Binomialverteilung

Binomialverteilung
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Verteilungsfunktion
Parameter	$n\in \mathbb{N} ^{+}$ , $p\in [0,1]$
Träger	$k\in \{0,\dotsc ,n\}$
Wahrscheinlichkeitsfunktion	$\textstyle {n \choose k}\,p^{k}(1-p)^{n-k}$
Verteilungsfunktion	$I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor ,1+\lfloor k\rfloor )$
Erwartungswert
Median	$\lfloor np\rfloor \leq m\leq \lceil (n+1)p\rceil$
Modus	$\lfloor (n+1)p\rfloor$ oder $\lfloor (n+1)p-1\rfloor$
Varianz
Schiefe	${\frac {1-2p}{\sqrt {np(1-p)}}}$
Wölbung	$3+{\frac {1-6p(1-p)}{np(1-p)}}$
Entropie	${\frac {1}{2}}\log _{2}{\big (}2\pi \mathrm {e} \,np(1-p){\big )}$ $+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{n}}\right)$
Momenterzeugende Funktion	$\left(1-p+p\mathrm {e} ^{t}\right)^{n}$
Charakteristische Funktion	$\left(1-p+p\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t}\right)^{n}$

Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung für

;

(blau),

(grün) und

(rot)

Binomialverteilungen für

mit und wie im Pascalschen Dreieck

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel in einem Galtonbrett mit acht Ebenen (

) ins mittlere Fach fällt (

), ist

Die Binomialverteilung ist eine der wichtigsten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Sie beschreibt die Anzahl der Erfolge in einer Serie von gleichartigen und unabhängigen Versuchen, die jeweils genau zwei mögliche Ergebnisse haben („Erfolg“ oder „Misserfolg“). Solche Versuchsserien werden auch Bernoulli-Prozesse genannt.

Ist die Erfolgswahrscheinlichkeit bei einem Versuch und die Anzahl der Versuche, dann bezeichnet man mit $B(k\mid p,n)$ , $B_{n,p}(k)$ , B(n,p,k) oder B(n;p;k) die Wahrscheinlichkeit, genau Erfolge zu erzielen (siehe Abschnitt Definition der Binomialverteilung).

Die Binomialverteilung und der Bernoulli-Versuch können mit Hilfe des Galtonbretts veranschaulicht werden. Dabei handelt es sich um eine mechanische Apparatur, in die man Kugeln wirft. Diese fallen dann zufällig in eines von mehreren Fächern, wobei die Aufteilung der Binomialverteilung entspricht. Je nach Konstruktion sind unterschiedliche Parameter und möglich.

Obwohl die Binomialverteilung bereits lange vorher bekannt war, wurde der Begriff zum ersten Mal 1911 in einem Buch von George Udny Yule verwendet.

Beispiele

Die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl größer als 2 zu würfeln, beträgt $p={\tfrac {2}{3}}$ ; die Wahrscheinlichkeit , dass dies nicht der Fall ist, beträgt $q={\tfrac {1}{3}}$ . Angenommen, man würfelt 10-mal ( n=10 ), dann gibt es eine kleine Wahrscheinlichkeit, dass kein einziges Mal eine Zahl größer als 2 gewürfelt wird oder umgekehrt jedes Mal. Die Wahrscheinlichkeit, dass man -mal eine solche Zahl würfelt $(0\leq k\leq 10)$ , wird durch die Binomialverteilung $B_{n,p}(k)$ beschrieben.

Häufig wird der durch die Binomialverteilung beschriebene Prozess auch durch ein sogenanntes Urnenmodell illustriert. In einer Urne seien z.B. 6 Kugeln, 2 davon schwarz, die anderen weiß. Man greife nun 10-mal in die Urne, hole eine Kugel heraus, notiere deren Farbe und lege die Kugel wieder zurück. In einer speziellen Deutung dieses Prozesses wird das Ziehen einer weißen Kugel als „positives Ereignis“ mit der Wahrscheinlichkeit verstanden, das Ziehen einer nicht-weißen Kugel als „negatives Resultat“. Die Wahrscheinlichkeiten sind genauso verteilt wie im vorherigen Beispiel des Würfelns.

Definition der Binomialverteilung

Wahrscheinlichkeitsfunktion, (kumulierte) Verteilungsfunktion, Eigenschaften

Die diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion

$B(k\mid p,n)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}$ für $k=0,1,\dotsc ,n$

heißt die Binomialverteilung zu den Parametern (Anzahl der Versuche) und $p\in \left]0,1\right[$ (der Erfolgs- oder Trefferwahrscheinlichkeit). Statt $B(k\mid p,n)$ schreibt man vielfach auch $B_{n,p}(k)$ , B(n,p,k) oder B(n;p;k) .

