Zusammenhangskomponente der Eins

Die Zusammenhangskomponente der Eins ist ein Begriff aus der Theorie der topologischen Gruppen, der in Mathematik und Physik besonders in der Theorie der Lie-Gruppen Anwendung findet.

Definition

Sei eine topologische Gruppe mit neutralem Element $1\in G$ . Dann bezeichnet G^0 die Zusammenhangskomponente der Eins, also diejenige Zusammenhangskomponente von , die das neutrale Element enthält.

Eigenschaften

ist eine abgeschlossene Teilmenge von .
ist eine charakteristische Untergruppe von und insbesondere ein Normalteiler.
Die Faktorgruppe $G/G^{0}$ ist eine total unzusammenhängende Hausdorffsche topologische Gruppe. Sie wird als Komponentengruppe von bezeichnet, ihre Elemente entsprechen den Zusammenhangskomponenten von .
Wenn lokal wegzusammenhängend (zum Beispiel eine Lie-Gruppe) ist, dann ist offen.
Wenn offen ist, dann ist $G/G^{0}$ diskret.
Wenn eine algebraische Gruppe ist, dann ist $G/G^{0}$ endlich.

Beispiele

Für die allgemeine lineare Gruppe $G=GL(n,\mathbb{R} )$ ist $G^{0}=GL^{+}(n,\mathbb {R} )$ die Untergruppe der Matrizen mit positiver Determinante. Die Komponentengruppe $G/G^{0}$ ist isomorph zur zyklischen Gruppe $\mathbb{Z } /2\mathbb{Z }$ .
Für $G=GL(n,\mathbb {C} )$ ist $G^{0}=G$ .
Für eine total unzusammenhängende Gruppe ist $G^{0}=\left\{1\right\}$ .

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de