Formale Potenzreihe

Die formalen Potenzreihen in der Mathematik sind eine Verallgemeinerung der Polynome der Polynomringe. Wie bei letzteren stehen bei ihnen die ringtheoretischen Eigenschaften im Vordergrund, während bei den Potenzreihen der Analysis der Schwerpunkt auf den analytischen, den (Grenzwert-)Eigenschaften, liegt.

Gemeinsam ist, dass die Koeffizienten aus einem Ring genommen werden, der hier sehr beliebig sein kann, wogegen er in der Analysis ausschließlich ein vollständiger Ring ist, meist der Körper $\mathbb {R}$ der reellen oder $\mathbb {C}$ der komplexen Zahlen. Ein anderer Unterschied ist, dass die „Variable“ eine Unbestimmte ist, die oft mit Großbuchstaben (oder ) notiert und der in der formalen Potenzreihe ein „Wert“ nicht zugewiesen wird. Die im Nullpunkt analytischen Potenzreihen der Analysis können auch als formale Potenzreihen aufgefasst werden, da sie wie diese beliebig oft differenzierbar sind und dem Koeffizientenvergleich unterliegen.

Wegen der vielen gemeinsamen Eigenschaften und Begriffsbildungen werden die formalen Laurent-Reihen in diesem Artikel mitbehandelt. Die Definitionen und Eigenschaften sind bei den formalen Laurent-Reihen geringfügig komplexer, enthalten aber sehr häufig die formalen Potenzreihen als Spezialfall.

Unterstützung für das Rechnen mit formalen Potenz- und Laurent-Reihen gibt es in vielen Computeralgebra-Systemen.

Definitionen

Formale Potenzreihe

Für einen kommutativen Ring mit Einselement (dem Ausgangsring) bezeichnet $R[[X]]$ den Ring der formalen Potenzreihen über in der Unbestimmten . Er ist isomorph zum Ring $R^{\mathbb {N} _{0}}$ der unendlichen Folgen

$(a_{0},a_{1},\dotsc )$

mit $a_{n}\in R$ , so dass

$a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\dotsb =\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}$

die zugehörige formale Potenzreihe ist und die Folge $(0,1,0,0,\dotsc )$ der Unbestimmten entspricht.

Der Ring in $R[[X]]$ wird durch die Abbildung

$R\ni a\mapsto (a,0,0,\dotsc )$

eingebettet.

Die Folgenglieder a_n werden Koeffizienten genannt. Vergleiche dazu auch Polynomring.

Formale Laurent-Reihe

Der Quotientenring $R(\!(X)\!)$ von $R[[X]]$ ist die Lokalisierung von $R[[X]]$ nach dem Ideal (X) . Er wird Ring der formalen Laurent-Reihen genannt. Er ist ein Körper, wenn ein Körper ist.

Eine formale Laurent-Reihe $A(X)\in R(\!(X)\!)$ kann endlich viele Glieder mit negativem Index haben, sie hat also die Form

$A(X)=\sum _{n=m}^{\infty }a_{n}X^{n}$ mit $m\in \mathbb {Z} ,a_{n}\in R$ .

Diese Reihen können in die Menge ^[1] $R^{\mathbb {Z} }$ von unendlichen Folgen eingebettet und auch als

${\begin{array}{ll}A(X)&=\quad \sum _{n\in \mathbb {Z} }a_{n}X^{n}\\&=\quad \left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {Z} }\\&=\quad (\dotsc ,a_{-1},a_{0},a_{1},\dotsc )\end{array}}$

geschrieben werden unter der Vorschrift, dass fast alle Koeffizienten mit negativem Index verschwinden. Der Unbestimmten entspricht die Folge:

$X=(\dotsc ,\,0,\,0,$		$1,\,0,\,0,\dotsc )\qquad \in R^{\mathbb {Z} }$
	$\uparrow$	$\uparrow$
Index	0	1

Ordnung

Die Funktion

$\operatorname {ord} _{X}\colon$	$R(\!(X)\!)\to$	$\mathbb {Z} \cup \{+\infty \}$
	$A(X)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }a_{n}X^{n}\;\mapsto {\begin{cases}\\\\\end{cases}}$	$+\infty$ ,	falls $A(X)=0$ (die Nullreihe)
		$\min \left\{n\in \mathbb {Z} \mid a_{n}\neq 0\right\}$ ,	falls $A(X)\neq 0$

weist einer formalen Laurent-Reihe in der Unbestimmten ihre Ordnung in der Unbestimmten zu. Das Minimum $\min \left\{n\in \mathbb {Z} \mid a_{n}\neq 0\right\}$ existiert für $A\neq 0$ , weil es nur endlich viele Indizes $n<0$ mit $a_{n}\neq 0$ gibt.