Die obige Formel kann so verstanden werden: Wir brauchen bei insgesamt Versuchen genau Erfolge der Wahrscheinlichkeit $p^{k}$ und haben demzufolge genau n-k Fehlschläge der Wahrscheinlichkeit $(1-p)^{n-k}$ . Allerdings kann jeder der Erfolge bei jedem der Versuche auftreten, sodass wir noch mit der Anzahl ${\tbinom {n}{k}}$ der -elementigen Teilmengen einer -elementigen Menge multiplizieren müssen. Denn genau so viele Möglichkeiten gibt es, aus allen Versuchen die erfolgreichen auszuwählen.

Die zur Erfolgswahrscheinlichkeit komplementäre Ausfallwahrscheinlichkeit 1-p wird häufig mit abgekürzt. Wie für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung notwendig, müssen sich die Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Werte zu 1 summieren. Dies ergibt sich aus dem binomischen Lehrsatz wie folgt:

$\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}=\left(p+\left(1-p\right)\right)^{n}=1^{n}=1$

Eine nach $B(\cdot \mid p,n)$ verteilte Zufallsgröße heißt dementsprechend binomialverteilt mit den Parametern und sowie der Verteilungsfunktion

$F_{X}(x)=\operatorname {P} (X\leq x)=\sum _{k=0}^{\lfloor x\rfloor }{\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}$ ,

wobei $\lfloor x\rfloor$ die Abrundungsfunktion bezeichnet.

Weitere gebräuchliche Schreibweisen dieser sogenannten kumulierten Binomialverteilung sind $F(k\mid p,n)$ , F(n,p,k) und F(n;p;k) .

Herleitung als Laplace-Wahrscheinlichkeit

Versuchsschema: Eine Urne enthält Bälle, davon sind schwarz und N-M weiß. Die Wahrscheinlichkeit , einen schwarzen Ball zu ziehen, ist also $p={\frac {M}{N}}$ . Es werden nacheinander zufällig Bälle entnommen, ihre Farbe bestimmt und wieder zurückgelegt.

Wir berechnen die Anzahl der Möglichkeiten, in denen man schwarze Bälle findet, und daraus die sogenannte Laplace-Wahrscheinlichkeit („Anzahl der für das Ereignis günstigen Möglichkeiten, geteilt durch die Gesamtanzahl der (gleichwahrscheinlichen) Möglichkeiten“).

Bei jeder der Ziehungen gibt es Möglichkeiten, insgesamt also $N^{n}$ Möglichkeiten für die Auswahl der Bälle. Damit genau dieser Bälle schwarz sind, müssen genau der Ziehungen einen schwarzen Ball aufweisen. Für jeden schwarzen Ball gibt es Möglichkeiten, und für jeden weißen Ball N-M Möglichkeiten. Die schwarzen Bälle können noch auf ${\tbinom {n}{k}}$ mögliche Weisen über die Ziehungen verteilt sein, also gibt es

${\binom {n}{k}}M^{k}(N-M)^{n-k}$

Fälle, bei denen genau schwarze Bälle ausgewählt worden sind. Die Wahrscheinlichkeit $p_{k}$ , unter Bällen genau schwarze zu finden, ist also:

${\begin{aligned}p_{k}&={\binom {n}{k}}{\frac {M^{k}(N-M)^{n-k}}{N^{n}}}\\&={\binom {n}{k}}\left({\frac {M}{N}}\right)^{k}\left({\frac {N-M}{N}}\right)^{n-k}\\&={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}\end{aligned}}$

Eigenschaften der Binomialverteilung

Symmetrie

Die Binomialverteilung ist in den Spezialfällen , und symmetrisch und ansonsten asymmetrisch.
Die Binomialverteilung besitzt die Eigenschaft

Erwartungswert

Die Binomialverteilung besitzt den Erwartungswert .

