Gleichmäßige gleichgradige Stetigkeit

Die gleichmäßige gleichgradige Stetigkeit verbindet die Begriffe gleichmäßiger und gleichgradiger Stetigkeit.

Seien (X,d_X) , (Y,d_Y) metrische Räume, sei $F\subset C_{b}(X,Y)$ eine Teilmenge beschränkter, stetiger Funktionen. Die Funktionenfamilie/ -schar heißt gleichgradig gleichmäßig stetig, wenn gilt:

Für alle $\varepsilon >0$ existiert ein $\delta >0$ , so dass für alle $x,x'\in X$ und für alle $f\in F$ gilt:

$d_{X}(x,x')\leq \delta \Rightarrow d_{Y}\left(f(x),f(x')\right)\leq \varepsilon$ .

Das heißt, wenn man ein $\varepsilon$ vorgibt, findet man ein $\delta$ , so dass die Aussage für alle Funktionen der Familie und für alle Punkte des Raumes gilt. $\delta$ hängt also nur von $\varepsilon$ ab, weder von noch von .

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