Viereck

Einige Typen von Vierecken

Ein Viereck (auch Tetragon, Quadrangel oder Quadrilateral) ist eine Figur der ebenen Geometrie, nämlich ein Vieleck mit vier Ecken und vier Seiten. Analog zu Dreiecken ist auch eine Verallgemeinerung des Vierecksbegriffes auf nichteuklidische Geometrien (gekrümmte Vierecke) möglich. In der projektiven Geometrie spielen vollständige Vierecke und die dazu dualen vollständigen Vierseite eine wichtige Rolle. In der endlichen Geometrie werden Inzidenzeigenschaften des Vierecks zur Definition des Begriffs „Verallgemeinertes Viereck“ verwendet.

Einteilung

Hierarchie der Vierecke

Mengendiagramm ohne Tangentenvierecke

Mengendiagramm ohne Drachenvierecke

Ein Viereck hat zwei Diagonalen. Liegen beide Diagonalen innerhalb des Vierecks, so ist das Viereck konvex, liegt genau eine Diagonale außerhalb, so hat das Viereck eine konkave Ecke. Das Viereck ist das einfachste Vieleck, das konkav sein kann. Bei einem überschlagenen Viereck liegen beide Diagonalen außerhalb des Vierecks, zum Beispiel beim verschränkten Trapez. Überschlagene Vierecke sind verallgemeinerte Polygone und werden normalerweise nicht zu den Vierecken gerechnet. Gleiches gilt für entartete Vierecke, bei denen zwei oder mehr Eckpunkte zusammenfallen oder mehr als zwei Eckpunkte auf einer Geraden liegen.

Die Summe der Innenwinkel im Viereck beträgt 360°, weil sich jedes Viereck in zwei Dreiecke zerlegen lässt.

Ein Trapez ist ein Viereck mit mindestens zwei parallelen Seiten. Sind je zwei einander gegenüberliegende Seiten parallel, spricht man vom Parallelogramm. Ein Viereck, welches vier gleich große Innenwinkel von 90°, also rechte Winkel, hat, ist ein Rechteck. Ein Rechteck, das vier gleich lange Seiten hat, ist ein Quadrat. Das Quadrat ist das regelmäßige Viereck.

Beim Drachenviereck (Deltoid) stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander, und eine Diagonale wird durch die andere halbiert. Dies ist gleichbedeutend damit, dass es zwei Paare benachbarter Seiten gibt, die jeweils gleich lang sind. Bei vier gleich langen Seiten spricht man von einer Raute (Rhombus). Ein Quadrat ist eine Raute mit vier gleich großen Innenwinkeln.

Bei einem Sehnenviereck sind die vier Seiten Sehnen des Umkreises. Sind die vier Seiten Tangenten eines Inkreises, so spricht man von einem Tangentenviereck.

Zwischen den einzelnen Vierecktypen gelten Mengenrelationen, insbesondere die in der Abbildung dargestellten Teilmengenbeziehungen, wie zum Beispiel

Quadrate ⊂ Rechtecke ⊂ Parallelogramme ⊂ Trapeze ⊂ konvexe Vierecke ⊂ Vierecke

Die Quadrate sind eine Teilmenge der Rechtecke, die Rechtecke sind eine Teilmenge der Parallelogramme usw.

Ferner gelten auch noch folgende Beziehungen für Schnittmengen:

Quadrate = Rechtecke ∩ Rauten
Quadrate = Drachenvierecke ∩ gleichschenklige Trapeze
Rechtecke = Sehnenvierecke ∩ Parallelogramme
Rauten = Drachenvierecke ∩ Trapeze
Rauten = Tangentenvierecke ∩ Parallelogramme
Gleichschenklige Trapeze = Sehnenvierecke ∩ Trapeze

Die ebenen Vierecke werden nach verschiedenen Gesichtspunkten eingeteilt:

nach Eigenschaften des Inneren:
- konvex
- nicht konvex

nach Symmetrie-Eigenschaften:
- eine Diagonale ist Symmetrieachse: Drachenviereck
- beide Diagonalen sind Symmetrieachsen: Raute
- die Mittelsenkrechte einer Seite ist eine Symmetrieachse: gleichschenkliges Trapez
- die Mittelsenkrechten zweier Seiten sind Symmetrieachsen: Rechteck
- vier Symmetrieachsen: Quadrat
- zweizählige Drehsymmetrie (Punktsymmetrie): Parallelogramm
- vierzählige Drehsymmetrie: Quadrat

nach der Länge der Seiten:
- zwei Paare gleich langer gegenüber liegender Seiten: Parallelogramm
- zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten: Drachenviereck
- gleichseitiges Viereck: Raute
- die Summe der Längen gegenüber liegender Seiten ist gleich: Tangentenviereck

nach der Größe der Winkel:
- zwei Paare gleich großer gegenüber liegender Winkel: Parallelogramm
- zwei Paare gleich großer benachbarter Winkel: gleichschenkliges Trapez
- gleichwinkeliges Viereck: Rechteck
- die Summe gegenüber liegender Winkel ergibt 180°: Sehnenviereck

nach der Lage der Seiten:
- ein Paar paralleler Seiten: Trapez
- zwei Paar paralleler Seiten: Parallelogramm
- die Seiten berühren denselben Kreis (den Inkreis): Tangentenviereck

nach der Lage der Ecken:
- die Ecken liegen auf demselben Kreis (dem Umkreis): Sehnenviereck