Hierbei gelten für $\pm \infty$ die üblichen Maßgaben für Vergleich und Addition:

Für alle $n \in \Z$ gilt $-\infty <n<+\infty$ und $+\infty \pm n=+\infty$ .

Damit lassen sich die formalen Laurent-Reihen als Reihen

${\begin{array}{lll}R(\!(X)\!)&=\quad {\bigl \{}A(X)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }a_{n}X^{n}&{\big |}\;\operatorname {ord} _{X}(A)>-\!\infty {\bigr \}}\\&=\quad {\bigl \{}\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {Z} }\in R^{\mathbb {Z} }&{\big |}\;\exists \,u\in \mathbb {Z} :a_{n}\neq 0\implies n\geq u{\bigr \}}\end{array}}$

mit nach unten beschränkter Ordnung und die formalen Potenzreihen

${\begin{array}{lll}R[[X]]&=\quad {\bigl \{}A(X)\in R(\!(X)\!)&{\big |}\;\operatorname {ord} _{X}(A)\geq 0{\bigr \}}\\&=\quad {\bigl \{}(\dotsc ,a_{-1},a_{0},a_{1},\dotsc )\in R^{\mathbb {Z} }&{\big |}\;a_{n}\neq 0\implies n\geq 0{\bigr \}}\end{array}}$

als solche mit nicht-negativer Ordnung charakterisieren.

Der einfacheren Schreibweise halber nehmen wir generell an, dass ein Koeffizient a_n einer formalen Potenz- oder Laurent-Reihe $A(X)$ , falls auf ihn mit einem Index $n<\operatorname {ord} _{X}(A)$ zugegriffen wird, den Wert 0 liefert.

Addition und Multiplikation

Sei mit

$B(X)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }b_{n}X^{n}$

eine zweite formale Potenz- oder Laurent-Reihe gegeben, dann geschieht ihre Addition

$A(X)+B(X)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }(a_{n}+b_{n})X^{n}$

komponentenweise. Dabei ergibt die Summe zweier formaler Potenzreihen wieder eine formale Potenzreihe.

Die Multiplikation

$A(X)\;B(X)=\sum _{n=\operatorname {ord} _{X}(A)+\operatorname {ord} _{X}(B)}^{\infty }{\Bigl (}\sum _{i=\operatorname {ord} _{X}(A)}^{n}a_{i}\,b_{n-i}{\Bigr )}X^{n}$

ist eine Faltung. Wieder ergibt das Produkt zweier formaler Potenzreihen eine formale Potenzreihe.

Eigenschaften

Für die Ringoperationen Addition und Multiplikation gelten die Gesetze der kommutativen Ringe.
Die formale Potenz- oder Laurent-Reihe, bei der alle Koeffizienten 0 sind, heißt Nullreihe. Sie ist das neutrale Element 0 der Addition in beiden Ringen, $R[[X]]$ und $R(\!(X)\!)$ .
Ein Skalar $a\in R$ multipliziert sich wie in der üblichen Skalarmultiplikation. Damit ist 1 die Einsreihe.
Koeffizientenvergleich: Zwei formale Potenz- oder Laurent-Reihen $\textstyle A(X)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }a_{n}X^{n}$ und $\textstyle B(X)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }b_{n}X^{n}$ sind genau dann gleich, wenn sie in allen Koeffizienten

$\forall n\in \mathbb {Z} :a_{n}=b_{n}$

übereinstimmen.

Die Einheiten von $R[[X]]$ sind genau diejenigen formalen Potenzreihen, deren Absolutglied (konstantes Glied) $a_{0}$ eine Einheit in ist (s.a. den § Multiplikatives Inverses).
Ist ein noetherscher Ring, ein Integritätsring oder ein lokaler Ring, so gilt das jeweils auch für $R[[X]]$ .
Der Polynomring lässt sich in $R[[X]]$ homomorph (und injektiv) einbetten als ein Ring von Folgen mit nur endlich vielen nicht-verschwindenden Koeffizienten.
Ist ein Körper, so lässt sich der rationale Funktionenkörper in $K(\!(X)\!)$ homomorph (und injektiv) einbetten.
Es gelten die Einbettungen $\rightarrow$

${\begin{array}{ccc}K[X]&\rightarrow &K[[X]]\\\downarrow &&\downarrow \\K(X)&\rightarrow &K(\!(X)\!)\end{array}}$

mit den Quotientenkörpern in der unteren Zeile.

