Schwache Topologie

Die schwache Topologie ist in der Mathematik eine spezielle Topologie, die auf normierten Räumen definiert wird. Die Konvergenz bezüglich der schwachen Topologie wird dann schwache Konvergenz genannt. Die schwache Konvergenz und die schwache Topologie ist ein zentrales Konzept der Funktionalanalysis, da sich mit ihr beispielsweise allgemeinere Kriterien für die Existenz von Minima und Maxima formulieren lassen.

Definition in normierten Räumen

Gegeben sei ein normierter Raum sowie sein topologischer Dualraum , also der Vektorraum aller stetigen linearen Funktionale

$x'\colon X\to \mathbb {K}$ ,

der versehen mit der Operatornorm auch zum normierten Vektorraum wird.

Über die linearen Funktionale

Eine Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ in heißt schwach konvergent gegen $x\in X$ , wenn

$\lim _{n\to \infty }x'(x_{n})=x'(x){\text{ für alle }}x'\in X'$

gilt. Die von der schwachen Konvergenz erzeugte Topologie $\tau _{s}$ heißt dann die schwache Topologie auf .

Als Initialtopologie

Umgekehrt lässt sich die schwache Topologie auf auch als Initialtopologie definieren. Die schwache Topologie ist dann die Initialtopologie auf bezüglich der Elemente aus . Somit ist die schwache Topologie $\tau _{s}$ die gröbste Topologie auf , so dass alle Elemente des topologischen Dualraumes

$x':X\to \mathbb {R}$

stetig sind. Eine bezüglich der schwachen Topologie konvergente Folge heißt dann schwach konvergent.

Eine andere Formulierung ist, dass die Urbilder offener Mengen der normstetigen linearen Funktionale eine Subbasis der schwachen Topologie bilden. Konkret bedeutet dies, dass man die offenen Mengen auf wie folgt konstruiert:

Bilde alle Urbilder $\phi ^{-1}(O)\subseteq X$ für $\phi \in X^{\prime }$ und $O\subseteq {\mathbb {R}}$ bzw. $\mathbb {C}$ offen,

bilde alle endlichen Durchschnitte der Mengen aus dem ersten Schritt,

bilde alle Vereinigungen (auch unendliche) der Mengen aus dem zweiten Schritt.

Dies sind alle offenen Mengen der schwachen Topologie auf .

Beispiel

Betrachtet man als normierten Raum den Lp-Raum $L^{p}$ mit $p \in (1, \infty)$ , so ist aufgrund der Dualität von Lp-Räumen ist der Dualraum normisomorph zu $L^{q}$ , wobei der zu konjugierte Index ist. Es gilt also ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1$ .

Somit besitzt jedes stetige lineare Funktional

$x'_{g}:X\to \mathbb {R}$

eine Darstellung von der Form

$x'_{g}(f)=\int fg\mathrm {d} \mu$ ,

wobei $g\in L^{q}$ und $f\in L^{p}$ ist. Somit ist eine Funktionenfolge $(f_{n})_{{n\in \mathbb{N} }}$ aus $L^{p}$ genau dann schwach konvergent gegen $f\in L^{p}$ , wenn

$\lim _{n\to \infty }\int f_{n}g\mathrm {d} \mu =\int fg\mathrm {d} \mu {\text{ für alle }}g\in L^{q}$

gilt. Dies ist genau die Schwache Konvergenz in Lp.

Eigenschaften als topologischer Raum

Durch die schwache Topologie wird $(X,\tau _{S})$ zu einem lokalkonvexen Raum, dessen Topologie beispielsweise durch die Menge

${\mathcal {P}}:=\{f_{x'}\,|\,f_{x'}(x)=|x'(x)|{\text{ für }}x\in X{\text{ und }}x'\in X'\}$ .

von Halbnormen beschrieben werden kann.

Definiert man für ein ${\mathcal {X}}'\subset X'$ mit $|{\mathcal {X}}'|<\infty$ und $\epsilon >0$

$U_{{\mathcal {X}}',\epsilon }:=\{x\in X\,|\,f_{x'}(x)\leq \epsilon {\text{ für alle }}x'\in {\mathcal {X}}'\}$ ,

so ist eine Nullumgebungsbasis von $\tau _{S}$ gegeben durch

${\mathcal {U}}=\{U_{{\mathcal {X}}',\epsilon }\,|\,{\mathcal {X}}'\subset X',\,|{\mathcal {X}}'|<\infty ,\epsilon >0\}$ .

Des Weiteren garantiert der Satz von Hahn-Banach, dass der Topologische Raum $(X,\tau _{S})$ immer ein Hausdorff-Raum ist, denn lokalkonvexe Räume sind genau dann Hausdorff-Räume, wenn zu jedem $x\neq 0$ ein $f\in {\mathcal {P}}$ existiert, so dass $f(x)\neq 0$ ist. Somit sind Grenzwerte von Folgen bezüglich der schwachen Konvergenz (sofern sie existieren) eindeutig.

Beziehung zur Normkonvergenz

Die Normtopologie $\tau _{N}$ des vorgegebenen Raumes ist immer feiner als die schwache Topologie $\tau _{S}$ , es gilt also

$\tau _{S}\subset \tau _{N}$ .

Im allgemeinen ist diese Inklusion echt, das heißt alle normkonvergenten Folgen sind auch schwach Konvergent, aber es existieren auch schwach konvergente Folgen, die nicht normkonvergent sind.

