Unendliche Diedergruppe
Die unendliche Diedergruppe ist eine im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie betrachtete Gruppe. Es handelt sich um eine abzählbar unendliche Version der Diedergruppen.
Geometrische Definition
So wie die Diedergruppen als die Symmetriegruppen einer geometrischen Figur, nämlich eines regelmäßigen n-Ecks, eingeführt werden können, kann die unendliche Diedergruppe als die Gruppe aller Isometrien, die eine Teilmenge eines euklidischen Raums in sich abbilden, definiert werden. ist die Gruppe aller Isometrien auf , die in sich abbilden.
Diese Isometrien sind Translationen um
für eine ganze Zahl und Spiegelungen an
für eine ganze Zahl . Die Gruppe dieser Isometrien heißt die unendliche Diedergruppe . Manche Autoren bezeichnen diese Gruppe mit oder nach der englischen Bezeichnung „dihedral group“ für Diedergruppe auch mit .
Die unendliche Diedergruppe wird schon von und erzeugt, denn offenbar gilt
- , n-fache Hinteinanderausführung für
- für
- ist das neutrale Element
- für alle ,
das heißt, die von erzeugte Untergruppe enthält bereits alle Isometrien und und das heißt, dass von und erzeugt wird.
Ferner besteht die Beziehung
- ,
denn für jedes gilt
- ,
und es gilt
- ,
wobei 1 das neutrale Element bezeichne, denn ist eine Spiegelung.
D∞ als Untergruppe der Symmetriegruppe des Kreises
Sei die Spiegelung des Einheitskreises an der x-Achse und eine Drehung des Kreises um für eine irrationale Zahl . Die von erzeugte zyklische Untergruppe der Symmetriegruppe des Kreises ist wegen der Irrationalität von unendlich und daher zu isomorph. Dann gilt offenbar
und man kann zeigen, dass einen Isomorphismus von auf die von erzeugte Untergruppe der Symmetriegruppe des Kreises definiert. Insbesondere hängt deren Isomorphieklasse nicht von der Wahl der irrationalen Zahl ab.
Präsentationen von D∞
Nach Obigem erfüllen die Erzeuger und die Relationen
- und .
Man kann zeigen, dass keine weiteren, davon unabhängigen Relationen bestehen. Präzise heißt das, dass die Präsentation
besitzt. Die zweite Relation kann man wegen auch als schreiben. Jedes Produkt aus den Erzeugern und kann daher durch wiederholte Anwendung der Relationen auf die Form mit und gebracht werden. Für das Rechnen in der Gruppe gilt demnach
- und ,
wobei der Exponent modulo 2 zu verstehen ist.
Setzt man , so ist
- .
Da man umgekehrt das Element mittels aus und zurückgewinnen kann, wird von den zwei Involutionen und , das heißt von Elementen, deren Quadrat das neutrale Element ist, erzeugt, und man kann sich überlegen, dass keine weiteren Relationen bestehen. Wir erhalten also eine zweite Präsentation
- .
Demnach ist die unendliche Diedergruppe die größte von zwei Involutionen erzeugte Gruppe, jede andere ist isomorph zu einer Faktorgruppe davon.
Geometrisch entspricht der Erzeuger dem Produkt , und das ist die Spiegelung an . Die oben geometrisch beschriebene unendliche Diedergruppe wird also auch von den beiden Spiegelungen an 0 und erzeugt. Das wird sofort verständlich, indem man sich klarmacht, dass die Spiegelung an , gefolgt von der Spiegelung an 0, nichts anderes als die Translation um 1 ist.
D∞ als semidirektes Produkt
Betrachte den Homomorphismus von der Gruppe ℤ2 in die Automorphismengruppe von , der die Restklasse von 1 auf abbildet. Mit diesem bilde das semidirekte Produkt
- .
Die Verknüpfung ist bekanntlich durch die Formel
definiert, wobei und die Summe modulo 2 zu verstehen ist. Daraus liest man die Isomorphie zu ab.
Nun ist obiges sogar ein Isomorphismus, denn neben gibt es keine weiteren nichttrivialen Automorphismen auf .
Daher ist der Holomorph von , das heißt
- .
D∞ als freies Produkt
Die unendliche Diedergruppe ist das kleinste denkbare freie Produkt nichttrivialer Gruppen, es gilt
- .
Es ist klar, dass von zwei Involutionen erzeugt wird. Daher erhält man aus obiger Präsentation einen Epimorphismus , von dem man zeigt, dass er ein Isomorphismus ist. Manche Autoren definieren die unendliche Diedergruppe auf diese Weise.
D∞ als Matrizengruppe
Wir betrachten die Menge
von -Matrizen. Das Matrizenprodukt
zeigt, dass die Menge mit dem Matrizenprodukt als Multiplikation eine zu isomorphe Gruppe ist.
Untergruppen von D∞
Die unendliche Diedergruppe enthält folgende Untergruppen ( ganze Zahlen):
- für ,
- für ,
- für .
Das sind bereits alle Untergruppen von .
Wegen mit ist die unendliche Diedergruppe auflösbar, sogar überauflösbar, metabelsch und polyzyklisch.
Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de Seite zurück© biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung: Jena, den: 11.05. 2021