Ist ein Körper, so ist ein vollständiger diskreter Bewertungsring mit dem uniformisierenden Element . Er ist die Vervollständigung des Polynomrings bezüglich des Ideals . Sein Restklassenkörper ist , sein Quotientenkörper der Körper der formalen Laurent-Reihen $K(\!(X)\!)$ .
Umgekehrt ist nach den Struktursätzen von Irving S. Cohen jeder vollständige diskrete Bewertungsring gleicher Charakteristik isomorph zum Ring der formalen Potenzreihen über seinem Restklassenkörper.

Operationen und weitere Eigenschaften

Koeffizientenextraktion

Der Operator zur Extraktion des Koeffizienten zum Grad $m\in \mathbb {Z}$ aus der Potenz- oder Laurent-Reihe $\textstyle A(X)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }a_{n}X^{n}$ in wird geschrieben als

$\left[X^{m}\right]A(X).$

Er ist eine Projektion der rechts davon stehenden formalen Reihe auf die -te Komponente in $R^{\mathbb {Z} }$ . Damit ist

$\left[X^{m}\right]A(X)=\left[X^{m}\right]\sum _{n\in \mathbb {Z} }a_{n}X^{n}=a_{m}$

und

$A(X)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }X^{n}\left[Y^{n}\right]A(Y)$ .

Bei formalen Potenzreihen $A(X)$ ist für $m<0$ definitionsgemäß $\left[X^{m}\right]A(X)=0$ .

Leitkoeffizient

Die Ordnung $\operatorname {ord}$ hat eine gewisse Analogie zur Gradfunktion in Polynomringen. So heißt der Koeffizient

$l(A):={\begin{cases}\\\\\end{cases}}$	$\textstyle a_{\operatorname {ord} (A)}=\left[X^{\operatorname {ord} (A)}\right]A(X)$ ,	falls $A(X)\neq 0$
$l(A):={\begin{cases}\\\\\end{cases}}$	$0$ ,	falls $A(X)=0$

auch Leitkoeffizient.

Es gilt für alle $A,B\in R(\!(X)\!)$

$\operatorname {ord} (A\cdot B)\geq \operatorname {ord} (A)+\operatorname {ord} (B)$

(Enthält keine Nullteiler – präziser: sind die Leitkoeffizienten keine Nullteiler – gilt die Gleichheit.)

$\operatorname {ord} (A+B)\geq \min\{\operatorname {ord} (A),\operatorname {ord} (B)\}$ .

Die Funktion

$|A|:=2^{-\!\operatorname {ord} (A)}$

erfüllt alle Forderungen eines nicht-archimedischen Pseudobetrags.

Ist ein Körper, dann ist $\operatorname {ord}$ eine (diskrete) Bewertung (ein logarithmisch geschriebener nicht-archimedischer Betrag, engl. valuation) mit dem Ring K[[X]] als dem (oben erwähnten) zugehörigen Bewertungsring. Man erkennt die -adische Topologie wieder, wo $I:=(X)$ das von erzeugte Ideal der Vielfachen von ist. Es ist das zugehörige maximale Ideal und der Restklassenkörper.

Potenzierung

Für $n\in \mathbb {N} _{0}$ ist

${\bigl (}A(X){\bigr )}^{n}=\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}X^{k}\right)^{n}=:\sum _{m=0}^{\infty }c_{m}X^{m}$

mit

$c_{0}=a_{0}^{n}$

und rekursiv

$c_{m}\,m\,a_{0}=\sum _{k=1}^{m}(kn-m+k)\,a_{k}\,c_{m-k}$ für $m\in \mathbb {N}$ ,

also beispielsweise

$c_{1}={\binom {n}{1}}a_{0}^{n-1}a_{1}$ ,

$c_{2}={\binom {n}{1}}a_{0}^{n-1}a_{2}+{\binom {n}{2}}a_{0}^{n-2}a_{1}^{2}$ ,

$c_{3}={\binom {n}{1}}a_{0}^{n-1}a_{3}+{\binom {n}{n\!-\!2,1,1}}a_{0}^{n-2}a_{1}a_{2}+{\binom {n}{3}}a_{0}^{n-3}a_{1}^{3}$ , ... .

Die $c_{m}$ sind Polynome in den $a_{k}$ mit ganzzahligen (multinomialen) Koeffizienten, auch wenn die Rekursionsformel nur dann in einfacher Weise nach $c_{m}$ aufzulösen ist, wenn und $a_{0}$ im Ring invertierbar sind. (Für den Fall $a_{0}=0$ s.a. den § Komposition.)

