Diagonalmatrix

Als Diagonalmatrix bezeichnet man im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonale Null sind. Diagonalmatrizen sind deshalb allein durch die Angabe ihrer Hauptdiagonale bestimmt und man schreibt häufig

$D=\operatorname {diag} (d_{1},d_{2},\dotsc ,d_{n})={\begin{pmatrix}d_{1}&0&\cdots &0\\0&d_{2}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&d_{n}\end{pmatrix}}$ .

Stimmen dabei sämtliche Zahlen $d_{1},d_{2},\dotsc ,d_{n}$ auf der Hauptdiagonalen überein, spricht man auch von Skalarmatrizen. Skalarmatrizen sind also skalare Vielfache der Einheitsmatrix $I_{n}=\operatorname {diag} (1,1,\dotsc ,1)$ .

Rechenoperationen

Matrizenaddition, Skalarmultiplikation und Matrizenmultiplikation, Transposition

Die Matrizenaddition, Skalarmultiplikation und Matrizenmultiplikation gestalten sich bei Diagonalmatrizen sehr einfach:

$\operatorname {diag} (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\cdot \operatorname {diag} (b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})=\operatorname {diag} (a_{1}\cdot b_{1},a_{2}\cdot b_{2},\dots ,a_{n}\cdot b_{n})$

Multiplikation einer Matrix von links mit einer Diagonalmatrix entspricht der Multiplikation der Zeilen von mit den Diagonaleinträgen. Die entsprechende Multiplikation von rechts entspricht der Multiplikation der Spalten von mit den Diagonaleinträgen.

Für jede Diagonalmatrix gilt, dass sie symmetrisch ist, folglich gilt: $D=D^{T}$ .

Berechnung der Inversen

Eine Diagonalmatrix ist genau dann invertierbar, wenn keiner der Einträge auf der Hauptdiagonale $0$ ist. Die inverse Matrix berechnet sich dann wie folgt:

$\operatorname {diag} \left(d_{1},d_{2},\dots ,d_{n}\right)^{-1}=\operatorname {diag} \left(d_{1}^{-1},d_{2}^{-1},\dots ,d_{n}^{-1}\right)$

Eigenschaften von Diagonalmatrizen

Die jeweiligen Diagonalmatrizen bilden einen kommutativen Unterring des Rings der quadratischen $n\times n$ -Matrizen.
Die Eigenwerte einer Diagonalmatrix sind die Einträge auf der Hauptdiagonale mit den kanonischen Einheitsvektoren als Eigenvektoren.
Die Determinante einer Diagonalmatrix ist das Produkt der Einträge auf der Hauptdiagonalen:

$\det \left(\operatorname {diag} \left(d_{1},d_{2},\dotsc ,d_{n}\right)\right)=d_{1}\cdot d_{2}\dotsm d_{n}=\prod _{i=1}^{n}d_{i}$

Beispiele

Die Diagonalmatrix

$\operatorname {diag} \left(1,3,5\right)={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&3&0\\0&0&5\end{pmatrix}}$

besitzt die Eigenwerte

$\lambda _{1}=1,\;\lambda _{2}=3,\;\lambda _{3}=5$

mit den zugehörigen Eigenvektoren

$e_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},\quad e_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},\quad e_{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ .

Die Diagonalmatrix

$\operatorname {diag} \left(0,0\right)={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\\end{pmatrix}}$

besitzt die Eigenwerte

$\lambda _{1,2}=0$

und die Eigenvektoren

$e_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\quad e_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ .

Diagonalisierbarkeit

Eine quadratische -dimensionale Matrix heißt diagonalisierbar oder diagonalähnlich, wenn es eine Diagonalmatrix $D_{A}$ gibt, zu der sie ähnlich ist, das heißt, es existiert eine reguläre Matrix , so dass gilt $D_{A}=S^{-1}AS$ , bzw. $SD_{A}=AS$ .

Für eine lineare Abbildung $f\colon V\to V$ (Vektorraum-Endomorphismus) bedeutet dies, dass eine Basis existiert, bei der die Darstellungsmatrix $M_{B}^{B}(f)$ eine Diagonalmatrix ist.