Beweis

Den Erwartungswert μ errechnet man direkt aus der Definition $\mu =\sum _{i=1}^{n}x_{i}p_{i}$ und dem binomischen Lehrsatz zu

${\begin{aligned}\mu &=\sum _{k=0}^{n}k{\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}\\&=np\sum _{k=0}^{n}k{\frac {(n-1)!}{(n-k)!k!}}p^{k-1}(1-p)^{(n-1)-(k-1)}\\&=np\sum _{k=1}^{n}{\frac {(n-1)!}{(n-k)!(k-1)!}}p^{k-1}(1-p)^{(n-1)-(k-1)}\\&=np\sum _{k=1}^{n}{\binom {n-1}{k-1}}p^{k-1}(1-p)^{(n-1)-(k-1)}\\&=np\sum _{\ell =0}^{n-1}{\binom {n-1}{\ell }}p^{\ell }(1-p)^{(n-1)-\ell }\quad {\text{mit }}\ell :=k-1\\&=np\sum _{\ell =0}^{m}{\binom {m}{\ell }}p^{\ell }(1-p)^{m-\ell }\qquad {\text{mit }}m:=n-1\\&=np\left(p+\left(1-p\right)\right)^{m}=np1^{m}=np.\end{aligned}}$

Alternativ kann man verwenden, dass eine $B(\cdot \mid p,n)$ -verteilte Zufallsvariable als eine Summe von unabhängigen Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen $X_{i}$ mit $\operatorname {E} (X_{i})=p$ geschrieben werden kann. Mit der Linearität des Erwartungswertes folgt dann

$\operatorname {E} (X)=\operatorname {E} (X_{1}+\dotsb +X_{n})=\operatorname {E} (X_{1})+\dotsb +\operatorname {E} (X_{n})=np.$

Alternativ kann man ebenfalls mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes folgenden Beweis geben: Differenziert man bei der Gleichung

$(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\tbinom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}$

beide Seiten nach , ergibt sich

$n(a+b)^{n-1}=\sum _{k=0}^{n}k{\tbinom {n}{k}}a^{k-1}b^{n-k}$ ,

also

$na(a+b)^{n-1}=\sum _{k=0}^{n}k{\tbinom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}$ .

Mit a=p und b=1-p folgt das gewünschte Ergebnis.

Varianz

Die Binomialverteilung besitzt die Varianz npq mit q=1-p .

Beweis

Es sei X eine B(n, p)-verteilte Zufallsvariable. Die Varianz bestimmt sich direkt aus dem Verschiebungssatz $\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} \left(X^{2}\right)-\left(\operatorname {E} \left(X\right)\right)^{2}$ zu

$\operatorname {Var} (X)=\sum _{k=0}^{n}k^{2}{\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}-n^{2}p^{2}=np(1-p)=npq$

oder alternativ aus der Gleichung von Bienaymé, angewendet auf die Varianz unabhängiger Zufallsvariablen, wenn man berücksichtigt, dass die identischen Einzelprozesse $X_{i}$ der Bernoulli-Verteilung mit $\operatorname {Var} (X_{i})=p(1-p)=pq$ genügen, zu

$\operatorname {Var} (X)=\operatorname {Var} (X_{1}+\dotsb +X_{n})=\operatorname {Var} (X_{1})+\dotsb +\operatorname {Var} (X_{n})=n\operatorname {Var} (X_{1})=np\left(1-p\right)=npq.$

Die zweite Gleichheit gilt, weil die Einzelexperimente unabhängig sind, sodass die Einzelvariablen unkorreliert sind.

Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man den Variationskoeffizienten

$\operatorname {VarK} (X)={\sqrt {\frac {1-p}{np}}}.$

Schiefe

Die Schiefe ergibt sich zu

$\operatorname {v} (X)={\frac {1-2p}{\sqrt {np(1-p)}}}.$

Wölbung

Die Wölbung lässt sich ebenfalls geschlossen darstellen als

$\beta _{2}=3+{\frac {1-6pq}{npq}}.$

Damit ist der Exzess

$\gamma ={\frac {1-6pq}{npq}}.$

Modus

Der Modus, also der Wert mit der maximalen Wahrscheinlichkeit, ist für p<1 gleich $k=\lfloor np+p\rfloor$ und für p=1 gleich . Falls np+p eine natürliche Zahl ist, ist k=np+p-1 ebenfalls ein Modus. Falls der Erwartungswert eine natürliche Zahl ist, ist der Erwartungswert gleich dem Modus.

Beweis

Sei ohne Einschränkung 0<p<1 . Wir betrachten den Quotienten

$\alpha _{k}:={\frac {B(k+1\mid p,n)}{B(k\mid p,n)}}={\frac {\,{\frac {n!}{(k+1)!(n-k-1)!}}\,}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}}\cdot {\frac {p^{k+1}(1-p)^{n-k-1}}{p^{k}(1-p)^{n-k}}}={\frac {n-k}{k+1}}\cdot {\frac {p}{1-p}}$ .