Multiplikatives Inverses

Die formale Potenzreihe $\textstyle A(X)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}\in R[[X]]$ hat genau dann ein multiplikatives Inverses $\textstyle B(X):=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}X^{n}\in R[[X]]$ , wenn das Absolutglied

$a_{0}=\left[X^{0}\right]A(X)$

invertierbar ist im Ring . Dann ist auch

$\operatorname {ord} _{X}(A)=0$

und rekursiv

${\begin{aligned}b_{0}&=a_{0}^{-1}\\b_{n}&=-a_{0}^{-1}\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{n-i}\qquad \qquad (n\geq 1).\end{aligned}}$

Ist ein Körper, dann ist eine formale Potenzreihe genau dann invertierbar in K[[X]] , wenn das Absolutglied nicht 0 ist, das heißt, wenn sie nicht durch teilbar ist.

Ist bei der formalen Potenzreihe $A(X)$ das Absolutglied $a_{0}=0$ oder handelt es sich um eine formale Laurent-Reihe, dann lässt sich bei invertierbarem Leitkoeffizienten $l(A)=a_{\operatorname {ord} _{X}(A)}$ die Reihe $A(X)$ in $R(\!(X)\!)$ über den Zwischenschritt

$B(X):=X^{-\!\operatorname {ord} _{X}(A)}A(X)\in K[[X]]$

multiplikativ invertieren – mit dem Ergebnis:

$A(X)^{-1}=X^{-\!\operatorname {ord} _{X}(A)}B(X)^{-1}\in K(\!(X)\!)$

Ist ein Körper, dann ist $K(\!(X)\!)$ der Quotientenkörper von K[[X]] .

Division

Ist der Divisor $A(X)$ invertierbar in $R[[X]]$ , dann hat der Quotient

$C(X)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}X^{n}:=Z(X)/A(X)={\Bigl (}\sum _{n=0}^{\infty }z_{n}X^{n}{\Bigr )}\;/\;{\Bigl (}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}{\Bigr )}$

zweier Potenzreihen $Z(X)$ und $A(X)$ nach dem Rechenschema

										Quotient
Dividend					Divisor
$(z_{0}$	$+z_{1}X$	$+z_{2}X^{2}$	$+\dotsb )$	$/$	$(a_{0}$	$+a_{1}X$	$+a_{2}X^{2}$	$+\dotsb )$	$=$
${-a_{0}{\tfrac {z_{0}}{a_{0}}}}$	${-a_{1}c_{0}X}$	${-a_{2}c_{0}X^{2}}$	$-\dotsb$	${\tfrac {z_{0}}{a_{0}}}\;\,=$
	$(z_{1}\!-\!a_{1}c_{0})X$	$+(z_{2}\!-\!a_{2}c_{0})X^{2}$	$+\dotsb$
	${-a_{0}{\tfrac {z_{1}-a_{1}c_{0}}{a_{0}}}X}$	${-a_{1}c_{1}X^{2}}$	$-\dotsb$	$+{\tfrac {z_{1}-a_{1}c_{0}}{a_{0}}}X=$						$+c_{1}X$
		$(z_{2}\!-\!a_{2}c_{0}\!-\!a_{1}c_{1})X^{2}$	$+\dotsb$
		${\;\;-a_{0}{\tfrac {z_{2}-a_{2}c_{0}-a_{1}c_{1}}{a_{0}}}X^{2}}$	$-\dotsb$	$+{\tfrac {z_{2}-a_{2}c_{0}-a_{1}c_{1}}{a_{0}}}X^{2}=$						$+c_{2}X^{2}$
			$+\dotsb$
			$-\dotsb$							$+\dotsb$

der in der Monomordnung gespiegelten Polynomdivision rekursiv die Koeffizienten

${\begin{aligned}c_{n}=&a_{0}^{-1}\left(z_{n}-\sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{n-i}\right)\qquad \qquad (n\geq 0).\\\end{aligned}}$

Der Zwischenschritt im § Multiplikatives Inverses deutet an, wie sich das gezeigte Rechenschema zu einem Divisionsalgorithmus in $R(\!(X)\!)$ ausbauen lässt.

Inverses von Polynomen

Für Körper lässt sich der Körper K(X) der rationalen Funktionen (Polynomquotienten) der Form

${\frac {Z(X)}{A(X)}}={\frac {z_{0}+z_{1}X+\dotsb +z_{e}X^{e}}{a_{0}+a_{1}X+\dotsb +a_{d}X^{d}}}$

in den Ring $K(\!(X)\!)$ in ähnlicher Weise wie K[X] in K[[X]] einbetten. Ein wichtiges Beispiel ist

$K(X)\ni \quad {\frac {1}{1-X}}=\sum _{n=0}^{\infty }X^{n}\quad \in K(\!(X)\!)$ .

