Stetige Gleichverteilung

Dichtefunktion der Gleichverteilung für

(blau),

(grün) und

(rot)

Die stetige Gleichverteilung, auch Rechteckverteilung oder Uniformverteilung genannt, ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie hat auf einem Intervall [a,b] eine konstante Wahrscheinlichkeitsdichte. Dies ist gleichbedeutend damit, dass alle Teilintervalle gleicher Länge dieselbe Wahrscheinlichkeit besitzen.

Die Möglichkeit, die stetige Gleichverteilung auf dem Intervall von 0 bis 1 zu simulieren, bildet die Basis zur Erzeugung zahlreicher beliebig verteilter Zufallszahlen mittels der Inversionsmethode oder der Verwerfungsmethode.

Definition

Eine stetige Zufallsvariable bezeichnet man als gleichverteilt auf dem Intervall [a,b] , wenn Dichtefunktion f(x) und Verteilungsfunktion F(x) gegeben sind als

$f(x)={\begin{cases}{\frac 1{b-a}}&a\leq x\leq b\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}$
$F(x)={\begin{cases}0&x\leq a\\{\frac {x-a}{b-a}}&a<x<b\\1&x\geq b\end{cases}}$

Als abkürzende Schreibweise für die stetige Gleichverteilung wird häufig ${\mathcal U}(a,b)$ oder ${\mathcal {SG}}(a,b)$ verwendet. In einigen Formeln sieht man auch ${\text{Gleich}}(a,b)$ oder ${\text{uniform}}(a,b)$ als Bezeichnung für die Verteilung.

Eigenschaften

Wahrscheinlichkeiten

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine auf [a,b] gleichverteilte Zufallsvariable in einem Teilintervall $[c,d]\subseteq [a,b]$ liegt, ist gleich dem Verhältnis der Intervalllängen:

$P(c\leq X\leq d)=F(d)-F(c)={\frac {d-c}{b-a}}$ .

Erwartungswert und Median

Der Erwartungswert und der Median der stetigen Gleichverteilung sind gleich der Mitte des Intervalls [a,b] :

$\operatorname {E} (X)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx={\frac {1}{b-a}}\int \limits _{a}^{b}x\cdot 1\,dx={\frac {1}{2}}{\frac {b^{2}-a^{2}}{b-a}}={\frac {a+b}{2}}$

$\operatorname {Median}(X)=F^{{-1}}({\tfrac {1}{2}})={\frac {a+b}{2}}$ .

Varianz

Die Varianz der stetigen Gleichverteilung ist

$\operatorname{Var}(X)$	$=\operatorname {E} (X^{2})-\left({\operatorname {E} (X)}\right)^{2}={\frac {1}{b-a}}\int \limits _{a}^{b}{x^{2}\cdot 1\,dx}-\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{3}}{\frac {b^{3}-a^{3}}{b-a}}-\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}$
	$={\frac {1}{12}}\left({4b^{2}+4ab+4a^{2}-3a^{2}-6ab-3b^{2}}\right)={\frac {1}{12}}(b-a)^{2}$ .

Standardabweichung und weitere Streumaße

Aus der Varianz erhält man die Standardabweichung

$\sigma _{x}={\sqrt {{\frac {(b-a)^{2}}{12}}}}={\frac {b-a}{2{\sqrt 3}}}\approx 0{,}289(b-a)$ .

Die mittlere absolute Abweichung beträgt (b-a)/4 , und der Interquartilsabstand (b-a)/2 ist genau doppelt so groß. Die Gleichverteilung ist die einzige symmetrische Verteilung mit monotoner Dichte mit dieser Eigenschaft.

Variationskoeffizient

Für den Variationskoeffizienten ergibt sich:

$\operatorname {VarK} (X)={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\frac {b-a}{a+b}}$ .

Symmetrie

Die stetige Gleichverteilung ist symmetrisch um ${\frac {a+b}{2}}$ .

Schiefe

Die Schiefe lässt sich darstellen als

$\operatorname {v} (X)=0$ .

Wölbung und Exzess

Die Wölbung $\beta _{2}$ und der Exzess $\gamma _{2}=\beta _{2}-3$ lassen sich ebenfalls geschlossen darstellen als

$\beta _{2}={\tfrac {9}{5}}=1{,}8$ bzw.

$\gamma _{2}=-{\tfrac {6}{5}}=-1{,}2$ .

