Cauchy-Verteilung
Die Cauchy-Verteilung (nach Augustin Louis Cauchy) ist eine stetige, leptokurtische (supergaußförmige) Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Sie tritt in der Physik in der genäherten Beschreibung von Resonanzen auf, und wird dort Resonanzkurve oder Lorentzkurve (nach Hendrik Antoon Lorentz) genannt. Daher gibt es auch die Bezeichnungen Lorentz-Verteilung und Cauchy-Lorentz-Verteilung.
Definition
Die Cauchy-Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Wahrscheinlichkeitsdichte
mit und Lageparameter besitzt.
Die Verteilungsfunktion der Cauchy-Verteilung ist
- .
Mit dem Zentrum und dem Breitenparameter ergibt sich die Standard-Cauchy-Verteilung (oder auch t-Verteilung mit einem Freiheitsgrad) mit
als Wahrscheinlichkeitsdichte und
als Verteilungsfunktion.
Ist Cauchy-verteilt mit den Parametern und , dann ist standard-Cauchy-verteilt.
Eigenschaften
Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung, Momente
Die Cauchy-Verteilung ist eine Verteilung, die weder Erwartungswert noch Varianz oder Standardabweichung besitzt, da die entsprechenden Integrale nicht endlich sind. Dementsprechend besitzt sie auch keine endlichen Momente und keine momenterzeugende Funktion.
Median, Modus, Quartilabstand
Die Cauchy-Verteilung besitzt den Median bei , den Modus ebenfalls bei , und den Quartilsabstand .
Symmetrie
Die Cauchy-Verteilung ist symmetrisch zum Parameter .
Entropie
Die Entropie beträgt .
Charakteristische Funktion
Die charakteristische Funktion der Cauchy-Verteilung ist .
Reproduktivität
Die Cauchy-Verteilung gehört zu den reproduktiven Wahrscheinlichkeitsverteilungen: der Mittelwert aus standard-Cauchy-verteilten Zufallsvariablen ist selbst standard-Cauchy-verteilt. Insbesondere gehorcht die Cauchy-Verteilung also nicht dem Gesetz der großen Zahlen, das für alle Verteilungen mit existierendem Erwartungswert (siehe Satz von Etemadi) gilt.
Invarianz gegenüber Faltung
Die Cauchy-Verteilung ist invariant gegenüber Faltung, das heißt, die Faltung einer Lorentz-Kurve der Halbwertsbreite und einem Maximum bei mit einer Lorentz-Kurve der Halbwertsbreite und einem Maximum bei ergibt wieder eine Lorentz-Kurve mit der Halbwertsbreite und einem Maximum bei . Somit bildet die Cauchy-Verteilung eine Faltungshalbgruppe.
Beziehungen zu anderen Verteilungen
Beziehung zu stetigen Gleichverteilung
Ist auf dem Intervall stetig gleichverteilt, dann ist standard-Cauchy-verteilt.
Beziehung zur Normalverteilung
Der Quotient aus zwei unabhängigen standardnormalverteilten Zufallsvariablen ist standard-Cauchy-verteilt.
Beziehung zu studentschen t-Verteilung
Die Standard-Cauchy-Verteilung ist der Spezialfall der studentschen t-Verteilung mit einem Freiheitsgrad.
Beziehung zur Lévy-Verteilung
Die Cauchy-Verteilung ist eine spezielle α-stabile Verteilung mit dem Exponentenparameter .
Anwendungsbeispiel
Bei der Cauchy-Verteilung als Vertreter der Heavy-tailed-Verteilungen ist die Wahrscheinlichkeit für extreme Ausprägungen sehr groß. Sind die 1 mindestens 2,326, so beträgt bei einer standard-Cauchy-verteilten Zufallsvariablen die entsprechende Untergrenze 31,82. Möchte man die Auswirkung von Ausreißern in Daten auf statistische Verfahren untersuchen, verwendet man häufig Cauchy-verteilte Zufallszahlen in Simulationen.
Zufallszahlen
Zur Erzeugung Cauchy-verteilter Zufallszahlen bietet sich die Inversionsmethode an. Die nach dem Simulationslemma zu bildende Pseudoinverse der Verteilungsfunktion lautet hierbei (siehe Kotangens). Zu einer Folge von Standardzufallszahlen lässt sich daher durch , oder wegen der Symmetrie auch durch , eine Folge standard-Cauchy-verteilter Zufallszahlen berechnen.
Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de Seite zurück© biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung: Jena, den: 24.06. 2021