Ergodizität

Ergodizität (griechisch έργον: Werk und όδος: Weg) ist eine Eigenschaft dynamischer Systeme. Der Begriff geht auf den Physiker Ludwig Boltzmann zurück, der diese Eigenschaft im Zusammenhang mit der statistischen Theorie der Wärme untersuchte. Ergodizität wird in der Mathematik in der Ergodentheorie untersucht.

Allgemeines

Die Ergodizität bezieht sich auf das mittlere Verhalten eines Systems. Ein solches System wird durch eine Musterfunktion beschrieben, die die zeitliche Entwicklung des Systems abhängig von seinem aktuellen Zustand bestimmt. Man kann nun auf zweierlei Arten mitteln:

man kann die Entwicklung über einen langen Zeitraum verfolgen und über diese Zeit mitteln, also den Zeitmittelwert bilden, oder
man kann alle möglichen Zustände betrachten und über diese mitteln, also das Scharmittel (Ensemble-Mittel) bilden.

Streng ergodisch wird ein System dann genannt, wenn die Zeitmittel und Scharmittel mit der Wahrscheinlichkeit eins zum gleichen Ergebnis führen. Anschaulich bedeutet das, dass während der Entwicklung des Systems alle möglichen Zustände erreicht werden, der Zustandsraum also mit der Zeit vollständig ausgefüllt wird. Das bedeutet insbesondere, dass bei solchen Systemen der Erwartungswert nicht vom Anfangszustand abhängig ist.

Als schwach ergodisch wird ein System bezeichnet, wenn in beiden Fällen nur der Erwartungswert und die Varianz übereinstimmen und Momente höherer Ordnung vernachlässigt werden.

Der exakte mathematische Nachweis der Ergodizität, insbesondere der Nachweis der strengen Ergodizität, lässt sich nur in Sonderfällen erbringen. In der Praxis wird der Nachweis der schwachen Ergodizität an einer oder einigen wenigen Musterfunktionen vorgenommen.

Beispiele

Ein einfaches physikalisches Beispiel für ein ergodisches System ist ein Teilchen, das sich regellos in einem abgeschlossenen Behälter bewegt (Brownsche Bewegung). Den Zustand dieses Teilchens kann man dann vereinfacht durch seine Position im dreidimensionalen Raum beschreiben, der durch den Behälter begrenzt wird. Dieser Raum ist dann auch der Zustandsraum, und die Bewegung in diesem Raum kann durch eine zufällige Funktion (genauer: einen Wiener-Prozess) beschrieben werden. Verfolgt man nun die Bahnkurve des Teilchens, wird dieses nach genügend langer Zeit jeden Punkt des Behälters passiert haben. Daher ist es egal, ob man eine Mittelung über die Zeit oder den Raum macht – das System ist ergodisch.

In der statistischen Mechanik ist die Annahme, dass sich reale Teilchen tatsächlich ergodisch verhalten, von zentraler Bedeutung für die Ableitungen makroskopischer thermodynamischer Größen, siehe Ergodenhypothese.

Ein weiteres Beispiel ist das Würfeln: Die mittlere Augenzahl von 1000 Würfelwürfen kann man sowohl dadurch ermitteln, dass man mit einem Würfel 1000-mal hintereinander würfelt, als auch dadurch, dass man mit 1000 Würfeln gleichzeitig würfelt. Das liegt daran, dass die 1000 gleichzeitig geworfenen Würfel alle in leicht verschiedenen Zuständen (Lage im Raum, Ausrichtung der Kanten, Geschwindigkeit etc.) sein werden und damit ein Mittel über den Zustandsraum darstellen. Daher kommt auch der Begriff Scharmittel: Bei einem ergodischen System kann man die Entwicklung einer ganzen "Schar" von Anfangszuständen gleichzeitig verfolgen und damit dieselbe statistische Information gewinnen, wie wenn man einen Anfangszustand für einen entsprechend längeren Zeitraum betrachtet. Dies wird bei Messungen ausgenutzt, um bei verrauschten Daten zuverlässige Ergebnisse in kurzer Zeit zu gewinnen.

Ein einfaches Beispiel für einen stationären Prozess, der nicht ergodisch ist, erhält man so: Eine "faire Münze" wird einmal geworfen. Falls „Kopf“ fällt, nimmt man die konstante Folge $(1,1,1,1,\ldots )$ , anderenfalls die konstante Folge $(0,0,0,0,\ldots )$ . Die Scharmittel sind hier gleich ${\tfrac {1}{2}}$ , die Zeitmittel jedoch 1 oder 0 (jeweils mit Wahrscheinlichkeit ${\tfrac {1}{2}}$ ).

Ergodizität in der Zeitreihenanalyse

Für die statistische Inferenz mit Zeitreihen müssen Annahmen getroffen werden, da in der Praxis meist nur eine Realisation des die Zeitreihe generierenden Prozesses vorliegt. Die Annahme der Ergodizität bedeutet, dass Stichprobenmomente, die aus einer endlichen Zeitreihe gewonnen werden, für $T\rightarrow \infty$ quasi gegen die Momente der Grundgesamtheit konvergieren. Für $\operatorname {E}[x_{t}]=\mu$ und $\operatorname {V}[x_{t}]=\sigma ^{2}$ konstant:
mittelwertergodisch: $\lim _{{T\rightarrow \infty }}\operatorname {E}\left[\left({\frac {1}{T}}\sum _{{t=1}}^{{T}}x_{t}-\mu \right)^{2}\right]=0$

varianzergodisch: $\lim _{{T\rightarrow \infty }}\operatorname {E}\left[\left({\frac {1}{T}}\sum _{{t=1}}^{{T}}(x_{t}-\mu )^{2}-\sigma ^{2}\right)^{2}\right]=0$
Diese Eigenschaften bei abhängigen Zufallsvariablen lassen sich nicht empirisch nachweisen und müssen daher unterstellt werden. Damit ein stochastischer Prozess ergodisch sein kann, muss er sich in einem statistischen Gleichgewicht befinden, d.h., er muss stationär sein.

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Ergodizität in der Zeitreihenanalyse

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