Spin-Gruppe

Die Spin-Gruppe ist ein Objekt aus der Mathematik und Physik, insbesondere aus den Bereichen der Spektralgeometrie und Quantenmechanik. Eine zentrale Eigenschaft der Spin-Gruppe $\operatorname {Spin} (n)$ ist, dass sie eine 2-fache Überlagerung der Drehgruppe SO(n) ist.

Definition

Zu einem endlichdimensionalen Vektorraum über einem Körper und einer quadratischen Form $Q\colon V\to K$ auf definiert man die Clifford-Algebra Cl(V,Q) als die Algebra über , die von und dem Einselement $1_{Cl}$ erzeugt wird und deren Multiplikation die Relation

$v\cdot v=-Q(v)1_{Cl}$

erfüllt. Durch diese Beziehung ist die Clifford-Algebra bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.

Die Spin-Gruppe zu dieser quadratischen Form ist dann definiert als Untergruppe der Produkte einer geraden Anzahl von Einheitsvektoren

$\operatorname {Spin} (V,Q):=\{v_{1}\dots v_{2k}\in Cl(V,Q):k\in \mathbb {N} ,v_{1},\ldots ,v_{2k}\in V,Q(v_{1})=\ldots =Q(v_{2k})=1\}\subset Cl(V,Q)$ .

Die Spin-Gruppe zu der quadratischen Form

$Q=x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}$

auf dem $\mathbb {R}$ -Vektorraum $V=\R^n$ wird kurz als $\operatorname {Spin} (n)$ bezeichnet.

Für $p+q=n$ bezeichnet man mit $\operatorname {Spin} (p,q)$ die Spin-Gruppe zu der quadratischen Form

$Q=x_{1}^{2}+\cdots +x_{p}^{2}-x_{p+1}^{2}-\cdots -x_{n}^{2}$

auf dem $\mathbb {R}$ -Vektorraum $V=\R^n$ .

Beispiele

Für $n\leq 6$ hat man die folgenden Isomorphismen zu klassischen Lie-Gruppen:

$\operatorname {Spin} (2)\cong S^{1}$
$\operatorname {Spin} (3)\cong SU(2)$
$\operatorname {Spin} (4)\cong SU(2)\times SU(2)$
$\operatorname {Spin} (5)\cong Sp(2)$
$\operatorname {Spin} (6)\cong SU(4)$

Spin(n) als 2-fache Überlagerung der SO(n)

Satz: $\operatorname {Spin} (n)$ ist eine zweifache Überlagerung der .

Beweisskizze: In der Clifford-Algebra $Cl(n)$ gilt $v^{-1}=-v$ für alle $v\in \mathbb{R} ^{n}$ mit $q(v,v)=1$ . Die Abbildung

$x\to -vxv^{-1}=vxv=x-2q(x,v)v$

ist eine Spiegelung des $\mathbb {R} ^{n}$ und sie ist kompatibel mit Produkten, definiert also eine Darstellung

$\operatorname {Spin} (n)\to SO(n)$ .

Weil jedes Element aus SO(n) Produkt einer geraden Anzahl von Spiegelungen ist, erhält man eine surjektive Abbildung, von der man zeigen kann, dass sie eine Überlagerung ist. Der Kern besteht nur aus $\pm 1_{Cl}$ , denn Elemente im Kern müssen mit allen $x\in\R^n$ kommutieren, also zum Zentrum der Clifford-Algebra gehören, welches aber nur aus skalaren Vielfachen von $1_{Cl}$ besteht. $\pm 1_{Cl}$ sind die einzigen zu $Spin(n)$ gehörenden skalaren Vielfachen von $1_{Cl}$ , wie man mittels der in $\operatorname {Spin} (n)$ gültigen Formel $(v_{1}\ldots v_{2k})^{-1}=v_{2k}\ldots v_{1}$ sieht, aus der für Vielfache von $1_{Cl}$ folgt, dass ihr Quadrat ist.

Für $n \ge 3$ ist $\operatorname {Spin} (n)$ einfach zusammenhängend und die universelle Überlagerung von SO(n) .

Analog ist $\operatorname {Spin} (p,q)$ eine zweifache Überlagerung von $SO_{0}(p,q)$ , der Zusammenhangskomponente der Eins von $SO(p,q)$ . Für $p+q\geq 3$ ist $\operatorname {Spin} (p,q)$ zusammenhängend, dagegen hat $\operatorname {Spin} (1,1)$ zwei Zusammenhangskomponenten.

Lie-Algebra von Spin(n)

Die Lie-Algebra ${\mathfrak {spin}}(n)$ von $\operatorname {Spin} (n)$ ist der von den Produkten $e_{i}e_{j}$ mit $i\not =j$ aufgespannte Unterraum von $Cl(n)$ .

Die Überlagerung $\operatorname {Spin} (n)\to SO(n)$ induziert einen Isomorphismus zur Lie-Algebra $\mathfrak{so}(n)$ der schiefsymmetrischen Matrizen mit Spur $0$ . Dabei entspricht $\textstyle {\frac {1}{4}}\sum _{i,j}a_{ij}e_{i}e_{j}$ der schiefsymmetrischen Matrix mit Einträgen $a_{ij}$ .

Darstellungen von Spin(n)

Durch den Homomorphismus $\operatorname {Spin} (n)\to SO(n)$ werden alle Darstellungen von SO(n) auch zu Darstellungen von $\operatorname {Spin} (n)$ . Das sind zunächst die Standard-Darstellung von SO(n) auf $V=\R^n$ und weiter die induzierten Darstellungen auf den äußeren Algebren $\Lambda ^{k}V$ für $k=2,3,\ldots$

Darüber hinaus gibt es noch für ungerade die Spinor-Darstellung und gerade die beiden Halbspinor-Darstellungen von $\operatorname {Spin} (n)$ , welche sich nicht als Darstellungen von SO(n) faktorisieren lassen. Zusammen mit den zuvorgenannten erhält man so alle Fundamentaldarstellungen von $\operatorname {Spin} (n)$ .

Literatur

Thomas Friedrich: Dirac-Operatoren in der Riemannschen Geometrie. Vieweg Verlag, ISBN 978-3-528-06926-1.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de