Nun gilt $\alpha _{k}>1$ , falls k<np+p-1 und $\alpha _{k}<1$ , falls k>np+p-1 . Also:

${\begin{aligned}k>(n+1)p-1\Rightarrow \alpha _{k}<1\Rightarrow B(k+1\mid p,n)<B(k\mid p,n)\\k=(n+1)p-1\Rightarrow \alpha _{k}=1\Rightarrow B(k+1\mid p,n)=B(k\mid p,n)\\k<(n+1)p-1\Rightarrow \alpha _{k}>1\Rightarrow B(k+1\mid p,n)>B(k\mid p,n)\end{aligned}}$

Und nur im Fall $np+p-1\in \mathbb {N}$ hat der Quotient den Wert 1, d.h. $B(np+p-1\mid n,p)=B(np+p\mid n,p)$ .

Median

Für den Median ${\tilde {m}}$ gilt

$\lfloor np\rfloor \leq {\tilde {m}}\leq \lfloor (n+1)\,p\rfloor$ .

Kumulanten

Analog zur Bernoulli-Verteilung ist die kumulantenerzeugende Funktion

$g_{X}(t)=n\ln(pe^{t}+q)$ .

Damit sind die ersten Kumulanten $\kappa _{1}=np,\kappa _{2}=npq$ und es gilt die Rekursionsgleichung

$\kappa _{k+1}=p(1-p){\frac {d\kappa _{k}}{dp}}.$

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form

$\phi _{X}(s)=\left(\left(1-p\right)+p\mathrm {e} ^{\mathrm {i} s}\right)^{n}=\left(q+p\mathrm {e} ^{\mathrm {i} s}\right)^{n}.$

Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion

Für die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion erhält man

$g_{X}(s)=(ps+(1-p))^{n}.$

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der Binomialverteilung lautet

${\begin{aligned}m_{X}(s)&=\operatorname {E} \left(e^{sX}\right)\\&=\sum _{X=0}^{n}\mathrm {e} ^{sX}\cdot {\binom {n}{X}}p^{X}(1-p)^{n-X}\\&=\sum _{X=0}^{n}{\binom {n}{X}}(\mathrm {e} ^{s}p)^{X}(1-p)^{n-X}\\&=\left(p\cdot \mathrm {e} ^{s}+\left(1-p\right)\right)^{n}.\end{aligned}}$

Summe binomialverteilter Zufallsgrößen

Für die Summe Z=X+Y zweier unabhängiger binomialverteilter Zufallsgrößen und mit den Parametern $n_{1}$ , und $n_{2}$ , erhält man die Einzelwahrscheinlichkeiten durch Anwendung der Vandermondeschen Identität

${\begin{aligned}\operatorname {P} (Z=k)&=\sum _{i=0}^{k}\left[{\binom {n_{1}}{i}}p^{i}(1-p)^{n_{1}-i}\right]\left[{\binom {n_{2}}{k-i}}p^{k-i}(1-p)^{n_{2}-k+i}\right]\\&={\binom {n_{1}+n_{2}}{k}}p^{k}(1-p)^{n_{1}+n_{2}-k}\qquad (k=0,1,\dotsc ,n_{1}+n_{2}),\end{aligned}}$

also wieder eine binomialverteilte Zufallsgröße, jedoch mit den Parametern $n_{1}+n_{2}$ und . Somit gilt für die Faltung

$\operatorname {Bin} (n,p)*\operatorname {Bin} (m,p)=\operatorname {Bin} (n+m,p)$

Die Binomialverteilung ist also reproduktiv für fixiertes bzw. bildet eine Faltungshalbgruppe.

Wenn die Summe Z=X+Y bekannt ist, folgt jede der Zufallsvariablen und unter dieser Bedingung einer hypergeometrischen Verteilung. Dazu berechnet man die bedingte Wahrscheinlichkeit:

${\begin{aligned}P(X=\ell |Z=k)&={\frac {P(X=\ell \cap Z=k)}{P(Z=k)}}\\&={\frac {P(X=\ell \cap Y=k-\ell )}{P(Z=k)}}\\&={\frac {P(X=\ell )P(Y=k-\ell )}{P(Z=k)}}\\&={\frac {{\binom {n_{1}}{\ell }}p^{\ell }(1-p)^{n_{1}-\ell }{\binom {n_{2}}{k-\ell }}p^{k-\ell }(1-p)^{n_{2}-k+\ell }}{{\binom {n_{1}+n_{2}}{k}}p^{k}(1-p)^{n_{1}+n_{2}-k}}}\\&={\frac {{\binom {n_{1}}{\ell }}{\binom {n_{2}}{k-\ell }}}{\binom {n_{1}+n_{2}}{k}}}\\&=h(\ell ;n_{1}+n_{2};n_{1};k)\end{aligned}}$

Dies stellt eine hypergeometrische Verteilung dar.