Die wichtigsten Eigenschaften der besonderen Vierecke sind in folgender Tabelle dargestellt:

	Anzahl der Symmetrieachsen	punktsymmetrisch	gegenüber liegende Seiten parallel	gegenüber liegende Seiten gleich lang	benachbarte Seiten gleich lang	gegenüber liegende Winkel gleich groß	benachbarte Winkel gleich groß	Summe der gegenüber liegenden Seitenlängen gleich	Summe der gegenüber liegenden Winkel gleich
Quadrat	4	ja	paarweise	alle	alle	alle	alle	ja	ja
Rechteck	mindestens 2	ja	paarweise	paarweise		alle	alle		ja
Raute	mindestens 2	ja	paarweise	alle	alle	paarweise		ja
Parallelogramm		ja	paarweise	paarweise		paarweise
gleichschenkliges Trapez	mindestens 1		ja	ja			paarweise		ja
Drachenviereck	mindestens 1				paarweise			ja
Trapez			ja
Sehnenviereck									ja
Tangentenviereck								ja

Formeln

Mathematische Formeln zum allgemeinen Viereck
Flächeninhalt (Formel von Bretschneider, Gaußsche Trapezformel)	$A={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {4\cdot e^{2}\cdot f^{2}-\left(b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}\right)^{2}}}$
	$A={\frac {a\cdot d\cdot \sin(\alpha )+b\cdot c\cdot \sin(\gamma )}{2}}={\frac {a\cdot b\cdot \sin(\beta )+c\cdot d\cdot \sin(\delta )}{2}}$
	$A={\frac {1}{4}}\cdot \left(b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}\right)\cdot \tan(\theta )$
	$A={\frac {e\cdot f\cdot \sin(\theta )}{2}}$
	$A={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {\|{\vec {e}}\|^{2}\cdot \|{\vec {f}}\|^{2}-({\vec {e}}\cdot {\vec {f}})^{2}}}$
	$A={\frac {1}{2}}\cdot \left\|(x_{A}-x_{C})\cdot (y_{B}-y_{D})+(x_{D}-x_{B})\cdot (y_{A}-y_{C})\right\|$
Länge der Diagonalen (siehe Kosinussatz)	$e={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\beta )}}={\sqrt {c^{2}+d^{2}-2\cdot c\cdot d\cdot \cos(\delta )}}$
Länge der Diagonalen (siehe Kosinussatz)	$f={\sqrt {a^{2}+d^{2}-2\cdot a\cdot d\cdot \cos(\alpha )}}={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2\cdot b\cdot c\cdot \cos(\gamma )}}$
Innenwinkel (siehe Kosinussatz)	$\alpha =\arccos \left({\frac {a^{2}+d^{2}-f^{2}}{2\cdot a\cdot d}}\right)$
	$\beta =\arccos \left({\frac {a^{2}+b^{2}-e^{2}}{2\cdot a\cdot b}}\right)$
	$\gamma =\arccos \left({\frac {b^{2}+c^{2}-f^{2}}{2\cdot b\cdot c}}\right)$
	$\delta =\arccos \left({\frac {c^{2}+d^{2}-e^{2}}{2\cdot c\cdot d}}\right)$

Ein konvexes Viereck kann durch fünf voneinander unabhängige Bestimmungsstücke wie

beschrieben werden. Ein Beispiel nicht unabhängiger Größen sind die vier Innenwinkel, weil sich der vierte Innenwinkel aus den drei anderen und der Innenwinkelsumme von 360° berechnen lässt. Sind auch nichtkonvexe Vierecke zugelassen, gibt es mehrdeutige Kombinationen, z.B. vier Seiten und ein Innenwinkel, da die dem gegebenen Winkel gegenüberliegende Ecke konvex oder konkav sein kann.

