Ergodenhypothese

Die Ergodenhypothese (oft auch als Ergodentheorem bezeichnet) besagt, dass sich thermodynamische Systeme in der Regel zufällig verhalten („molekulares Chaos“), sodass alle energetisch möglichen Phasenraum-Regionen auch erreicht werden. Die Zeitspanne, während der sich eine Trajektorie im Phasenraum der Mikrozustände in einer bestimmten Region befindet, ist proportional zum Volumen dieser Region. Anders ausgedrückt besagt die Hypothese, dass thermodynamische Systeme die Eigenschaft der Ergodizität besitzen.

Die Ergodenhypothese ist grundlegend für die statistische Mechanik. Sie verbindet unter anderem die Ergebnisse von Molekulardynamik-Simulationen und Monte-Carlo-Simulationen.

Definition und Einschränkung

Präzise wird angenommen, dass für fast alle Messgrößen der Zeitmittelwert ${\overline {A(t)}}$ gleich dem Ensemblemittelwert $\langle A\rangle$ ist:

${\overline {A(t)}}=\lim _{t\to \infty }{\frac {1}{t}}\int _{0}^{t}A(t')\mathrm {d} t'{\overset {!}{=}}\langle A\rangle =\sum _{i}p_{i}A_{i},$

wobei $p_{i}$ die Wahrscheinlichkeit des Zustandes ist, welche durch die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Ensembles gegeben ist.

Voraussetzung für die Gültigkeit ist, dass der betrachtete stochastische Prozess stationär ist und eine endliche Korrelationszeit besitzt; dann gilt die Ergodenhypothese im Limes unendlicher Zeit.

Ferner ist ein dynamisches System nur insofern ergodisch (genauer: quasi-ergodisch), als die Trajektorie (d.h. die Bahn des Systems) jedem Punkt im Phasenraum in endlicher Zeit beliebig nahekommt. Dagegen formulierte Ludwig Boltzmann in seiner ursprünglichen Arbeit im Jahr 1887, dass die Bahn jeden Punkt trifft.

Obwohl die Ergodenhypothese anschaulich einfach erscheint, ist ihre strenge mathematische Rechtfertigung extrem schwierig.

Verletzung

Im Fall spontaner Symmetriebrechung wird die Ergodenhypothese verletzt (Ergodizitätsbrechung). Es gibt dann disjunkte ergodische Bereiche im Phasenraum. Dies kann bei Phasenübergängen geschehen, bei Glasübergängen, d. h. beim Erstarren einer Flüssigkeit, oder bei Spingläsern.

Verwendung in der Systemtheorie

Man verwendet den Begriff Ergodenhypothese auch in der Systemtheorie zur Klassifizierung von Systemen bzw. der von ihnen erzeugten Signale: ein ergodisches Signal ist ein stochastisches (d.h. dem Zufall unterworfenes) stationäres Signal, das sowohl aperiodisch als auch wiederkehrend ist. Dies ist z.B. der Fall, wenn das Signal eine markante Wellenform hat, ohne dass sich diese in festen Intervallen wiederholt. Ergodische Systeme tendieren dazu, ein Ausgangssignal zu erzeugen, das nur wenig von der Initialanregung abhängt.

Siehe auch

Ergodentheorie

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de