Seien und $D_{A}$ mit den gewünschten Eigenschaften gefunden, so gilt, dass die Diagonaleinträge von $D_{A}$ , nämlich $\lambda _{i}$ , Eigenwerte von $D_{A}$ zu den Einheitsvektoren $e_{i}$ sind. Weiterhin ist $ASe_{i}=SD_{A}e_{i}=S\lambda _{i}e_{i}=\lambda _{i}Se_{i}$ . Die $Se_{i}$ sind also auch Eigenvektoren von , und zwar jeweils zum Eigenwert $\lambda _{i}$ .

Da invertierbar sein soll, ist $(Se_{1},\ldots ,Se_{n})$ zudem linear unabhängig.

Zusammenfassend ergibt sich daraus die notwendige Bedingung, dass die Matrix linear unabhängige Eigenvektoren hat, der Raum, auf dem sie operiert, also eine Basis aus Eigenvektoren von besitzt. Diese Bedingung ist aber auch hinreichend, denn aus gefundenen Eigenvektoren von mit den dazugehörigen Eigenwerten lassen sich geeignete $D_{A}$ und ganz direkt konstruieren.

Das Problem reduziert sich damit auf das Auffinden von ausreichend vielen linear unabhängigen Eigenvektoren von .

Eigenschaften einer diagonalisierbaren Matrix

Ist eine Matrix diagonalisierbar, so ist die geometrische Vielfachheit ihrer Eigenwerte gleich der jeweiligen algebraischen Vielfachheit. Das bedeutet, die Dimension der einzelnen Eigenräume stimmt jeweils mit der algebraischen Vielfachheit der entsprechenden Eigenwerte im charakteristischen Polynom der Matrix überein.

Diagonalisierung

Ist eine Matrix diagonalisierbar, existiert eine Diagonalmatrix $D_{A}$ , für die die Ähnlichkeitsbedingung erfüllt ist:

$D_{A}=S^{-1}AS$

Zur Diagonalisierung dieser Matrix berechnet man die Diagonalmatrix $D_{A}$ und eine zugehörige Basis aus Eigenvektoren. Dies geschieht in drei Schritten:

Es werden die Eigenwerte $\lambda _{i}$ der Matrix bestimmt.
Es werden die Eigenräume $E\left(\lambda _{i}\right)$ zu allen Eigenwerten $\lambda _{i}$ berechnet, also folgendes Gleichungssystem gelöst:

$(A-\lambda _{i}I)\cdot {\begin{pmatrix}e_{1}\\\vdots \\e_{n}\end{pmatrix}}=0$
Nun ist die Diagonalform $D_{A}$ der Matrix bezüglich der Basis :

$D_{A}=\operatorname {diag} (\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})$

$S=\{E(\lambda _{1}),\dots ,E(\lambda _{n})\}$

Simultane Diagonalisierung

Gelegentlich will man auch zwei Matrizen A,B mit derselben Transformation diagonalisieren. Falls das gelingt, gilt $S^{-1}AS=D_{1}$ und $S^{-1}BS=D_{2}$ und da $D_{1}$ und $D_{2}$ Diagonalmatrizen sind,

$D_{1}\cdot D_{2}=D_{2}\cdot D_{1}\Rightarrow B\cdot A=SD_{2}S^{-1}\cdot SD_{1}S^{-1}=SD_{1}D_{2}S^{-1}=A\cdot B$ .

Also müssen die Endomorphismen miteinander kommutieren. In der Tat gilt auch die Umkehrung: Kommutieren zwei diagonalisierbare Endomorphismen, so können sie simultan diagonalisiert werden. In der Quantenmechanik gibt es für zwei solche Operatoren dann eine Basis aus gemeinsamen Eigenzuständen.

Spezielle Diagonalmatrizen

Die Einheitsmatrix ist ein Spezialfall einer Diagonalmatrix, bei der alle Elemente der Hauptdiagonale den Wert haben.
Die quadratische Nullmatrix ist ein Spezialfall einer Diagonalmatrix, bei der alle Elemente der Hauptdiagonale den Wert $0$ haben.
Normale Matrizen sind diagonalisierbar. Kommutiert also eine komplexe Matrix mit ihrer Adjungierten bzw. eine reelle Matrix mit ihrer Transponierten, so ist die Matrix diagonalisierbar. Im reellen Fall muss hierbei vorausgesetzt werden, dass das charakteristische Polynom der Matrix über den reellen Zahlen in ein Produkt von Linearfaktoren zerfällt. Über den komplexen Zahlen ist die entsprechende Bedingung auf Grund des Fundamentalsatzes der Algebra automatisch erfüllt.

Siehe auch

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de