Allgemeiner:
Ist

$A(X)=\sum _{n=0}^{d}a_{n}X^{n}$

ein von 0 verschiedenes Polynom, dann ist mit $k:=\operatorname {ord} _{X}(A)\in \mathbb {N} _{0}$ der (Leit-)Koeffizient $a_{k}\neq 0$ invertierbar in und mit

$C(X):=X^{-k}\,A(X)=:\sum _{n=0}^{d-k}a_{n+k}X^{n+k}\in K[[X]]$

$\operatorname {ord} _{X}(C)=0$ . Damit ist $C(X)$ multiplikativ invertierbar in $K[[X]]$ mit dem multiplikativen Inversen $D(X):=C(X)^{-1}\in K[[X]]$ . Das multiplikative Inverse von $A(X)$ ist dann

${\begin{array}{rll}B(X)=&\sum _{n=-k}^{\infty }b_{n}X^{n}\\:=&X^{-k}\,D(X)&\qquad {\bigl (}\in K(\!(X)\!)\,{\bigr )}\\=&X^{-k}\,C(X)^{-1}\\=&X^{-k}\,{\bigl (}X^{-k}\,A(X){\bigr )}^{-1}\\=&A(X)^{-1}\end{array}}$

mit den Koeffizienten

${\begin{array}{lll}b_{-k}&=a_{k}^{-1}\\b_{n}&=-a_{k}^{-1}\sum _{i=k+1}^{\min(d,2k+n)}a_{i}b_{k+n-i}&\quad (n\geq -k+1).\end{array}}$
Beispiel: Ist $A(X)=1-X-X^{2}$ , dann ist $b_{0}=b_{1}=1$ und $b_{n}=b_{n-1}+b_{n-2}$ für $n\geq 2$ . Die $b_{n}$ sind also die (um 1 Position verschobene) Fibonacci-Folge und $X/A(X)=X\,B(X)$ ihre erzeugende Funktion.
Somit ist ein Polynomquotient $B=1/A$ an seiner Koeffizientenfolge $\left(b_{n}\right)$ nicht so leicht als rational zu erkennen wie eine rationale Zahl an ihrer periodischen g-adischen Entwicklung.

$K(\!(X)\!)$ ist die Vervollständigung des Körpers K(X) bezüglich der im § Konvergenz beschriebenen Metrik.

Konvergenz

Eine formale Potenzreihe

$A(X)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}$

ist unter der Metrik

$\operatorname {d} (A,B):=|A-B|=2^{-\!\operatorname {ord} (A-B)}$ .

Grenzwert der Folge von Polynomen ${\bigl (}A_{k}(X){\bigr )}_{k\in \mathbb {N} }$ mit

$A_{k}(X):=\sum _{n=0}^{k}a_{n}X^{n}$ .

Das einschlägige Konvergenzkriterium ist ein Cauchy-Kriterium für Folgen, und $R[[X]]$ ist die Vervollständigung des Polynomrings R[X] bezüglich dieser Metrik.

Diese Metrik erzeugt die Krulltopologie in den Ringen $R[[X]]$ und $R(\!(X)\!)$ .

Zwei Folgen von formalen Laurent-Reihen ${\bigl (}A_{k}(X){\bigr )}_{k\in \mathbb {N} }\in R(\!(X)\!)$ und ${\bigl (}B_{l}(X){\bigr )}_{l\in \mathbb {N} }\in R(\!(X)\!)$ haben genau dann denselben Grenzwert, wenn es zu jedem $\varepsilon >0$ ein $N\in \mathbb {Z}$ gibt, so dass für alle $k,l>N$

$|A_{k}(X)-B_{l}(X)|<\varepsilon$

ist, was nichts Anderes bedeutet, als dass für ausreichend große Indizes die Differenzen von Gliedern der beiden Folgen durch beliebig hohe Potenzen von teilbar sind – kurz: dass die beiden Grenzwerte gleiche Koeffizienten haben.

Zur Konvergenz von Potenzreihen und Laurent-Reihen für „eingesetzte Werte“ von (aufgefasst als Variable) in reeller/komplexer Metrik siehe Konvergenz von Laurent-Reihen.

