Spinor-Darstellung
Die Spinor-Darstellung der Spin-Gruppe und die Halbspinor-Darstellungen der Spin-Gruppe dienen in der Physik zur Beschreibung des Spins eines Teilchens.
Herleitung der Darstellung
Im Folgenden bezeichnen wir mit die Clifford-Algebra des -Vektorraums mit der quadratischen Form .
Die Clifford-Algebra ist isomorph zu und hat insbesondere zwei -dimensionale Darstellungen. Die Clifford-Algebra wird per Definition erzeugt von mit den Relationen und . Andererseits hat als -Vektorraum die Basis
mit den Relationen und . Man hat also einen Isomorphismus
und insbesondere eine -dimensionale Darstellung von .
Durch
erhält man einen Isomorphismus
- .
Für eine gerade Zahl folgt daraus durch vollständige Induktion
- ,
insbesondere erhält man eine Darstellung von auf einem -dimensionalen Vektorraum .
Für eine ungerade Zahl erhält man durch vollständige Induktion
- ,
insbesondere erhält man zwei Darstellungen von auf -dimensionalen Vektorräumen.
In jedem Fall hat man für oder einen komplexen Vektorraum
- ,
so dass
- .
Die Spinordarstellung der Spin-Gruppe ist die Einschränkung der Darstellung auf .
Allgemeiner kann man für die zur quadratischen Form auf dem assoziierte Spin-Gruppe betrachten. Diese ist ebenfalls in enthalten und somit sind bzw. Darstellungen von . In der Physik werden die Elemente von als Dirac-Spinoren bezeichnet.
Eigenschaften
- Die Spinor- und Halbspinor-Darstellungen sind treue Darstellungen.
- Für alle hat das Bild in bzw. die Determinante .
- Auf bzw. gibt es ein -invariantes hermitesches Skalarprodukt. Die Bilder der Spinor- und Halbspinor-Darstellungen liegen also in bzw. .
Halbspinor-Darstellungen
Für ungerade ist die Spinor-Darstellung eine irreduzible Darstellung von . Dagegen ist für gerade die Spinor-Darstellung die direkte Summe zweier irreduzibler Darstellungen, die als Halbspinor-Darstellungen bezeichnet werden.
Man erhält diese Unterräume als Eigenräume der Wirkung von zu den Eigenwerten und . In der Physik werden die Elemente dieser beiden Unterräume als positive und negative Weyl-Spinoren bezeichnet.
Literatur
- Thomas Friedrich: Dirac-Operatoren in der Riemannschen Geometrie. Vieweg Verlag, ISBN 978-3-528-06926-1.
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 05.02. 2021