Ortsoperator

Der Ortsoperator gehört in der Quantenmechanik zur Ortsmessung von Teilchen.

Der physikalische Zustand $\Psi$ eines Teilchens ist in der Quantenmechanik mathematisch gegeben durch den zugehörigen Vektor eines Hilbertraumes H. Dieser Zustand wird folglich in der Bra-Ket-Notation durch den Vektor $|\Psi \rangle$ beschrieben. Die Observablen werden durch selbstadjungierte Operatoren auf H dargestellt.

Speziell ist der Ortsoperator die Zusammenfassung der drei Observablen $\hat{\mathbf{x}} = (\hat{x}_1,\hat{x}_2,\hat{x}_3)$ , so dass

$E(\hat{x}_j) = {\langle \hat{x}_j\,\Psi,\Psi \rangle}_\mathrm{H} \ ,\quad j = 1,2,3$

der Mittelwert (Erwartungswert) der Messergebnisse der j-ten Ortskoordinate des Teilchens im Zustand $\Psi$ ist.

Definition und Eigenschaften

Die drei Ortsoperatoren sind selbstadjungierte Operatoren $\hat{x}_j$ , die mit den ebenfalls selbstadjungierten Impulsoperatoren $\hat{p}_k$ die folgenden kanonischen Vertauschungsrelationen erfüllen:

$[\hat{x}_j,\hat{p}_k]=\mathrm i\,\hbar\,\delta_{jk}\ ,\quad [\hat{x}_j,\hat{x}_k]= 0 = [\hat{p}_j,\hat{p}_k]\ ,\quad j,k\in \{1,2,3\}$

Daraus folgt, dass die drei Ortskoordinaten gemeinsam messbar sind und dass ihr Spektrum (Bereich der möglichen Messwerte) aus dem gesamten Raum $\mathbb {R} ^{3}$ besteht. Die möglichen Orte sind also nicht quantisiert, sondern kontinuierlich.

Ortsdarstellung

Die Ortsdarstellung ist durch die Spektraldarstellung des Ortsoperators definiert. Der Hilbertraum $H=L^{2}(\mathbb {R} ^{3};\mathbb {C} )$ ist der Raum der quadratintegrierbaren komplexen Funktionen des Ortsraums $\mathbb {R} ^{3}$ , jeder Zustand $\Psi$ ist durch eine Ortswellenfunktion $\psi(\mathbf{x})$ gegeben.

Die Ortsoperatoren $\hat{\mathbf{x}} = (\hat{x}_1,\hat{x}_2,\hat{x}_3)$ sind die Multiplikationsoperatoren mit den Koordinatenfunktionen, d.h. der Ortsoperator $\hat{x}_j$ wirkt auf Ortswellenfunktionen $\psi(\mathbf{x})$ durch die Multiplikation der Wellenfunktion mit der Koordinatenfunktion $x_{j}$

$(\hat{x}_j \, \psi)(\mathbf{x})= x_j \cdot \psi(\mathbf{x})$

Dieser Operator $\hat{x}_j$ ist als Multiplikationsoperator ein dicht definierter Operator und abgeschlossen. Er ist auf dem Unterraum $D=\{\psi \in H \, | \, x\cdot\psi \in H \}$ definiert, der in H dicht liegt.

Der Erwartungswert ist

$E(\hat{x}_j) = {\langle \hat{x}_j\,\Psi,\Psi \rangle}_{L^2} = \int_{\R^3} x_j\,\psi(\mathbf{x})\,\overline{\psi(\mathbf{x})} \, \mathrm{d} x = \int_{\R^3} x_j \, |\psi(\mathbf{x})|^2 \mathrm{d} x$

Der Impulsoperator wirkt auf Ortswellenfunktionen (bei geeigneter Wahl der Phasen) als Differentialoperator:

$\bigl(\hat{p}_k\psi \bigr)(\mathbf x)= -\mathrm i \, \hbar \, \frac{\partial}{\partial x_k} \psi (\mathbf x)$

Eigenfunktionen

Die Eigenfunktionen des Ortsoperators müssen die Eigenwertgleichung

$({\hat {x}}\,\psi _{\mathbf {x_{0}} })(\mathbf {x} )=\mathbf {x_{0}} \cdot \psi _{\mathbf {x_{0}} }(\mathbf {x} )$

erfüllen, wobei $\psi _{\mathbf {x_{0}} }(\mathbf {x} )$ die Eigenfunktion des Ortsoperators zum Eigenwert $\mathbf {x_{0}}$ darstellt.

Die Eigenfunktionen $\psi (\mathbf {x_{0}} )$ zum Ortsoperator entsprechen Delta-Distributionen: ${\hat {\mathbf {x} }}\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x_{0}} )=\mathbf {x_{0}} \delta (\mathbf {x} -\mathbf {x_{0}} )$

mit der Identität: $f(x)\delta (x-x_{0})=f(x_{0})\delta (x-x_{0})$

Impulsdarstellung

In der Impulsdarstellung wirkt der Impulsoperator multiplikativ auf Impulswellenfunktionen $\tilde{\psi}(\mathbf{p})$

$(\hat{p}_k \, \tilde{\psi})(\mathbf{p}) = p_k \cdot \tilde{\psi}(\mathbf{p})$

und der Ortsoperator als Differentialoperator:

$(\hat{x}_j \, \tilde{\psi})(\mathbf{p}) = \mathrm i \, \hbar \, \frac{\partial}{\partial p_j} \tilde{\psi}(\mathbf{p})$

Literatur

Jochen Pade: Quantenmechanik zu Fuß 1. Springer, Berlin, Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-25226-6.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de