Verkettung (Komposition)

Eine formale Potenzreihe $\textstyle P(X):=\sum _{i=1}^{\infty }p_{i}X^{i}=p_{1}X+p_{2}X^{2}+\cdots$ ohne Absolutglied lässt sich in eine formale Potenz- oder Laurent-Reihe $\textstyle A(X):=\sum _{n\in \mathbb {Z} }a_{j}X^{j}$ mit dem Ergebnis

${\begin{array}{lll}C(X)&:=&(A\circ P)(X):=A(P(X)\!)\\&=&\sum _{j\in \mathbb {Z} }a_{j}{\bigl (}P(X){\bigr )}^{j}\\&=&\sum _{j\in \mathbb {Z} }a_{j}\left(\sum _{i=1}^{\infty }p_{i}X^{i}\right)^{j}\\&=:&\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}X^{n}\end{array}}$

einsetzen (mit ihr verketten).
Für die Einsetzbarkeit der Potenzreihe $P(X)$ ist wichtig, dass sie keinen konstanten Term (kein Absolutglied) hat, dass also $\operatorname {ord} _{X}(P)\geq 1$ ist. Denn dann hängt $c_{n}$ nur von einer endlichen Anzahl von Koeffizienten ab.

Ist A(X) eine Potenzreihe, also $\operatorname {ord} _{X}(A)\geq 0$ , dann ist auch C(X) eine Potenzreihe, und für die Koeffizienten $c_{n}$ gilt die Formel

$c_{n}=[X^{n}]\,\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}\left(\sum _{i=1}^{\infty }p_{i}X^{i}\right)^{j}=\sum _{j\in \mathbb {N} _{0},\,\vert {\boldsymbol {i}}\vert =n}a_{j}p_{i_{1}}p_{i_{2}}\cdots p_{i_{n}}$

mit ${\boldsymbol {i}}:=(i_{1},\ldots ,i_{n})$ und $\vert {\boldsymbol {i}}\vert :=i_{1}+\cdots +i_{n}$ (s. Konventionen der Multiindex-Schreibweise).

Andernfalls, wenn es n<0 mit $a_{n}\neq 0$ gibt, dann können Potenzen $P(X)^{n}$ mit negativem Exponenten über das multiplikative Inverse $P(X)^{-1}$ gebildet werden.

Die $c_{n}$ sind Polynome in den $p_{i},\dotsc ,a_{j},\dotsc$ mit ganzzahligen Koeffizienten. Eine explizitere Darstellung findet sich im

→ Hauptartikel: Formel von Faà di Bruno

Formale Differentiation

Die formale Ableitung der formalen Potenz- oder Laurent-Reihe $\textstyle A(X)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }a_{n}X^{n}$ wird mit $\operatorname {D} _{X}A(X)=\operatorname {D} A(X)=\operatorname {D} A$ oder (wie in der Analysis) mit $A^{\prime }$ bezeichnet:

$\operatorname {D} A(X)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }na_{n}X^{n-1}$ .

Dabei ergibt die Ableitung einer formalen Potenzreihe wieder eine formale Potenzreihe. Sie ist eine -Derivation, und sie gehorcht den bekannten Rechenregeln der Differentialrechnung einschließlich der Kettenregel:

$\operatorname {D} (A\circ B)(X)=(\operatorname {D} A)\left(B(X)\right)\cdot \operatorname {D} B(X)$ .

Bezogen auf die Ableitung verhalten sich formale Potenz- oder Laurent-Reihen wie (unendliche) Taylor-Reihen oder Laurent-Reihen. Tatsächlich ist für $k\leq m$

$\left[X^{m-k}\right](\operatorname {D} ^{k}A)(X)=\prod _{j=0}^{k-1}(m-j)\,\left[X^{m}\right]A(X)=k!\,{\binom {m}{k}}\,a_{m}$

und

$\left[X^{0}\right](\operatorname {D} ^{m}A)(X)=m!\,a_{m}$ .

Damit sind in einem Ring mit von 0 verschiedener Charakteristik immer nur endlich viele formale Ableitungen von der Nullreihe verschieden. Ferner gilt

$\operatorname {ord} (A^{\prime })\geq \operatorname {ord} (A)-1$ .

Für Reihen mit $\operatorname {ord} (A)\;l(A)\;\neq 0$ gilt das Gleichheitszeichen.

Formales Residuum

Sei ein Körper der Charakteristik 0. Dann ist die Abbildung

$\operatorname {D} \colon K(\!(X)\!)\to K(\!(X)\!)$

eine -Derivation, die

$\ker \operatorname {D} =K$

$\operatorname {im} \operatorname {D} =\left\{A\in K(\!(X)\!):[X^{-1}]A=0\right\}$

erfüllt. Das zeigt, dass der Koeffizient von $X^{-1}$ in von besonderem Interesse ist; er wird formales Residuum von genannt und mit $\operatorname {Res} (A)$ notiert. Die Abbildung

$\operatorname {Res} :K(\!(X)\!)\to K$

ist -linear, und man hat die exakte Sequenz

$0\to K\to K(\!(X)\!)\;{\xrightarrow[{\operatorname {D} }]{\;}}\,K(\!(X)\!)\;{\xrightarrow[{\operatorname {Res} }]{\;}}\,K\to 0$ .

