Spinor-Darstellung

Die Spinor-Darstellung der Spin-Gruppe {\displaystyle Spin(2k)} und die Halbspinor-Darstellungen der Spin-Gruppe {\displaystyle Spin(2k+1)} dienen in der Physik zur Beschreibung des Spins eines Teilchens.

Herleitung der Darstellung

Im Folgenden bezeichnen wir mit {\displaystyle \mathbb {C} l_{n}} die Clifford-Algebra des {\displaystyle \mathbb {C} }-Vektorraums {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} mit der quadratischen Form {\displaystyle q(z_{1},\ldots ,z_{n})=z_{1}^{2}+\ldots +z_{n}^{2}}.

Die Clifford-Algebra {\displaystyle \mathbb {C} l_{1}} ist isomorph zu {\displaystyle \mathbb {C} \oplus \mathbb {C} } und hat insbesondere zwei 1-dimensionale Darstellungen. Die Clifford-Algebra {\displaystyle \mathbb {C} l_{2}} wird per Definition erzeugt von e_1,e_2 mit den Relationen {\displaystyle e_{1}^{2}=-1=e_{2}^{2}} und {\displaystyle e_{1}e_{2}+e_{2}e_{1}=0}. Andererseits hat {\displaystyle Mat(2,\mathbb {C} )} als {\displaystyle \mathbb {C} }-Vektorraum die Basis

{\displaystyle 1=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}}\right),\ g_{1}=\left({\begin{array}{cc}i&0\\0&-i\end{array}}\right),\ g_{2}=\left({\begin{array}{cc}0&i\\i&0\end{array}}\right),\ g_{1}g_{2}=\left({\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}}\right)}

mit den Relationen {\displaystyle g_{1}^{2}=-1=g_{2}^{2}} und {\displaystyle g_{1}g_{2}+g_{2}g_{1}=0}. Man hat also einen Isomorphismus

{\displaystyle \mathbb {C} l_{2}\cong Mat(2,\mathbb {C} )}

und insbesondere eine 2-dimensionale Darstellung von {\displaystyle \mathbb {C} l_{2}}.

Durch

{\displaystyle e_{1}\to 1\otimes g_{1},\ e_{2}\to 1\otimes g_{2},\ e_{j}\to (ie_{j-2}\otimes g_{1}g_{2}){\mbox{ für }}3\leq j\leq n+2}

erhält man einen Isomorphismus

{\displaystyle \mathbb {C} l_{n+2}\to \mathbb {C} l_{n}\otimes M_{2}(\mathbb {C} )}.

Für eine gerade Zahl n=2k folgt daraus durch vollständige Induktion

{\displaystyle \mathbb {C} l_{2k}\cong M_{2}(\mathbb {C} )\otimes \ldots \otimes M_{2}(\mathbb {C} )\cong M_{2^{k}}(\mathbb {C} )},

insbesondere erhält man eine Darstellung von {\displaystyle \mathbb {C} l_{2k}} auf einem 2^{k}-dimensionalen Vektorraum \Delta _{n}.

Für eine ungerade Zahl {\displaystyle n=2k+1} erhält man durch vollständige Induktion

{\displaystyle \mathbb {C} l_{2k+1}\cong (\mathbb {C} \oplus \mathbb {C} )\otimes M_{2}(\mathbb {C} )\otimes \ldots \otimes M_{2}(\mathbb {C} )\cong (\mathbb {C} \oplus \mathbb {C} )\otimes M_{2^{k}}(\mathbb {C} )\cong M_{2^{k}}(\mathbb {C} )\oplus M_{2^{k}}(\mathbb {C} )},

insbesondere erhält man zwei Darstellungen von {\displaystyle \mathbb {C} l_{2k+1}} auf 2^{k}-dimensionalen Vektorräumen.

In jedem Fall hat man für n=2k oder {\displaystyle n=2k+1} einen komplexen Vektorraum

{\displaystyle \Delta _{n}\cong \mathbb {C} ^{2^{k}}},

so dass

{\displaystyle {\begin{array}{cc}\mathbb {C} l_{n}=End(\Delta _{n})&n=2k{\mbox{ gerade}}\\\mathbb {C} l_{n}=End(\Delta _{n})\oplus End(\Delta _{n})&n=2k+1{\mbox{ ungerade}}\end{array}}}.

Die Spinordarstellung der Spin-Gruppe {\displaystyle Spin(n)} ist die Einschränkung der Darstellung \Delta _{n} auf {\displaystyle Spin(n)\subset \mathbb {C} l_{n}}.

Allgemeiner kann man für {\displaystyle n=p+q} die zur quadratischen Form {\displaystyle q(z_{1},\ldots ,z_{n})=z_{1}^{2}+\ldots +z_{p}^{2}-z_{p+1}^{2}-\ldots -z_{p+q}^{2}} auf dem {\displaystyle \mathbb {R} ^{p+q}} assoziierte Spin-Gruppe {\displaystyle Spin(p,q)} betrachten. Diese ist ebenfalls in {\displaystyle \mathbb {C} l_{n}} enthalten und somit sind \Delta _{n} bzw. {\displaystyle \Delta _{n}^{\pm }} Darstellungen von {\displaystyle Spin(p,q)}. In der Physik werden die Elemente von \Delta _{n} als Dirac-Spinoren bezeichnet.

Eigenschaften

Halbspinor-Darstellungen

Für {\displaystyle n=2k+1} ungerade ist die Spinor-Darstellung \Delta _{n} eine irreduzible Darstellung von {\displaystyle Spin(n)}. Dagegen ist für n=2k gerade die Spinor-Darstellung die direkte Summe {\displaystyle \Delta _{2k}^{+}\oplus \Delta _{2k}^{-}} zweier irreduzibler Darstellungen, die als Halbspinor-Darstellungen bezeichnet werden.

Man erhält diese Unterräume als Eigenräume der Wirkung von {\displaystyle e_{1}\ldots e_{2k}} zu den Eigenwerten {\displaystyle (-i)^{k}} und {\displaystyle -(-i)^{k}}. In der Physik werden die Elemente dieser beiden Unterräume als positive und negative Weyl-Spinoren bezeichnet.

Literatur

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 05.02. 2021