Allgemein gilt: Wenn die Zufallsvariablen $X_{i}$ stochastisch unabhängig sind und den Binomialverteilungen $B(n_{i},p)$ genügen, dann ist auch die Summe $X_{1}+X_{2}+\dotsb +X_{m}$ binomialverteilt, jedoch mit den Parametern $n_{1}+n_{2}+\dotsb +n_{m}$ und . Addiert man binomialverteilte Zufallsvariablen $X_{1},X_{2}$ mit $p_{1}\neq p_{2}$ , dann erhält man eine verallgemeinerte Binomialverteilung.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Bernoulli-Verteilung

Ein Spezialfall der Binomialverteilung für n=1 ist die Bernoulli-Verteilung. Die Summe von unabhängigen und identischen Bernoulli-verteilten Zufallsgrößen genügt demnach der Binomialverteilung.

Beziehung zur verallgemeinerten Binomialverteilung

Die Binomialverteilung ist ein Spezialfall der verallgemeinerten Binomialverteilung mit $p_{i}=p_{j}$ für alle $i,j\in \{1,\dotsc ,n\}$ .

Übergang zur Normalverteilung

Nach dem Satz von Moivre-Laplace konvergiert die Binomialverteilung im Grenzfall $n\to \infty$ gegen eine Normalverteilung, d.h. die Normalverteilung kann als brauchbare Näherung der Binomialverteilung verwendet werden, wenn der Stichprobenumfang hinreichend groß und der Anteil der gesuchten Ausprägung nicht zu klein ist.

Es gilt $\mu =np$ und $\sigma ^{2}=npq.$ Durch Einsetzen in die Verteilungsfunktion $\Phi$ der Standardnormalverteilung folgt

$B(k\mid p,n)\approx \Phi \left({k+0{,}5-np \over {\sqrt {npq}}}\right)-\ \Phi \left({k-0{,}5-np \over {\sqrt {npq}}}\right)\approx {1 \over {\sqrt {npq}}}\cdot \ {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,\cdot \ \exp \left(-{{(k-np)}^{2} \over 2npq}\right).$

Wie zu sehen, ist das Ergebnis damit nichts anderes als der Funktionswert der Normalverteilung für $x=k$ , $\mu =n\cdot p$ sowie $\sigma ^{2}=n\cdot p\cdot q$ (den man sich anschaulich auch als Flächeninhalt des -ten Streifens des Histogramms der standardisierten Binomialverteilung mit $1/\sigma$ als dessen Breite sowie $\Phi ((k-\mu )/\sigma )$ als dessen Höhe vorstellen kann). Die Annäherung der Binomialverteilung an die Normalverteilung wird bei der Normal-Approximation genutzt, um schnell die Wahrscheinlichkeit vieler Stufen der Binomialverteilung zu bestimmen, zumal dann, wenn für diese keine Tabellenwerte (mehr) vorliegen.

Übergang zur Poisson-Verteilung

Eine asymptotisch asymmetrische Binomialverteilung, deren Erwartungswert für $n\rightarrow \infty$ und $p\rightarrow 0$ gegen eine Konstante $\lambda$ konvergiert, kann man durch die Poisson-Verteilung annähern. Der Wert $\lambda$ ist dann für alle in der Grenzwertbildung betrachteten Binomialverteilungen wie auch für die resultierende Poissonverteilung der Erwartungswert. Diese Annäherung wird auch als Poisson-Approximation, Poissonscher Grenzwertsatz oder als das Gesetz seltener Ereignisse bezeichnet.

${\begin{aligned}B(k\mid p,n)&={n \choose k}p^{k}\,(1-p)^{n-k}={\frac {n!}{(n-k)!\,k!}}\left({\frac {np}{n}}\right)^{k}\left(1-{\frac {np}{n}}\right)^{n-k}\\&={\frac {n(n-1)(n-2)\dotsm (n-k+1)}{n^{k}}}\,{\frac {(np)^{k}}{k!}}\left(1-{\frac {np}{n}}\right)^{n-k}\\&=\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\left(1-{\frac {2}{n}}\right)\dotsm \left(1-{\frac {k-1}{n}}\right){\frac {(np)^{k}}{k!}}\left(1-{\frac {(np)}{n}}\right)^{n-k}\\&\to \,{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\mathrm {e} ^{-\lambda },\quad {\text{wenn}}\quad n\to \infty \quad {\text{und}}\quad p\rightarrow 0\end{aligned}}$

Eine Faustregel besagt, dass diese Näherung brauchbar ist, wenn $n\geq 50$ und $p\leq 0{,}05$ .