Ein paar Regeln aus der Differentialrechnung

Für alle $A=\textstyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }a_{n}X^{n},B\in K(\!(X)\!)$ gilt:

i.	$\operatorname {Res} (A^{\prime })=0$ .
ii.	$\operatorname {Res} (AB^{\prime })=-\operatorname {Res} (A^{\prime }B)$ .
iii.	$A\neq 0$	$\implies \,\operatorname {Res} (A^{\prime }/A)=\operatorname {ord} (A)$ .
iv.	$\operatorname {ord} (B)>0$	$\implies \,\operatorname {Res} \left(\!(A\circ B)B^{\prime }\right)=\operatorname {ord} (B)\operatorname {Res} (A)$ .
v.	$[X^{n}]A(X)=\operatorname {Res} \left(X^{-n-1}A(X)\right).$

Eigenschaft (i) ist Teil der exakten Sequenz.
Eigenschaft (ii) folgt aus (i), wenn auf $(AB)^{\prime }=A^{\prime }B+AB^{\prime }$ angewendet.
Eigenschaft (iii): jedes $A\in K(\!(X)\!)$ kann als $A=:X^{m}B$ mit $m:=\operatorname {ord} (A)$ und $C\in K[[X]]$ geschrieben werden, woraus $A^{\prime }/A=mX^{-1}+C^{\prime }/C.$ Wegen $\operatorname {ord} (C)=0$ ist invertierbar in $K[[X]]\subset \operatorname {im} (\operatorname {D} )=\ker(\operatorname {Res} ),$ woraus $\operatorname {Res} (A^{\prime }/A)=m$ folgt.
Eigenschaft (iv): Da $\operatorname {im} (\operatorname {D} )=\ker(\operatorname {Res} ),$ kann man $A=a_{-1}X^{-1}+F^{\prime },$ mit $F\in K[[X]]$ schreiben. Folglich ist $(A\circ B)B^{\prime }=a_{-1}B^{-1}B^{\prime }+(F^{\prime }\circ B)B^{\prime }=a_{-1}B^{\prime }/B+(F\circ B)^{\prime }$ und (iv) folgt aus (i) und (iii).
Eigenschaft (v) folgt direkt aus der Definition.

Inverses der Komposition (Umkehrfunktion)

Hat die formale Potenzreihe $\textstyle A(X)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}X^{n}\in R[[X]]$ den Koeffizienten $\left[X^{0}\right]A(X)=0$ und ist $\left[X^{1}\right]A(X)=a_{1}$ invertierbar in , dann lässt sich das Inverse der Komposition, die (formale) Umkehrfunktion, $\textstyle B(X):=A^{-1}(X)=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}X^{n}$ von bilden. Ihre Koeffizienten $b_{n}$ sind ganzzahlige Polynome in $a_{1}^{-1}$ und den $a_{n}(n\geq 2)$ .

Etwas schwächer, aber leichter hinzuschreiben, sind die Aussagen:

Ist ein Körper der Charakteristik 0, dann wird die Formel

$b_{n}=1/n\left[X^{n-1}\right]\left({\frac {X}{A(X)}}\right)^{n}$

$(\mathbf {I} )$

als eine weitere Version der Lagrangeschen Inversionsformel gehandelt.

Etwas breiter einsetzbar ist die Formel:
Ist $\textstyle C(X)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}X^{n}\in K[[X]]$ beliebig, dann ist

$(C\circ A^{-1})(X)=c_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {X^{n}}{n}}\left[Y^{n-1}\right]C^{\prime }(Y)\left({\frac {Y}{A(Y)}}\right)^{n}$

$(\mathbf {II} )$

Es gibt verschiedene Formulierungen der Lagrangeschen Inversionsformel (dazu gehört die Formel von Lagrange-Bürmann) häufig mithilfe von höheren Ableitungen und Bell-Polynomen.

Beispiel

Die zu

$A(X):=X-{\frac {aX^{2}}{1!}}+{\frac {a^{2}X^{3}}{2!}}\mp \cdots =X\exp(-aX)={\frac {X}{\exp(aX)}}$

inverse Reihe ist

$B(X):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(na\right)^{n-1}}{n!}}X^{n}$ ,

denn es ist $(\mathbf {I} )$

$b_{n}=1/n\left[X^{n-1}\right]{\frac {X}{A(X)}}=1/n\left[X^{n-1}\right]\exp(aX)={\frac {\left(na\right)^{n-1}}{n!}}$ ,

woraus die Behauptung.