Ein Beispiel hierfür lässt sich im Folgenraum $\ell ^{p}$ konstruieren, wobei $p \in (1, \infty)$ ist. Wählt man als Folge

$e_{1}=(1,0,0,\dots ),\,e_{2}=(0,1,0,0,\dots ),\dots$ ,

so ist immer

$\lim _{n\to \infty }\|e_{n}\|_{\ell ^{p}}=1$ .

Ist aber $\Phi \in \left(\ell ^{p}\right)'$ , so gibt es eine Folge $(a_{n})_{{n\in \mathbb{N} }}$ aus $\ell ^{q}$ , so dass

$\Phi (x)=\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}x_{i}$

ist. Dabei ist wieder der zu konjugierte Index. Somit ist

$\lim _{n\to \infty }\Phi (e_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ ,

da $(a_{n})_{{n\in \mathbb{N} }}$ eine Nullfolge ist. Somit konvergiert die Folge schwach gegen 0, aber nicht bezüglich der Norm gegen 0.

Der Satz von Mazur liefert eine eingeschränkte Umkehrung: Er besagt, dass aus den Folgengliedern einer schwach konvergenten Folge immer durch Konvexkombinationen eine zweite Folge konstruiert werden kann, die bezüglich der Norm konvergiert.

Insbesondere ist die Norm $\|\cdot \|$ nicht mehr stetig bezüglich der schwachen Konvergenz, sondern nurnoch unterhalbstetig. Ist also eine Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ schwach konvergent in gegen , so gilt

$\|x\|\leq \liminf _{n\to \infty }\|x_{n}\|$ .

Beziehung zur schwach-*-Topologie

Analog zur schwachen Topologie auf einem normierten Raum lässt sich eine schwach-*-Topologie auf dessen topologischen Dualraum als Initialtopologie oder über die linearen Funktionale definieren. Dazu fasst man die Elemente aus über

$T_{x}:X'\to \mathbb {K} ,\quad T_{x}(x'):=x'(x)$

als lineare Funktionale auf auf. Dann ist die schwach-*-Topologie die gröbste Topologie auf , so dass alle diese Funktionale stetig sind. Alternativ heißt eine Folge $(x'_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ schwach-*-konvergent in gegen $x'$ , wenn

$\lim _{n\to \infty }x_{n}'(x)=x'(x){\text{ für alle }}x\in X$

gilt.

Auf ist die schwach-* Topologie gröber als die schwache: Konvergiert eine Folge $(x'_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ schwach in , so konvergiert sie auch schwach-* in . Denn konvergiert die Folge schwach, so gilt

$\lim _{n\to \infty }T(x'_{n})=T(x){\text{ für alle }}T\in X''$

und somit insbesondere für alle

$T_{x}:X'\to \mathbb {K} ,\quad T_{x}(x'):=x'(x)$

mit $x\in X$ , da es sich um Elemente des Dualraumes von handelt. Somit ist

$\lim _{n\to \infty }x_{n}'(x)=x'(x){\text{ für alle }}x\in X$ ,

was der schwach-*-Konvergenz in entspricht.

Außerdem konvergiert eine Folge genau dann schwach in , wenn sie im Bidualraum $X''$ schwach-* konvergiert. Dies beruht auf der Einbettung

$X\to X'',\quad x\mapsto T_{x}$

der Elemente von in $X''$ . Hieraus folgt, dass für reflexive Räume schwache und schwach-*-Topologie übereinstimmen.

Eigenschaften

Die abgeschlossene Einheitskugel von ist genau dann schwach kompakt, wenn ein reflexiver Banachraum ist.
In lokalkonvexen topologischen Vektorräumen sind abgeschlossene und konvexe Teilmengen schwach abgeschlossen.
Der Satz von Eberlein–Šmulian stellt die Äquivalenz von Kompaktheit und Folgenkompaktheit bzgl. der schwachen Topologie auf Banachräumen fest.
Jede schwache konvergente Folge eines normierten Vektorraums ist beschränkt. Diese Eigenschaft ist eine Folgerung aus dem Satz von Banach-Steinhaus.
In einem reflexiven Raum besitzt jede beschränkte Folge eine schwach konvergente Teilfolge. Da jeder Hilbertraum reflexiv ist, besitzt also eine beschränkte Folge in einem Hilbertraum immer eine schwach konvergente Teilfolge.
In einem Hilbertraum ist die schwache Konvergenz äquivalent zur komponentenweisen Konvergenz bezüglich einer Orthogonalbasis.

Merkregel zum Begriff „schwach“ in der Funktionalanalysis

„Schwach“ bedeutet so viel wie „bzgl. aller stetigen Linearformen …“.

Beispiele:

Eine Folge ist genau dann schwach konvergent, wenn sie bzgl. aller stetigen Linearformen konvergiert.
Eine Menge ist genau dann schwach folgenkompakt, wenn jede Folge daraus eine bzgl. aller stetigen Linearformen konvergente Teilfolge besitzt.
Eine Menge ist genau dann schwach beschränkt, wenn unter jeder der in Betracht gezogenen stetigen Linearformen die zugehörige Bildmenge eine beschränkte Menge innerhalb des zugrundeliegenden Körpers ist. Man beachte: Wegen des Satzes von Banach-Steinhaus ist jede schwach beschränkte Menge immer normbeschränkt.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de