Die Poisson-Verteilung ist also die Grenzverteilung der Binomialverteilung für große und kleine , es handelt sich hierbei um Konvergenz in Verteilung.

Beziehung zur geometrischen Verteilung

Die Zahl der Misserfolge bis zum erstmaligen Eintritt eines Erfolgs wird durch die geometrische Verteilung beschrieben.

Beziehung zur negativen Binomialverteilung

Die negative Binomialverteilung hingegen beschreibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl der Versuche, die erforderlich sind, um in einem Bernoulli-Prozess eine vorgegebene Anzahl von Erfolgen zu erzielen.

Beziehung zur hypergeometrischen Verteilung

Bei der Binomialverteilung werden die ausgewählten Stichproben wieder in die Auswahlmenge zurückgeführt, können also zu einem späteren Zeitpunkt erneut ausgewählt werden. Werden im Gegensatz dazu die Stichproben nicht in die Grundgesamtheit zurückgegeben, kommt die hypergeometrische Verteilung zur Anwendung. Die beiden Verteilungen gehen bei großem Umfang der Grundgesamtheit und geringem Umfang der Stichproben ineinander über. Als Faustregel gilt, dass für $n/N\leq 0{,}05$ auch bei Nichtzurücklegen der Stichproben die Binomialverteilung statt der mathematisch anspruchsvolleren hypergeometrischen Verteilung verwendet werden kann, da beide in diesem Fall nur unwesentlich voneinander abweichende Ergebnisse liefern.

Beziehung zur Multinomial-Verteilung

Die Binomialverteilung ist ein Spezialfall der Multinomialverteilung.

Beziehung zur Rademacher-Verteilung

Ist Binomialverteilt zum Parameter p=0{,}5 und , so lässt sich als skalierte Summe von Rademacher-verteilten Zufallsvariablen $X_1, \dotsc, X_n$ darstellen:

$Y=0{,}5\left(n+\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)$

Dies wird insbesondere beim symmetrischen Random Walk auf $\mathbb {Z}$ verwendet.

Beziehung zur Panjer-Verteilung

Die Binomialverteilung ist ein Spezialfall der Panjer-Verteilung, welche die Verteilungen Binomialverteilung, Negative Binomialverteilung und Poisson-Verteilung in einer Verteilungsklasse vereint.

Beziehung zur Betaverteilung

Für viele Anwendungen ist es nötig, die Verteilungsfunktion

$\sum _{i=0}^{k}B(i\mid p,n)$

konkret auszurechnen (beispielsweise bei statistischen Tests oder für Konfidenzintervalle).

Hier hilft die folgende Beziehung zur Betaverteilung:

$\sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}\cdot p^{i}\cdot (1-p)^{n-i}=\operatorname {Beta} (1-p;n-k;k+1)$

Diese lautet für ganzzahlige positive Parameter und :

$\operatorname {Beta} (x;a;b)={(a+b-1)! \over (a-1)!\cdot (b-1)!}\int _{0}^{x}u^{a-1}(1-u)^{b-1}\,\mathrm {d} u$

Um die Gleichung

$\sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}\cdot p^{i}\cdot (1-p)^{n-i}={n! \over (n-k-1)!\cdot k!}\int _{0}^{1-p}u^{n-k-1}(1-u)^{k}\,\mathrm {d} u$

zu beweisen, kann man folgendermaßen vorgehen:

Die linke und rechte Seite stimmen für überein (beide Seiten sind gleich 1).
Die Ableitungen nach stimmen für die linke und rechte Seite der Gleichung überein, sie sind nämlich beide gleich $-{n! \over (n-k-1)!\cdot k!}\cdot p^{k}\cdot (1-p)^{n-k-1}$ .

Beziehung zur Beta-Binomialverteilung

Eine Binomialverteilung, deren Parameter Beta-verteilt ist, nennt man eine Beta-Binomialverteilung. Sie ist eine Mischverteilung.

Beziehung zur Pólya-Verteilung

Die Binomialverteilung ist ein Spezialfall der Pólya-Verteilung (wähle c=0 ).

