}\times {\vec {a}}_{1})}}={\frac {{\vec {a}}_{3}\times {\vec {a}}_{1}}{\begin{vmatrix}{\vec {a}}_{1}&{\vec {a}}_{2}&{\vec {a}}_{3}\end{vmatrix}}}\\{\vec {a}}_{3}^{*}=&{\frac {{\vec {a}}_{1}\times {\vec {a}}_{2}}{{\vec {a}}_{3}\cdot ({\vec {a}}_{1}\times {\vec {a}}_{2})}}={\frac {{\vec {a}}_{1}\times {\vec {a}}_{2}}{\begin{vmatrix}{\vec {a}}_{1}&{\vec {a}}_{2}&{\vec {a}}_{3}\end{vmatrix}}}\end{aligned}}$

Im Nenner der Brüche steht das mit den Basisvektoren gebildete Spatprodukt, das invariant gegenüber einer zyklischen Vertauschung seiner Argumente ist, und das gleich der Determinante der Matrix ist, die aus den Basisvektoren gebildet wird. Die definierende Eigenschaft ist hier sofort ersichtlich.

Anwendung aus der Kristallographie

Die Bestimmung dieser dualen Basis im $\mathbb {R} ^{3}$ ist bei der Beschreibung von Kristallgittern wichtig. Dort bilden die primitiven Gittervektoren $\{{\vec {a}}_{1},{\vec {a}}_{2},{\vec {a}}_{3}\}$ eine (i. A. nicht orthonormale) Basis des $\mathbb {R} ^{3}$ . Das Skalarprodukt zwischen Basisvektoren der reziproken Basis ${\vec {b}}_{i}$ und primitiven Gittervektoren ${\vec {a}}_{j}$ ist in der kristallographischen Konvention:

${\vec {b}}_{i}\cdot {\vec {a}}_{j}=\delta _{ij}$ ,

$\{{\vec {b}}_{1},{\vec {b}}_{2},{\vec {b}}_{3}\}$ ist also die zu $\{{\vec {a}}_{1},{\vec {a}}_{2},{\vec {a}}_{3}\}$ duale Basis im $\mathbb {R} ^{3}$ .

Beispiel: Die primitiven Gittervektoren des kubisch-flächenzentrierten (fcc) Gitters lauten:

${\vec {a}}_{1}={\frac {a}{2}}\left({\hat {e}}_{y}+{\hat {e}}_{z}\right)$

${\vec {a}}_{2}={\frac {a}{2}}\left({\hat {e}}_{x}+{\hat {e}}_{z}\right)$

${\vec {a}}_{3}={\frac {a}{2}}\left({\hat {e}}_{x}+{\hat {e}}_{y}\right)$

Obige Gleichungen für den $\mathbb {R} ^{3}$ ergeben:

${\vec {b}}_{1}={\frac {1}{a}}\left(-{\hat {e}}_{x}+{\hat {e}}_{y}+{\hat {e}}_{z}\right)$

${\vec {b}}_{2}={\frac {1}{a}}\left({\hat {e}}_{x}-{\hat {e}}_{y}+{\hat {e}}_{z}\right)$

${\vec {b}}_{3}={\frac {1}{a}}\left({\hat {e}}_{x}+{\hat {e}}_{y}-{\hat {e}}_{z}\right)$

Diese bilden ein kubisch-raumzentriertes (bcc) Gitter.

Verallgemeinerung auf pseudo-riemannsche Metrik

Im endlichdimensionalen Vektorraum mit pseudo-riemannscher Metrik und einer Basis $\{{\vec {e}}_{1},\dotsc ,{\vec {e}}_{n}\}$ betrachte den Dualvektor $\alpha _{i}$ definiert durch

$\alpha _{i}({\vec {v}}):=e_{1}^{*}\wedge e_{2}^{*}\wedge \dotsc \wedge e_{n}^{*}({\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},\dotsc ,{\vec {e}}_{i-1},{\vec {v}},{\vec {e}}_{i+1},\dotsc ,{\vec {e}}_{n})$ .

Dann gilt

$g({\vec {e}}_{i}^{*},{\vec {e}}_{j})=\delta _{ij}$ mit ${\vec {e}}_{i}^{*}:=\sharp \alpha _{i}$ .

Dabei ist $e_{i}^{*}$ der duale Vektor im Dualraum aus der ersten Bedeutung, $\wedge$ das äußere Produkt und $\sharp$ der durch die pseudo-riemannsche Metrik induzierte Isomorphismus zwischen $V^{*}$ und .