Homogenes Polynom

Ein Polynom heißt homogen, falls alle Monome, aus denen das Polynom besteht, den gleichen Grad haben.

Definition

Sei ein kommutativer Ring mit Eins und $R[X_{1},\dots ,X_{n}]$ der Polynomring über in Unbestimmten. Ein Monom ist dann ein Polynom $p\in R[X_{1},\dots ,X_{n}]$ , für das ein $\alpha \in R$ mit

$p=\alpha X_{1}^{{i_{1}}}\cdot \dots \cdot X_{n}^{{i_{n}}}$

existiert. Der Grad dieses Monoms ist

${\mathrm {deg}}(p)=i_{1}+\dots +i_{n}.$

Ein Polynom in $R[X_{1},\dots ,X_{n}]$ wird homogen genannt, wenn es eine Summe von Monomen gleichen Grades ist.

Eigenschaften

$f\in R[X_{1},\dotsc ,X_{n}]$ ist genau dann homogen vom Grad , wenn in $R[X_{1},\dotsc ,X_{n}][T]$ gilt:

$f(TX_{1},\dotsc ,TX_{n})=T^{k}\cdot f(X_{1},\dotsc ,X_{n}).$

Bei einem Polynomring über einem Integritätsring ist ein Produkt von Polynomen genau dann homogen, wenn jeder Faktor homogen ist.

Beispiele

Jedes Monom ist homogen.
Die Menge aller homogenen Polynome in , dem Polynomring in einer Variablen über , ist gegeben durch

$\{ a X^n \; | \; a \in R, \; n \in \mathbb{N} \cup \{ 0 \} \}.$

Einfache Beispiele für homogene Polynome in (siehe ganze Zahlen):
- $X^{4}-Y^{4}$ ist homogen wegen $\deg( X^4 ) = \deg( Y^4 ) = 4.$
- $X^{7}+5X^{3}Y^{4}+XY^{6}$ ist homogen wegen $\deg( X^7 ) = \deg( X^3 Y^4 ) = \deg( X Y^6 ) = 7.$
Beispiele für nicht-homogene Polynome in (siehe rationale Zahlen):
- $X^{4}Z-{\frac {3}{4}}YZ^{2}$ ist nicht homogen wegen $\deg( X^4 Z ) = 5 \neq 3 = \deg( Y Z^2 ).$
- $X^{3}Y^{3}Z^{2}-3X^{2}Y^{6}-{\frac {7}{3}}Y^{5}$ ist nicht homogen wegen $\deg(X^{3}Y^{3}Z^{2})=\deg(X^{2}Y^{6})=8$ und $\deg( Y^5 ) = 5.$

Graduierung

Jedes Polynom lässt sich auf eindeutige Weise als Summe von homogenen Polynomen verschiedenen Grades schreiben, indem man alle Monome gleichen Grades zusammenfasst. Der Polynomring lässt sich also als eine direkte Summe schreiben:

$R[X_{1},\ldots ,X_{n}]=\bigoplus _{{d\geq 0}}A_{d},$