Beispiele

Symmetrische Binomialverteilung (p = 1/2)

p = 0,5 und n = 4, 16, 64
Mittelwert abgezogen
Skalierung mit Standardabweichung

Dieser Fall tritt auf beim fachen Münzwurf mit einer fairen Münze (Wahrscheinlichkeit für Kopf gleich der für Zahl, also gleich 1/2). Die erste Abbildung zeigt die Binomialverteilung für p=0{,}5 und für verschiedene Werte von als Funktion von . Diese Binomialverteilungen sind spiegelsymmetrisch um den Wert k=n/2 :

Binomialverteilungen mit p = 0,5 (mit Verschiebung um −n/2 und Skalierung) für n = 4, 6, 8, 12, 16, 23, 32, 46

Die gleichen Daten in halblogarithmischer Auftragung

$B(k\mid 1/2;n)=B(n-k\mid 1/2;n)$

Dies ist in der zweiten Abbildung veranschaulicht. Die Breite der Verteilung wächst proportional zur Standardabweichung $\sigma ={\frac {\sqrt {n}}{2}}$ . Der Funktionswert bei k=n/2 , also das Maximum der Kurve, sinkt proportional zu $\sigma$ .

Dementsprechend kann man Binomialverteilungen mit unterschiedlichem aufeinander skalieren, indem man die Abszisse k-n/2 durch $\sigma$ teilt und die Ordinate mit $\sigma$ multipliziert (dritte Abbildung oben).

Die nebenstehende Graphik zeigt noch einmal reskalierte Binomialverteilungen, nun für andere Werte von und in einer Auftragung, die besser verdeutlicht, dass sämtliche Funktionswerte mit steigendem gegen eine gemeinsame Kurve konvergieren. Indem man die Stirling-Formel auf die Binomialkoeffizienten anwendet, erkennt man, dass diese Kurve (im Bild schwarz durchgezogen) eine Gaußsche Glockenkurve ist:

$f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,{\mathrm {e} }^{-{\frac {x^{2}}{2}}}$ .

Dies ist die Wahrscheinlichkeitsdichte zur Standard-Normalverteilung ${\mathcal {N}}(0,1)$ . Im zentralen Grenzwertsatz wird dieser Befund so verallgemeinert, dass auch Folgen anderer diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen gegen die Normalverteilung konvergieren.

Die zweite nebenstehende Graphik zeigt die gleichen Daten in einer halblogarithmischen Auftragung. Dies ist dann zu empfehlen, wenn man überprüfen möchte, ob auch seltene Ereignisse, die um mehrere Standardabweichungen vom Erwartungswert abweichen, einer Binomial- oder Normalverteilung folgen.

Ziehen von Kugeln

In einem Behälter befinden sich 80 Kugeln, davon sind 16 gelb. Es wird 5-mal eine Kugel entnommen und anschließend wieder zurückgelegt. Wegen des Zurücklegens ist die Wahrscheinlichkeit, eine gelbe Kugel zu ziehen, bei allen Entnahmen gleich groß, und zwar 16/80 = 1/5. Der Wert $B\left(k\mid {\tfrac {1}{5}};5\right)$ gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass genau der entnommenen Kugeln gelb sind. Als Beispiel rechnen wir k=3 :

$B\left(3\mid {\tfrac {1}{5}};5\right)={\binom {5}{3}}\cdot \left({\frac {1}{5}}\right)^{3}\cdot \left({\frac {4}{5}}\right)^{2}={\frac {5\cdot 4}{1\cdot 2}}\cdot {\frac {1}{125}}\cdot {\frac {16}{25}}={\frac {64}{1250}}=0{,}0512$

In ungefähr 5 % der Fälle zieht man also genau 3 gelbe Kugeln.

B(k \| 0,2; 5)
k	Wahrscheinlichkeit in %
0	0032,768
1	0040,96
2	0020,48
3	0005,12
4	0000,64
5	0000,032
∑	0100
Erw.Wert	0001
Varianz	0000.8

Anzahl der Personen mit Geburtstag am Wochenende

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person in diesem Jahr an einem Wochenende Geburtstag hat, betrage (der Einfachheit halber) 2/7. In einem Raum halten sich 10 Personen auf. Der Wert $B(k\mid 2/7;10)$ gibt (im vereinfachten Modell) die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass genau der Anwesenden in diesem Jahr an einem Wochenende Geburtstag haben.

