Algebraische Gruppe

Der mathematische Begriff der algebraischen Gruppe stellt die Synthese aus Gruppentheorie und algebraischer Geometrie dar. Ein zentrales Beispiel ist die Gruppe der invertierbaren n×n-Matrizen.

Definition

Eine algebraische Gruppe ist ein Gruppenobjekt in der Kategorie der algebraischen Varietäten über einem festen Körper, d.h. eine Varietät über einem Körper zusammen mit

einem Morphismus $m\colon G\times G\to G$ (Multiplikation)
einem Morphismus $i\colon G\to G$ (inverses Element)
und einem ausgezeichneten Punkt $e\in G(k)$ (neutrales Element),

so dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

Assoziativgesetz: $m\circ(m\times\mathrm{id}_G)=m\circ(\mathrm{id}_G\times m)$ ;
neutrales Element: $m\circ(\mathrm{id}_G\times e)=\mathrm{id}_G=m\circ(e\times\mathrm{id}_G)$ ;
inverses Element: $m\circ(i\times\mathrm{id}_G)\circ\Delta_G=e\circ\xi=m\circ(\mathrm{id}_G\times i)\circ\Delta_G$ ; dabei ist $\Delta_G\colon G\to G\times G$ die Inklusion der Diagonale und $\xi\colon G\to Spec(k)$ der Strukturmorphismus.

Diese Bedingungen sind äquivalent zu der Forderung, dass (m,i,e) für jedes -Schema auf der Menge G(T) der -wertigen Punkte die Struktur einer (gewöhnlichen) Gruppe definieren.

Beispiele

Die additive Gruppe $\mathbb G_{\mathrm a}$ : $\mathbb G_{\mathrm a}(T)=\Gamma(T,\mathcal O_T)$ mit der Addition als Gruppenstruktur. Insbesondere für ist $\mathbb G_{\mathrm a}=(k,+)$ die affine Gerade $\mathrm{A}^1$ mit der Addition.
Die multiplikative Gruppe $\mathbb G_{\mathrm m}$ : $\mathbb G_{\mathrm m}(T)=\Gamma(T,\mathcal O_T^\times)$ mit der Multiplikation als Gruppenstruktur. Insbesondere für ist $\mathbb {G} _{\mathrm {m} }=(k^{\times },\times )$ die offene Teilmenge $\mathrm{A}^1-\left\{0\right\}$ mit der Multiplikation.
Die allgemeine lineare Gruppe $\mathrm{GL}_n$ : $\mathrm{GL}_n(T)=\mathrm{GL}_n(\Gamma(T,\mathcal O_T))$ ; dabei bezeichnet die rechte Seite die Gruppe der invertierbaren $n\times n$ -Matrizen mit Einträgen im Ring $\Gamma(T,\mathcal O_T)$ . $\mathrm{GL}_1$ kann mit $\mathbb G_{\mathrm m}$ identifiziert werden.
Der Kern eines Morphismus $f:G\rightarrow H$ algebraischer Gruppen ist wieder eine algebraische Gruppe. Zum Beispiel ist $\mathrm{SL}_n(T)=ker(det-1)$ eine algebraische Gruppe.
Elliptische Kurven oder allgemeiner abelsche Varietäten.
Zariski-abgeschlossene Untergruppen algebraischer Gruppen sind wieder algebraische Gruppen. Zariski-abgeschlossene Untergruppen von $\mathrm{GL}_n$ werden als lineare algebraische Gruppen bezeichnet. Wenn eine algebraische Gruppe eine affine Varietät ist, dann ist sie eine lineare algebraische Gruppe.
Unipotente algebraische Gruppen.

Satz von Chevalley

Jede algebraische Gruppe über einem Körper der Charakteristik 0 ist (auf eindeutige Weise) eine Erweiterung einer abelschen Varietät durch eine lineare algebraische Gruppe. Das heißt zu jeder algebraischen Gruppe gibt es eine maximale lineare algebraische Untergruppe $G_{aff}$ , diese ist normal und der Quotient $A(G):=G/G_{aff}$ ist eine abelsche Varietät:

$0\rightarrow G_{aff}\rightarrow G\rightarrow A(G)\rightarrow 0$ .

Die Abbildung $G\rightarrow A(G)$ ist die Albanese-Abbildung.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de