Momente

-tes Moment	$m_{k}={\frac {1}{k+1}}\sum _{{i=0}}^{k}a^{i}b^{{k-i}}$
-tes zentrales Moment	$\mu _{k}={\begin{cases}{\frac {(b-a)^{k}}{2^{k}(k+1)}}&{\text{ k gerade}}\\0&{\text{ k ungerade}}\end{cases}}$

Summe gleichverteilter Zufallsvariablen

Verteilungsdichten der Summe von bis zu 6 Gleichverteilungen U(0,1)

Die Summe zweier unabhängiger und stetig gleichverteilter Zufallsvariablen gleicher Träger-Breite ist dreiecksverteilt, andernfalls ergibt sich eine trapezförmige Verteilung. Genauer:

Zwei Zufallsvariablen seien unabhängig und stetig gleichverteilt, die eine auf dem Intervall [a,b] , die andere auf dem Intervall [c,d] . Sei $\alpha =\min\{d-c,b-a\}$ und $\beta =\max\{d-c,b-a\}$ . Dann hat Ihre Summe die folgende Trapezverteilung:

$f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\longmapsto {\begin{cases}0&x\not \in [a+c,b+d]\\{\frac {x}{\alpha \beta }}-{\frac {a+c}{\alpha \beta }}&x\in [a+c,a+c+\alpha ]\\{\frac {1}{\beta }}&x\in [a+c+\alpha ,a+c+\beta ]\\{\frac {b+d}{\alpha \beta }}-{\frac {x}{\alpha \beta }}&x\in [a+c+\beta ,b+d]\end{cases}}$

Die Summe von unabhängigen gleichverteilten Zufallsvariablen nähert sich der Normalverteilung an (Zentraler Grenzwertsatz).

Eine zuweilen verwendete Methode (Zwölferregel) zur approximativen Erzeugung (standard-)normalverteilter Zufallszahlen funktioniert so: man summiert 12 (unabhängige) auf dem Intervall [0,1] gleichverteilte Zufallszahlen und subtrahiert 6 (das liefert die richtigen Momente, da die Varianz einer U(0,1)-verteilten Zufallsvariablen 1/12 ist und sie den Erwartungswert 1/2 besitzt).

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form

$\phi _{X}(t)={\frac {1}{(b-a)it}}\left(e^{{itb}}-e^{{ita}}\right)=\exp \left(i{\frac {b+a}{2}}t\right){\frac {\sin \left({\frac {b-a}{2}}t\right)}{{\frac {b-a}{2}}t}}$ ,

wobei die imaginäre Einheit darstellt.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der stetigen Gleichverteilung ist

$m_{X}(s)={\begin{cases}{\frac {\displaystyle e^{{bs}}-e^{{as}}}{\displaystyle (b-a)s}}&s\neq 0\\1&s=0.\end{cases}}$

und speziell für a=0 und b=1

$m_{X}(s)={\frac 1s}(e^{s}-1).$

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Dreiecksverteilung

Die Summe von zwei unabhängigen und stetig gleichverteilten Zufallsvariablen hat eine Dreiecksverteilung.

Beziehung zur Betaverteilung

Sind $X_1, X_2, \dotsc, X_n$ unabhängige auf [0,1] stetig gleichverteilte Zufallsvariable, dann haben die Ordnungsstatistiken $X_{{(1)}},X_{{(2)}},\dotsc ,X_{{(n)}}$ eine Betaverteilung. Genauer gilt

$X_{{(k)}}\sim B(k,n-k+1)$

für $k=1,\dotsc ,n$ .

Simulation von Verteilungen aus der stetigen Gleichverteilung

Mit der Inversionsmethode lassen sich gleichverteilte Zufallszahlen in andere Verteilungen überführen. Wenn eine gleichverteilte Zufallsvariable ist, dann genügt beispielsweise $Y=-{\tfrac 1\lambda }\ln(X)$ der Exponentialverteilung mit dem Parameter $\lambda$ .

Verallgemeinerung auf höhere Dimensionen

Die stetige Gleichverteilung lässt sich vom Intervall [a,b] auf beliebige messbare Teilmengen $\Omega$ des ${\mathbb {R}}^{n}$ mit Lebesgue-Maß $0<\lambda ^{n}(\Omega )<\infty$ verallgemeinern. Man setzt dann

${\mathcal {U}}_{\Omega }(A)=\int _{A}{\frac {1}{\lambda ^{n}(\Omega )}}\,dx={\frac {\lambda ^{n}(A)}{\lambda ^{n}(\Omega )}}$

für messbare $A\subseteq \Omega$ .

Diskreter Fall

Die Gleichverteilung ist auch auf endlichen Mengen definiert, dann heißt sie diskrete Gleichverteilung.

Beispiel für das Intervall [0, 1]

Häufig wird a=0 und b=1 angenommen, also $X\sim {\mathcal {U}}(0,1)$ betrachtet. Dann ist die Dichtefunktion auf dem Intervall [0,1] konstant gleich 1 und für die Verteilungsfunktion gilt dort F(x)=x . Der Erwartungswert beträgt dementsprechend $E(X)={\tfrac {1}{2}}$ , die Varianz $\operatorname {Var} (X)={\tfrac {1}{12}}$ und die Standardabweichung $\sigma (X)={\sqrt {\tfrac {1}{12}}}={\tfrac {1}{6}}{\sqrt {3}}\approx 0{,}29$ , wobei die letztgenannten beiden Werte auch für beliebige Intervalle $[a,a+1]$ der Länge 1 gelten. Siehe hierzu auch den obigen Abschnitt Summe gleichverteilter Zufallsvariablen.

Ist eine ${\mathcal {U}}(0,1)$ -verteilte Zufallsvariable, dann ist

$Y=(b-a)X+a$

${\mathcal U}(a,b)$ -verteilt.

Siehe auch

Diskrete Gleichverteilung

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de