B(k \| 2/7; 10)
k	Wahrscheinlichkeit in % (gerundet)
0	0003,46
1	0013,83
2	0024,89
3	0026,55
4	0018,59
5	0008,92
6	0002,97
7	0000,6797
8	0000,1020
9	0000,009063
10	0000,0003625
∑	0100
Erw.Wert	0002,86
Varianz	0002,04

Gemeinsamer Geburtstag im Jahr

253 Personen sind zusammengekommen. Der Wert $B(k\mid 1/365;253)$ gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass genau Anwesende an einem zufällig gewählten Tag Geburtstag haben (ohne Beachtung des Jahrganges).

B(k \| 1/365; 253)
k	Wahrscheinlichkeit in % (gerundet)
0	049,95
1	034,72
2	012,02
3	002,76
4	000,47

Die Wahrscheinlichkeit, dass „irgendjemand“ dieser 253 Personen, d.h. eine oder mehrere Personen, an diesem Tag Geburtstag haben, beträgt somit $1-B(0\mid 1/365;253)=50.05\,\%$ .

Bei 252 Personen beträgt die Wahrscheinlichkeit $1-B(0\mid 1/365;252)=49.91\,\%$ . Das heißt, die Schwelle der Anzahl von Personen, ab der die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine dieser Personen an einem zufällig gewählten Tag Geburtstag hat, größer als 50 % wird, beträgt 253 Personen.

Die direkte Berechnung der Binomialverteilung kann aufgrund der großen Fakultäten schwierig sein. Eine Näherung über die Poisson-Verteilung ist hier zulässig n>50,p<0{,}05 ). Mit dem Parameter $\lambda =np=253/365$ ergeben sich folgende Werte:^[1]

P_253/365(k)
k	Wahrscheinlichkeit in % (gerundet)
0	050
1	034,66
2	012,01
3	002,78
4	000,48

Konfidenzintervall für eine Wahrscheinlichkeit

In einer Meinungsumfrage unter Personen geben Personen an, die Partei A zu wählen. Bestimme ein 95-%-Konfidenzintervall für den unbekannten Anteil der Wähler, die Partei A wählen, in der Gesamtwählerschaft.

Auslastungsmodell

Mittels folgender Formel lässt sich die Wahrscheinlichkeit dafür errechnen, dass von Personen eine Tätigkeit, die durchschnittlich Minuten pro Stunde dauert, gleichzeitig ausführen.

$P(X=k)={n \choose k}\cdot \left({\frac {m}{60}}\right)^{k}\cdot \left(1-{\frac {m}{60}}\right)^{n-k}$

Statistischer Fehler der Klassenhäufigkeit in Histogrammen

Die Darstellung unabhängiger Messergebnisse in einem Histogramm führt zur Gruppierung der Messwerte in Klassen.

Die Wahrscheinlichkeit für $n_{i}$ Einträge in Klasse ist gegeben durch die Binomialverteilung $B_{n,p_{i}}(n_{i})$ mit $n=\Sigma n_{i}$ und $p_{i}=n_{i}/n$ .

Erwartungswert und Varianz der $n_{i}$ sind dann $E(n_{i})=np_{i}=n_{i}$ und $V(n_{i})=np_{i}(1-p_{i})=n_{i}(1-n_{i}/n)$ .

Damit liegt der statistische Fehler der Anzahl von Einträgen in Klasse bei $\sigma (n_{i})={\sqrt {n_{i}(1-n_{i}/n)}}$ . Bei großer Zahl von Klassen wird $p_{i}$ klein und $\sigma (n_{i})\approx {\sqrt {n_{i}}}$ .

So lässt sich beispielsweise die statistische Genauigkeit von Monte-Carlo-Simulationen bestimmen.

Zufallszahlen

Zufallszahlen zur Binomialverteilung werden üblicherweise mit Hilfe der Inversionsmethode erzeugt. Alternativ kann man auch ausnutzen, dass die Summe von Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen binomialverteilt ist. Man erzeugt Bernoulli-verteilte Zufallszahlen und summiert diese auf. Das Ergebnis ist eine binomialverteilte Zufallszahl.

Anmerkungen

↑ Im konkreten Fall muss man für die Binomialverteilung $\left({\tfrac {364}{365}}\right)^{253}$ ausrechnen und für die Poissonverteilung $e^{-253/365}$ . Beides ist mit dem Taschenrechner einfach. Bei einer Rechnung mit Papier und Bleistift benötigt man mit der Exponentialreihe 8 oder 9 Glieder für den Wert der Poissonverteilung, während man für die Binomialverteilung durch mehrfaches Quadrieren auf die 256. Potenz kommt und dann noch durch die dritte Potenz teilt.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de