Wenn ein spezielles Viereck vorliegt, reichen weniger Größen aus, um seine Form zu beschreiben:

vier bei einem Tangentenviereck, Sehnenviereck oder Trapez
drei bei einem Parallelogramm, Drachenviereck, rechtwinkligen Trapez oder gleichschenkligen Trapez
zwei bei einer Raute oder einem Rechteck
eine bei einem Quadrat

Ungleichungen

Für ein konvexes Viereck mit den Seitenlängen >, , , , den Diagonalen , und dem Flächeninhalt > gelten folgende Ungleichungen:

$A\leq {\frac {(a+c)\cdot (b+d)}{4}}$ mit Gleichheit nur für Rechtecke

$A\leq {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}{4}}$ mit Gleichheit nur für Quadrate

$A\leq {\frac {(a+b+c+d)^{2}}{16}}$ mit Gleichheit nur für Quadrate

$A\leq {\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {(a^{2}+c^{2})\cdot (b^{2}+d^{2})}}$ mit Gleichheit nur für Rechtecke

$A\leq {\frac {e\cdot f}{2}}$ mit Gleichheit nur dann, wenn die Diagonalen orthogonal sind

$A\leq {\frac {e^{2}+f^{2}}{4}}$ mit Gleichheit nur dann, wenn die Diagonalen orthogonal und gleich lang sind

Aus der Formel von Bretschneider folgt mit $s={\frac {a+b+c+d}{2}}$ die Ungleichung

$A\leq {\sqrt {(s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)\cdot (s-d)}}$ mit Gleichheit nur für Sehnenvierecke

Schwerpunkt

Schwerpunkt im Viereck
Die gepunkteten Linien, der Punkt und die Schwerpunkte $S_{3}$ und $S_{4}$ sind für die alternative Lösung nicht erforderlich, sie dienen lediglich der Verdeutlichung, z. B. der Parallelität der Halbgeraden zur Diagonalen.

Bei punktsymmetrischen Vierecken, den Parallelogrammen, ist der Schwerpunkt das Symmetriezentrum, also der Diagonalenschnittpunkt.

Im Allgemeinen muss man unterscheiden zwischen dem Eckenschwerpunkt (alle Masse sitzt in den Ecken, jede Ecke hat die gleiche Masse) und dem Flächenschwerpunkt (die Masse ist gleichmäßig über die Fläche des Vierecks verteilt). Beim Dreieck stimmen diese beiden Schwerpunkte überein. Daneben gibt es noch den Kantenschwerpunkt (die Masse ist gleichmäßig auf die Kanten verteilt, die Masse jeder Kante ist proportional zu ihrer Länge). Der Kantenschwerpunkt wird jedoch selten betrachtet. Er stimmt auch beim Dreieck nicht mit dem Flächen- und Eckenschwerpunkt überein, sondern entspricht dort dem Inkreismittelpunkt des Mittendreiecks.

Den Flächenschwerpunkt eines Vierecks kann man wie folgt konstruieren: Man zerlegt das Viereck durch eine Diagonale in zwei Dreiecke und bestimmt jeweils deren Schwerpunkt als Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Diese beiden Punkte verbindet man durch eine Gerade. Dasselbe wiederholt man, indem man das Viereck durch die andere Diagonale teilt. Der Schnittpunkt der beiden Verbindungsgeraden ist der Schwerpunkt des Vierecks.

Die Gerade durch die beiden Dreiecksschwerpunkte ist eine Schwerlinie beider Dreiecke und damit auch des Vierecks. Also muss der Schwerpunkt auf dieser Geraden liegen.

Den Eckenschwerpunkt erhält man, indem man die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten verbindet. Der Schnittpunkt der beiden Verbindungslinien ist der Eckenschwerpunkt. Ist ein kartesisches Koordinatensystem gegeben, so kann man die Koordinaten des Eckenschwerpunkts $S(x_{S}|y_{S})$ aus den Koordinaten der Ecken $A(x_{A}|y_{A}),B(x_{B}|y_{B}),C(x_{C}|y_{C}),D(x_{D}|y_{D})$ berechnen:

$x_{S}={\frac {1}{4}}\cdot (x_{A}+x_{B}+x_{C}+x_{D}),\quad y_{S}={\frac {1}{4}}\cdot (y_{A}+y_{B}+y_{C}+y_{D})$

Die nebenstehende Darstellung, konstruiert ähnlich wie oben beschrieben, beinhaltet auch eine alternative Vorgehensweise. Dazu sind in zwei sich kreuzenden Dreiecken deren Schwerpunkte $S_{1}$ und $S_{2}$ zu ermitteln. Abschließend wird eine Halbgerade ab $S_{1}$ parallel zur Diagonale $\overline{BD}$ und eine Halbgerade ab $S_{2}$ parallel zur Diagonale $\overline{AC}$ gezogen. Somit ist der Schnittpunkt der beiden Halbgeraden der Flächenschwerpunkt des Vierecks. Dies bedeutet, die gepunkteten Linien, der Punkt und die Schwerpunkte $S_{3}$ und $S_{4}$ sind für die alternative Vorgehensweise nicht erforderlich.

Siehe auch

Zu den Begriffen vollständiges Viereck und vollständiges Vierseit in der projektiven Geometrie siehe deren Definition im Artikel Fano-Axiom

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de