Universelle Eigenschaft

Der Ring $R[[X]]$ kann durch die folgende universelle Eigenschaft charakterisiert werden:
Sei eine kommutative assoziative Algebra über dem kommutativen und unitären Ring . Ist nun ein Ideal von derart, dass die -adische Topologie auf vollständig ist, und ist $x\in I,$ dann gibt es ein eindeutiges $\Phi :R[[X]]\to B$ mit den folgenden Eigenschaften:

$\Phi (X)=x$
$\Phi$ ist ein Homomorphismus von -Algebren
$\Phi$ ist stetig.

In mehreren Unbestimmten

Ist ein kommutativer Ring mit 1, dann sind $R_{1}:=R[[X_{1}]]$ und ${}_{1}\!R:=R(\!(X_{1})\!)$ kommutative Ringe mit 1 und damit auch rekursiv

$R_{m}:=R_{m-1}[[X_{m}]]=:R[[X_{1},\dotsc ,X_{m}]]$

und

${}_{m}\!R:={}_{m-1}\!R(\!(X_{m})\!)=:R(\!(X_{1},\dotsc ,X_{m})\!)$ .

Dabei kommt es nicht auf die Reihenfolge der $X_{1},\dotsc ,X_{m}$ an, m.a.W.: die Ringe aller Permutationen sind isomorph, und man kann jeden Zwischenring als Ausgangsring auffassen.

Allgemein versteht man jede Summe

$A(X_{1},\dotsc ,X_{m})=\sum _{n_{1},\dotsc ,n_{m}\in \mathbb {Z} }a_{n_{1},\dotsc ,n_{m}}X_{1}^{n_{1}}\dotsm X_{m}^{n_{m}}$

von Monomen der Form $a_{n_{1},\dotsc ,n_{m}}X_{1}^{n_{1}}\dotsm X_{m}^{n_{m}}$ mit ganzzahligen Exponenten $n_{1},\dotsc ,n_{m}$ als formale Reihe in mehreren Unbestimmten, und zwar als Potenzreihe, wenn alle Koeffizienten mit einer negativen Indexkomponente $n_{i}$ verschwinden, oder als Laurent-Reihe, wenn es eine untere Schranke $u\in \mathbb {Z}$ mit $a_{n_{1},\dotsc ,n_{m}}\neq 0\implies \forall i:n_{i}\geq u$ gibt.

Durch eine Monomordnung ist es möglich, die Monome entsprechend anzuordnen und dadurch Begriffe wie Leitkoeffizient zu verallgemeinern.

Die Größe $n_{1}+\dotsb +n_{m}$ heißt der Totalgrad eines Monoms $X_{1}^{n_{1}}\dotsm X_{m}^{n_{m}}$ . Haben die (nichtverschwindenden) Monome einer formalen Potenz- oder Laurent-Reihe alle denselben Totalgrad, so ist sie eine homogene Reihe; bei einer formalen Potenzreihe handelt es sich dann um ein homogenes Polynom.

Beim Operator zur Koeffizientenextraktion

$\left[X_{m}^{n_{m}}\right]A(X_{1},\dotsc ,X_{m})$

aus der Potenz- oder Laurent-Reihe müssen konstruktionsbedingt alle Monome, in denen die Unbestimmte $X_{m}$ den Grad $n_{m}$ hat, als Potenz- oder Laurent-Reihe in den anderen Unbestimmten $X_{1},\dotsc ,X_{m-1}$ zusammengefasst werden.

Bei der obigen sukzessiven Bildung von $R_{2}:=R_{1}[[X_{2}]]={\bigl (}R[[X_{1}]]{\bigr )}[[X_{2}]]$ geht die Topologie des Ausgangsrings, hier: $R_{1}:=R[[X_{1}]]$ , verloren: die Topologie des Teilraums $R_{1}$ in $R_{2}=R_{1}[[X_{2}]]$ ist konstruktionsgemäß die diskrete. Man kann aber auch, wenn solches nicht erwünscht ist, das Ergebnis $R[[X_{1},X_{2}]]$ mit dem Produkt der Topologien von $R[[X_{1}]]$ und $R[[X_{2}]]$ ausstatten. Für Ringe $R(\!(X_{1},X_{2})\!)$ von formalen Laurent-Reihen gilt Entsprechendes.

Siehe auch

Anmerkungen

↑ die unter der noch zu definierenden Addition eine additive Gruppe ist, bei der die nachfolgende Definition der Multiplikation aber nicht funktioniert

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de