Satz von Banach-Steinhaus

Der Satz von Banach-Steinhaus ist eines der fundamentalen Ergebnisse der Funktionalanalysis, einem der Teilgebiete der Mathematik. In der Literatur werden häufig drei verschiedene, aber miteinander verwandte Sätze als Satz von Banach-Steinhaus bezeichnet. Die abstrakteste Fassung ist auch als Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit bekannt, welches seinerseits aus dem Satz von Osgood folgt. Die beiden anderen Fassungen sind Folgerungem aus diesem. Ebenso wie der Satz über die offene Abbildung beruhen diese Sätze auf dem berühmten Kategoriensatz von Baire. Zusammen mit dem Satz von Hahn-Banach gelten all diese Sätze als Eckpfeiler des Gebiets.

Hugo Steinhaus und Stefan Banach veröffentlichten den Satz 1927. Er wurde jedoch unabhängig davon auch von Hans Hahn bewiesen.

Satz von Banach-Steinhaus

Seien und Banachräume und $(T_{n})_{{n\in \mathbb{N} }}$ mit $T_{n}\colon X\to Y$ $(n\in \mathbb {N} )$ eine Folge stetiger linearer Operatoren.

Dann gilt: $(T_{n})_{{n\in \mathbb{N} }}$ konvergiert punktweise gegen einen stetigen linearen Operator genau dann, wenn die beiden nachstehenden Bedingungen erfüllt sind:

Die Operatornormenfolge $(\|T_{n}\|)_{{n\in \mathbb{N} }}$ ist eine beschränkte Folge innerhalb der reellen Zahlen.
Es existiert in eine dichte Teilmenge $X_{0}\subseteq X$ , so dass für jedes $x_{0}\in X_{0}$ die Folge $({T_{n}}x_{0})_{{n\in \mathbb{N} }}$ innerhalb konvergiert.

Satz von Banach-Steinhaus (Variante)

Sei ein Banachraum, ein normierter Raum und $(T_{n})_{{n\in \mathbb{N} }}$ mit $T_{n}\colon X\to Y$ $(n\in \mathbb {N} )$ eine Folge stetiger linearer Operatoren.

Dann gilt: Falls $(T_{n})_{{n\in \mathbb{N} }}$ punktweise konvergiert, so definiert $Tx:=\lim _{{n\rightarrow \infty }}{T_{n}}x$ $(x\in X)$ einen stetigen linearen Operator $T:X\rightarrow Y$ und es gilt $\left\|T\right\|\leq \liminf _{{n\rightarrow \infty }}{\left\|T_{n}\right\|}\leq \sup _{{n\in \mathbb{N} }}{\left\|T_{n}\right\|}<\infty .$

Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit

Sei ein Banachraum, ein normierter Vektorraum und eine Familie stetiger, linearer Operatoren von nach .

Dann folgt aus der punktweisen Beschränktheit

$\sup \left\{\,\|T(x)\|:T\in F\,\right\}<\infty$ für alle $x\in X$

die gleichmäßige Beschränktheit

$\sup \left\{\,\|T\|:T\in F\;\right\}<\infty .$

Beweis des Prinzips der gleichmäßigen Beschränktheit

Unter Verwendung des Baire’schen Kategoriensatzes:

Für $n=1,2,3,\ldots$ sei $X_{n}=\left\{x\in X|\forall T\in F:\|T(x)\|\leq n\right\}$ . Nach Annahme ist die Vereinigung aller $X_{n}$ gleich .

Da jedes $X_{n}$ abgeschlossen ist, hat eines der $X_{n}$ einen inneren Punkt, das heißt, es gibt ein $\delta >0$ und ein $y\in X$ , sodass

$\forall x\in X:\|x-y\|<\delta \Rightarrow x\in X_{n}.$

Für jedes mit $\|z\|<\delta$ gilt dann:

$\forall T\in F:\|T(z)\|\leq \|T(y+z)\|+\|T(y)\|\leq n+n=2n.$

Also ist $\|T\|\leq {\tfrac {2n}{\delta }}$ für alle $T\in F$ , sodass ${\tfrac {2n}{\delta }}$ eine gleichmäßige Schranke für die Menge ist.

Anmerkungen

Punktweise Konvergenz von Operatoren wird in Abgrenzung zur schwachen Konvergenz auch als starke Konvergenz bezeichnet und sollte nicht mit der noch stärkeren Normkonvergenz verwechselt werden.
Die Vollständigkeit von ist eine wesentliche Voraussetzung in obiger Variante, um das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit anwenden zu können. Falls man wie in der Hauptfassung lediglich punktweise Konvergenz auf einer dichten Teilmenge $X_{0}\subseteq X$ voraussetzt, muss die Beschränktheit der Folge $(\|T_{n}\|)_{{n\in \mathbb{N} }}$ der Operatornormen zusätzlich vorausgesetzt werden.
Am einfachsten folgt obige Hauptfassung mit Hilfe der Variante und diese wiederum aus dem Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit.

Folgerungen

Jede schwach konvergente Folge eines normierten Vektorraums ist beschränkt.

Verallgemeinerungen

Für lineare Operatoren auf tonnelierten Räumen

Die allgemeine Form des Satzes gilt für tonnelierte Räume:

Ist ein tonnelierter Raum, ein lokalkonvexer Raum, so gilt: Jede Familie punktweise beschränkter, stetiger, linearer Operatoren von nach ist gleichgradig stetig (sogar gleichmäßig gleichgradig stetig).

Die tonnelierten Räume sind gerade diejenigen lokalkonvexen Räume, in denen der Satz von Banach-Steinhaus gilt.

Für stetige reellwertige Funktionen auf vollständigen metrischen Räumen

Gegeben sei ein vollständiger metrischer Raum (X,d) und weiter eine Familie ${\mathcal F}=(f_{i})_{{i\in I}}$ von stetigen reellwertigen Funktionen

$f_{i}\colon (X,d)\to \mathbb{R} \;\;(i\in I)$ ,

welche punktweise gleichmäßig nach oben beschränkt sei:

$\sup _{{i\in I}}{f_{i}(x)}<\infty \;\;(x\in X)$ .

Dann gibt es in (X,d) eine nicht-leere offene Teilmenge derart, dass die Familie ${{\mathcal F}}{\upharpoonright U}={({f_{i}}{\upharpoonright }U)}_{{i\in I}}$ der auf eingeschränkten Funktionen sogar gleichmäßig nach oben beschränkt ist, also der Bedingung

$\sup _{{i\in I\;,\;u\in U}}{f_{i}(u)}<\infty$

genügt.

Für stetige reellwertige Funktionen auf topologischen Räumen

Es existiert darüber hinaus eine sehr weit reichende Verallgemeinerung für stetige reellwertige Funktionen auf beliebigen topologischen Räumen. Diese ist Inhalt des Satzes von Osgood in der Funktionalanalysis.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de