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Umgebungsbasis

Als Umgebungsbasis bezeichnet man in der Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, ein spezielles Mengensystem von offenen Mengen. Über die Eigenschaften von Umgebungsbasen lassen sich spezielle Klassen von topologischen Räumen wie lokalkompakte Räume und lokalkonvexe Räume definieren. Außerdem greift das erste Abzählbarkeitsaxiom auf die Mächtigkeit der Umgebungsbasis zurück und impliziert damit grundlegende strukturelle topologische Eigenschaften. Wichtiger Spezialfall von Umgebungsbasen sind Nullumgebungsbasen.

Definition

Gegeben sei ein Topologischer Raum (X,\tau ). Dann heißt eine Familie

{\displaystyle {\mathcal {U}}_{x}:=(U_{x,i})_{i\in I}}

von Umgebungen von x eine Umgebungsbasis von x, wenn jede Umgebung von x eine Menge aus {\displaystyle {\mathcal {U}}_{x}} enthält.

Beispiele

Betrachtet man den \mathbb {R} ^{n}, versehen mit einer beliebigen Norm {\displaystyle \|\cdot \|}, so ist

{\displaystyle B_{r}(x):=\{y\in \mathbb {R} ^{n}\,|\,\|x-y\|<r\}}

die offene Kugel mit Radius r um den Punkt x. Eine Umgebungsbasis bezüglich der Normtopologie wird dann gebildet von

{\displaystyle {\mathcal {U}}_{x}:=\{B_{r}(x)\,|\,r\in (0,\infty )\}}.

In diesem Fall lässt sich auch eine abzählbare Umgebungsbasis definieren durch

{\displaystyle {\mathcal {U}}_{x}:=\{B_{\tfrac {1}{k}}(x)\,|\,k\in \mathbb {N} \}}.

Analog lässt sich in jedem metrischen Raum (X, d) eine (abzählbare) Umgebungsbasis bezüglich der von der Metrik erzeugten Topologie über die offenen Kugeln

{\displaystyle B_{r}(x):=\{y\in X\,|\,d(x,y)<r\}}

definieren.

Spezialfall Nullumgebungsbasis

Auf einem topologischen Vektorraum X wird eine Umgebungsbasis der Null eine Nullumgebungsbasis genannt. Für jeden Punkt x\in X und jede Nullumgebungsbasis {\displaystyle {\mathcal {U}}_{0}} geht eine Umgebungsbasis {\displaystyle {\mathcal {U}}_{x}} von x durch entsprechende Translation hervor:

{\displaystyle {\mathcal {U}}_{x}:=x+{\mathcal {U}}_{0}\;.}

Verwandte Begriffe

Als Umgebungsfilter oder Umgebungssystem von x wird die Menge aller Umgebungen von x bezeichnet. Der Umgebungsfilter von x ist folglich die größt möglich Umgebungsbasis von x und dem Name entsprechend ein Filter.

Eigenschaften

Besitzt ein topologischer Raum eine höchstens abzählbare Umgebungsbasis, so sagt man, dass er das erste Abzählbarkeitsaxiom erfüllt. Solche Räume sind aus mathematischer Sicht "klein" und leichter zu handhaben.

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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 30.11. 2020